量子糾纏光纖陀螺的態(tài)演變和偏振互易性分析

張桂才，馮 菁，馬 林，楊 曄,2

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131；2.中國(guó)船舶航海保障技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，天津 300131）

隨著人類在量子力學(xué)或量子光學(xué)基礎(chǔ)研究方面的突破和相關(guān)實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，人們操控量子態(tài)的能力得到顯著提升，已經(jīng)可以開(kāi)展基于量子態(tài)的信息測(cè)量、處理和通信[1]等種種技術(shù)探索。其中，量子精密測(cè)量是根據(jù)量子力學(xué)規(guī)律，利用傳感過(guò)程的量子效應(yīng)對(duì)一些重要物理量進(jìn)行高精度觀測(cè)和辨識(shí)。理論和實(shí)驗(yàn)研究表明，應(yīng)用量子技術(shù)，對(duì)時(shí)間（時(shí)鐘）[2]、頻率、加速度、電磁場(chǎng)、重力場(chǎng)[3]、引力波[4]等物理量的測(cè)量能夠達(dá)到前所未有的精度。目前，原子鐘、原子磁力儀、原子重力儀[5]等量子傳感器的研究已取得豐碩成果，在科學(xué)研究、國(guó)防建設(shè)中開(kāi)始發(fā)揮重要應(yīng)用。量子精密測(cè)量技術(shù)的發(fā)展也給慣性技術(shù)升級(jí)帶來(lái)契機(jī)，冷原子干涉陀螺儀、核磁共振陀螺儀[6]等新概念和新機(jī)理的量子慣性技術(shù)已成為慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的重要研究方向。

量子糾纏光纖陀螺儀基于非經(jīng)典量子態(tài)光子之間的內(nèi)在糾纏特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)載體角運(yùn)動(dòng)引起的Sagnac 相移進(jìn)行超高靈敏度測(cè)量，在精密測(cè)量、定位和導(dǎo)航領(lǐng)域具有突出的戰(zhàn)略需求和重要應(yīng)用。當(dāng)前，國(guó)際上量子糾纏光纖陀螺儀的相關(guān)研究雖然有限，但已經(jīng)引起各國(guó)科技人員的關(guān)注[7][9]。

奧地利科學(xué)院和維也納量子科學(xué)與技術(shù)中心的Fink 團(tuán)隊(duì)[10]2019 年首次采用共線II 型頻率簡(jiǎn)并自發(fā)參量向下轉(zhuǎn)換（Spontaneous Parameter Down Conversion,SPDC）過(guò)程產(chǎn)生的正交偏振糾纏光子對(duì)作為光子源，構(gòu)建偏振糾纏光纖陀螺儀，使Sagnac 相移的測(cè)量突破了散粒噪聲極限。盡管該實(shí)驗(yàn)方案理論上僅比具有相同光子數(shù)輸入的傳統(tǒng)光纖陀螺精度高出倍，在大光子數(shù)情況下遠(yuǎn)未達(dá)到海森堡極限，但仍被認(rèn)為是向Sagnac 干涉儀的終極性能邁出了重要一步，對(duì)量子糾纏光纖陀螺這一前沿技術(shù)的探索具有里程碑意義。

感生雙折射是指在實(shí)際光纖中，由于存在著環(huán)境擾動(dòng)，使光纖產(chǎn)生新的各向異性，造成單模光纖中光偏振態(tài)的不穩(wěn)定。盡管感生雙折射的絕對(duì)值很小，但其效應(yīng)會(huì)沿光纖產(chǎn)生累積。雙折射效應(yīng)通常還與溫度等環(huán)境變化有關(guān)，是不可預(yù)測(cè)的。這種積累的感生雙折射理論上會(huì)對(duì)不同偏振的順時(shí)鐘和逆時(shí)針光波之間的Sagnac 相移產(chǎn)生非互易的相位誤差。

本文首先介紹非經(jīng)典光量子態(tài)偏振糾纏光子源的制備，然后針對(duì)Fink 的光路結(jié)構(gòu)，通過(guò)理論分析光量子態(tài)及算符的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程，闡述了偏振糾纏光纖陀螺的工作原理，推導(dǎo)了該結(jié)構(gòu)中光纖線圈感生雙折射引起的偏振非互易性誤差。在此基礎(chǔ)上，提出了一種具有偏振互易性的量子糾纏光纖陀螺儀光路設(shè)計(jì)。

1 偏振糾纏光子源的制備

偏振糾纏光子源一般通過(guò)非線性光學(xué)效應(yīng)制備，比如SPDC（二階非線性效應(yīng)）和四波混頻（三階非線性效應(yīng)）等過(guò)程[11]。這里主要討論SPDC 過(guò)程，可以利用量子力學(xué)中光和物質(zhì)相互作用的哈密頓算符來(lái)描述這個(gè)過(guò)程。

典型的SPDC 過(guò)程是，向非線性介質(zhì)發(fā)射泵浦光束，在滿足特定相位匹配條件下，非線性光學(xué)相互作用導(dǎo)致一個(gè)高頻泵浦光子湮滅的同時(shí)，生成一個(gè)較低頻率的呈現(xiàn)糾纏態(tài)的信號(hào)-閑置光子對(duì)。如果信號(hào)光子和閑置光子的偏振方向相同，稱為I 類SPDC 過(guò)程；如果偏振方向正交，稱為II 類SPDC 過(guò)程。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以假定晶體所取的方向使這兩個(gè)線偏振光子恰沿水平和垂直方向。無(wú)論是I 型SPDC 還是II 型SPDC過(guò)程，都僅能產(chǎn)生成對(duì)的光子。成對(duì)光子產(chǎn)生的概率依賴于二階非線性極化率、泵浦光場(chǎng)振幅和晶體長(zhǎng)度等參數(shù)。考慮常用的頻率簡(jiǎn)并情形，對(duì)于低參量增益I 型SPDC 過(guò)程來(lái)說(shuō)，共線產(chǎn)生光子數(shù)態(tài)，非共線產(chǎn)生光子數(shù)態(tài)；對(duì)于高參量增益I 型SPDC 過(guò)程來(lái)說(shuō)，共線產(chǎn)生單模壓縮態(tài)，非共線產(chǎn)生雙模壓縮態(tài)。對(duì)于II 型SPDC 過(guò)程來(lái)說(shuō)，低參量增益產(chǎn)生共線或非共線的正交偏振糾纏光子對(duì)，而高參量增益將導(dǎo)致偏振壓縮。

1.1 共線Ⅱ型自發(fā)參量向下轉(zhuǎn)換

共線Ⅱ型頻率簡(jiǎn)并SPDC 過(guò)程的哈密頓算符取下列形式：

式(1)中：Γ 是一個(gè)耦合參數(shù)，為復(fù)數(shù)，與晶體長(zhǎng)度、二階非線性極化率χ（2）和泵浦光束的場(chǎng)振幅等有關(guān)。假定信號(hào)光子和閑置光子的偏振態(tài)分別是水平（H）和垂直（V）線偏振，兩個(gè)光子的其它參數(shù)如波長(zhǎng)和波矢方向相同，則分別為水平偏振光子的湮滅算符和產(chǎn)生算符分別為垂直偏振光子的湮滅算符和產(chǎn)生算符。

假定信號(hào)模式和閑置模式的初始態(tài)均為真空態(tài)，對(duì)于頻率簡(jiǎn)并共線Ⅱ型SPDC，二階非線性晶體輸出端產(chǎn)生的輸出態(tài)滿足薛定諤方程：

由式(1)的相互作用哈密頓算符H，式(2)的解可表示為：

1.2 非共線II 型自發(fā)參量向下轉(zhuǎn)換

SPDC 過(guò)程不僅沿泵浦波矢方向也沿其它方向輻射光子對(duì)。尤其是，即使對(duì)于頻率簡(jiǎn)并的信號(hào)和閑置光子，SPDC 也可能是非共線的：在這種情形下，兩個(gè)生成光子的波矢并不與泵浦波矢平行，尋常（o）光子和非尋常（e）光子沿兩個(gè)不同的圓錐輻射，相對(duì)含有入射泵浦波矢和光軸的平面彼此傾斜（圖1）。這些圓錐沿兩條線交叉，圖中分別記為A 和B。圖1 中圓周上的橫線和豎線分別表示H 和V 偏振。交叉線A 方向輻射的光子既有可能是o 光的水平（H）偏振，也有可能是e 光的垂直（V）偏振；如果A 方向輻射的光子是o 光H 偏振，則B 方向輻射的光子必定是e 光V 偏振，反之亦然。這種情形下沿A、B 方向產(chǎn)生的是正交偏振的糾纏光子對(duì)。

圖1 利用非共線Ⅱ類SPDC 產(chǎn)生的偏振糾纏態(tài)Fig.1 The polarization entangled state produced by noncollinear type-II SPDC

由于橫向波矢匹配條件Δkx=Δky=0，兩個(gè)光子總是關(guān)于泵浦對(duì)稱。哈密頓算符因而寫(xiě)成兩個(gè)哈密頓算符之和：

式(5)中：相位β依賴于非線性晶體中泵浦光子、信號(hào)光子和閑置光子的相位延遲，湮滅算符和產(chǎn)生算符中的下標(biāo)A、B 表示輻射方向，H、V 表示偏振方向。

假定信號(hào)模式和閑置模式的初始態(tài)均為真空態(tài)，對(duì)于頻率簡(jiǎn)并非共線Ⅱ型SPDC，二階非線性晶體輸出端產(chǎn)生的輸出態(tài)同樣滿足薛定諤方程,將式(5)的相互作用哈密頓算符H代入式(2)解得：

圖1 所示的情形是最一般的情況。隨著光軸和泵浦波矢之間的角度θ變化，圓錐變得較大或較小。尤其是，對(duì)于一個(gè)特定角度θ，它們沿一條直線相切，該直線與泵浦波矢共線，這對(duì)應(yīng)前面描述的共線簡(jiǎn)并Ⅱ型SPDC。

2 偏振糾纏光纖陀螺儀原理及動(dòng)力學(xué)分析

2019 年，奧地利科學(xué)院和維也納量子科學(xué)與技術(shù)中心的Fink 研究團(tuán)隊(duì)在“物理學(xué)新刊（New Journal of Physics）”上首次對(duì)量子增強(qiáng)光纖陀螺儀進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)報(bào)道，并得到突破散粒噪聲極限的測(cè)試結(jié)果。

2.1 偏振糾纏光纖陀螺儀的光路結(jié)構(gòu)及功能

Fink 采用的光路結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2，它由三部分組成：正交偏振的糾纏光子源、Sagnac 光纖干涉儀和二階符合探測(cè)裝置。

圖2 采用正交偏振光子對(duì)的量子糾纏光纖陀螺光路結(jié)構(gòu)Fig.2 Optical path structure of quantum entangled fiber optic gyroscope using orthogonal polarized photon pairs.

正交偏振糾纏光子源基于共線Ⅱ型自發(fā)參量向下轉(zhuǎn)換（SPDC）過(guò)程，如圖2 所示，一個(gè)波長(zhǎng)為405 nm的連續(xù)波激光器入射到一個(gè)周期性極化的二階非線性ppKTP 晶體上。泵浦激光器發(fā)出的光子在晶體內(nèi)通過(guò)SPDC 過(guò)程轉(zhuǎn)換成成對(duì)的、具有水平偏振（H）和垂直偏振（V）的信號(hào)光子和閑置光子，信號(hào)和閑置光子對(duì)具有相同的頻率（波長(zhǎng)為810 nm）并沿同一個(gè)方向傳播。用兩個(gè)二色反射鏡實(shí)現(xiàn)泵浦光子與向下轉(zhuǎn)換光子的分離。信號(hào)光子和閑置光子隨后通過(guò)微透鏡耦合進(jìn)一段偏振保持單模光纖（PMF）中。ppKTP 晶體的雙折射導(dǎo)致兩個(gè)正交偏振的向下轉(zhuǎn)換光子之間產(chǎn)生相位延遲。為了產(chǎn)生具有兩個(gè)無(wú)差別光子的NOON 態(tài)，采用一個(gè)附加的釹摻雜原釩酸釔（Nd:YVO4）晶體補(bǔ)償這種偏振相關(guān)的時(shí)間延遲。同時(shí)，雙折射晶體的長(zhǎng)度選擇還可以進(jìn)一步補(bǔ)償后續(xù)PMF 的雙折射。

Sagnac 光纖干涉儀由一個(gè)偏振分束器（PBS1）、單模光纖線圈和兩個(gè)二分之一波片（HWP1 和HWP2）組成。二階符合探測(cè)裝置包括一個(gè)二分之一波片（HWP3）和另一個(gè)偏振分束器（PBS2）、兩個(gè)單光子探測(cè)器（D1和D2）及相應(yīng)的二階符合計(jì)數(shù)電子裝置。

對(duì)于圖2 所示的光路結(jié)構(gòu)，F(xiàn)ink 并未給出輸入態(tài)矢量和場(chǎng)算符經(jīng)過(guò)偏振糾纏光纖陀螺儀的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程。在采用正交偏振糾纏光子對(duì)的Sagnac 干涉儀中，存在四個(gè)傳播模式：在光纖線圈中沿順時(shí)針?lè)较颍–W）傳播的水平（H）偏振模式、垂直（V）偏振模式和沿順逆針?lè)较颍–CW）傳播的水平（H）偏振模式、垂直（V）偏振模式。下面，我們首次采用4 × 4傳輸矩陣描述偏振糾纏光纖陀螺儀中場(chǎng)算符和態(tài)矢量的動(dòng)力學(xué)演變，并闡述偏振糾纏光纖陀螺儀的量子干涉原理。

2.2 偏振糾纏光纖陀螺儀中態(tài)矢量和算符的演變

如圖2 所示，偏振糾纏光纖陀螺儀的輸入態(tài)是共線Ⅱ型自發(fā)參量向下轉(zhuǎn)換（SPDC）產(chǎn)生的一對(duì)頻率簡(jiǎn)并正交偏振的糾纏光子，記為，與這對(duì)正交偏振糾纏光子對(duì)應(yīng)的湮滅算符用aH1、aV1表示。這對(duì)正交偏振光子經(jīng)過(guò)一個(gè)22.5°二分之一波片HWP1，形成水平（H）和垂直（V）偏振的疊加態(tài)，進(jìn)入偏振分束器PBS1 的輸入端口a。偏振分束器為四端口器件，有兩個(gè)輸入端口和兩個(gè)輸出端口，每個(gè)端口可以傳輸水平和垂直兩個(gè)正交偏振模式。PBS1 的輸入端口d 沒(méi)有光子入射，可以認(rèn)為是空端也即真空輸入態(tài)，與之對(duì)應(yīng)的湮滅算符用aH2、aV2表示。這樣，偏振糾纏光纖陀螺儀的四模式輸入態(tài)矢量可以表示為：

理想的二分之一波片（HWP）的瓊斯矩陣為：

偏振分束器PBS1 的量子分析模型如圖3 所示（在下面的分析中，假定算符不帶撇號(hào)“＇”為PBS1 端口的輸入算符，帶撇號(hào)“＇”為PBS1 端口的輸出算符，態(tài)矢量亦是如此）。PBS1 端口d 和端口a 的正交偏振模式的輸入算符分別記為ad-H、ad-V和aa-H、aa-V，它們與aH1、aV1、aH2、aV2的關(guān)系用一個(gè)4 × 4傳輸矩陣Sin聯(lián)系起來(lái)：

圖3 偏振分束器PBS1 的量子分析模型Fig.3 Quantum analysis model of polarization beam splitter PBS1

式(12)中：Uin是與傳輸矩陣Sin對(duì)應(yīng)的幺正演變算符，兩者由哈密頓算符Hin聯(lián)系起來(lái)。哈密頓算符Hin（能量算符）對(duì)應(yīng)著理論力學(xué)中哈密頓變量，是一個(gè)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。也可直接求解式(10)中輸出算符的海森堡方程，得到（用哈密頓算符Hin表示的）幺正算符Uin的解析形式，作用于輸入態(tài)，使態(tài)矢量發(fā)生演變（本文后面出現(xiàn)的所有傳輸矩陣S及其對(duì)應(yīng)的幺正算符U，在量子光學(xué)中都具有這種動(dòng)力學(xué)演變特征。另外，本文后面各個(gè)環(huán)節(jié)的輸出態(tài)矢量的推導(dǎo)過(guò)程比較繁瑣，本文因篇幅所限，僅給出結(jié)果）。式(12)中輸出態(tài)矢量下標(biāo)的改變，反映了態(tài)矢量演變與算符演變的一致性。

如前所述，PBS1 的輸入端口a、d 構(gòu)成Sagnac 干涉儀的輸入端口。根據(jù)偏振分束器的傳輸特性，端口a 的輸入模式（算符）aa-H、aa-V經(jīng)過(guò)PBS1，水平偏振模式aa-H到達(dá)端口c，構(gòu)成端口c 的輸出模式，垂直偏振模式aa-V到達(dá)端口b，構(gòu)成端口b 的輸出模式；端口d 的輸入模式（算符）ad-H、ad-V同理。PBS1 的輸出端口b 和c，分別與Sagnac 干涉儀光纖線圈的兩端連接。PBS1 端口d、a 的輸入算符ad-H、ad-V和aa-H、aa-V與端口b、c 的輸出算符和的關(guān)系為：

式(13)中：SPBS1為偏振分束器PBS1 的傳輸矩陣，是一個(gè)四階單位矩陣，顯然也是一個(gè)幺正變換矩陣。PBS1端口b 的輸出算符為光纖線圈的逆時(shí)針（CCW）模式，端口c 的輸出算符為光纖線圈的順時(shí)針（CW）模式。

經(jīng)過(guò)PBS1 進(jìn)入光纖線圈的態(tài)矢量也即端口b、c的輸出態(tài)矢量為：

式(14)中：UPBS1是與矩陣SPBS1對(duì)應(yīng)的幺正演變算符。式(14)是一個(gè)正交偏振的2002 最大糾纏態(tài)，呈現(xiàn)為兩個(gè)順時(shí)針的水平偏振光子和兩個(gè)逆時(shí)針的垂直偏振光子的疊加態(tài)：。這意味著，順時(shí)針模式總是水平偏振光子，逆時(shí)針模式總是垂直偏振光子。

假定Sagnac 相移?等效在逆時(shí)針（CCW）光路中。將相移器和光纖線圈中的二分之一波片HWP2 的作用綜合考慮。順時(shí)針（CW）光波模式經(jīng)過(guò)光纖線圈和HWP2 的傳輸矩陣為：

因此，順時(shí)針（CW）光波和逆時(shí)針（CCW）光路從偏振分束器PBS1 的c、b 兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)光纖線圈分別傳播到b、c 兩點(diǎn)的算符演變?yōu)椋?/p>

式(17)中：ab-H、ab-V為順時(shí)針光波經(jīng)過(guò)光纖線圈到達(dá)PBS1 端口b 的輸入（模式）算符，ac-H、ac-V為逆時(shí)針光波經(jīng)過(guò)光纖線圈到達(dá)PBS1 端口c 的輸入（模式）算符為光纖線圈（含相移器和HWP2）的等效傳輸矩陣，它由組合而成，可以表示為：

經(jīng)過(guò)光纖線圈到達(dá)PBS1 的b、c 兩點(diǎn)的態(tài)矢量（PBS1 端口b、c 的輸入態(tài)矢量）表示為：

利用PBS1 的傳輸矩陣，端口d、a 的輸出算符演變?yōu)椋?/p>

另一方面，可以看出，在任意一個(gè)單獨(dú)的輸出端口d 或者端口a，均含有順時(shí)針和逆時(shí)針（攜帶量子增強(qiáng)Sagnac 相移2?）的態(tài)矢量分量。因此，可以在其中一個(gè)輸出端口（比如端口d，因?yàn)槎丝赼 已經(jīng)作為偏振糾纏光子對(duì)的輸入端口，實(shí)際中不便用于輸出端口），設(shè)置另一對(duì)二分之一波片和偏振分束器的組合（HWP3 和PBS2），成Sagnac 干涉儀的量子輸出分束器，從而實(shí)現(xiàn)量子增強(qiáng)的干涉測(cè)量。

圖4 給出了用于對(duì)輸出態(tài)進(jìn)行二階符合探測(cè)的光學(xué)結(jié)構(gòu)。22.5°二分之一波片HWP3 和偏振分束器PBS2 構(gòu)成偏振糾纏光纖陀螺儀的輸出分束器，D1和D2是放置在分束器兩個(gè)輸出端口的單光子探測(cè)器。只考慮PBS1 端口d 的輸出態(tài)，式(21)可以寫(xiě)成：

圖4 輸出態(tài)矢量經(jīng)過(guò)偏振分束器PBS2 到達(dá)探測(cè)器D1 和D2Fig.4 The output state vectors reach the detector D1 and D2 through the polarization beam splitter PBS2

輸入算符bH1、bV1和bH2、bV2與PBS2 輸出算符bD1-H、bD1-V、bD2-H、bD2-V的關(guān)系為：

其中，E4為四階單位矩陣，E2為二階單位矩陣。

式(26)中：SPBS2、Uout分別是與傳輸矩陣SPBS2、Sout對(duì)應(yīng)的幺正演變算符。

2.3 二階符合探測(cè)和量子干涉公式

由式(26)，到達(dá)探測(cè)器D1的平均光子數(shù)（光強(qiáng)）為：

采用基于菲舍爾信息的CRB 極限評(píng)估偏振糾纏光纖陀螺儀的相位檢測(cè)靈敏度，最小相位不確定性為：

說(shuō)明基本達(dá)到2002 態(tài)量子糾纏光纖陀螺儀的海森堡極限。

3 偏振糾纏光纖陀螺儀偏振互易性分析

下面分析光纖線圈中存在感生雙折射時(shí)圖1 所示光路結(jié)構(gòu)的偏振互易性。由于光纖的不完美，入射進(jìn)光纖的線偏振光在光纖中可以分解為兩個(gè)相互正交的偏振態(tài)，它們除了場(chǎng)形與理想模式不同外，傳播常數(shù)和傳播速度也不同，其總的偏振沿光纖長(zhǎng)度變化，這就是光纖的雙折射。在單模光纖中，有兩種主要因素引起（線）雙折射：纖芯不圓引起的形狀雙折射和各向異性應(yīng)力通過(guò)光彈效應(yīng)引起的應(yīng)力雙折射。雙折射效應(yīng)通常還與溫度等環(huán)境變化有關(guān)。盡管局域感生雙折射的絕對(duì)值很小，但其效應(yīng)沿光纖長(zhǎng)度累積。假定感生雙折射是靜態(tài)（固定）的，這種靜態(tài)雙折射理論上會(huì)對(duì)不同偏振的順時(shí)鐘和逆時(shí)針光波之間的Sagnac相移產(chǎn)生非互易的相位誤差。

下面分析單模光纖中的這種感生雙折射對(duì)量子糾纏Sagnac 干涉儀偏振互易性的影響。由于順時(shí)針光波和逆時(shí)針光波的偏振相互正交，這使得順時(shí)針的H 偏振光子和逆時(shí)針的V 偏振光子之間產(chǎn)生一個(gè)感生雙折射引起的非互易相位誤差：

式(35)中：λ是正交偏振光子的波長(zhǎng)，L是光纖長(zhǎng)度，Δnb是沿線圈的感生雙折射的平均值。感生雙折射的瓊斯傳輸矩陣可以表示為：

如前所述，假定Sagnac 相移等效在逆時(shí)針光路中，HWP2 位于光纖線圈的逆時(shí)針光路初始位置，則式(15)中順時(shí)針（CW）光波模式經(jīng)過(guò)光纖線圈和HWP2 的傳輸矩陣變?yōu)椋?/p>

則式(18)中光纖線圈（含相移器和HWP2）的等效傳輸矩陣，可以表示為：

與前面的處理相同，參照式(17)(19)-(26)的推導(dǎo)，到達(dá)探測(cè)器D1、D2的態(tài)為：

在采用共線型正交偏振光子源的量子糾纏光纖陀螺中，順時(shí)針的H 光子和逆時(shí)針的V 光子的偏振相互正交，由式(41)可以看出，光纖線圈感生雙折射引起的相位誤差?B以量子增強(qiáng)形式寄生在Sagnac 相移?中。換句話說(shuō)，采用頻率簡(jiǎn)并共線II 型偏振糾纏光子源的量子Sagnac 干涉儀，是一種偏振非互易性光路結(jié)構(gòu)，當(dāng)光纖線圈存在感生雙折射時(shí)，會(huì)嚴(yán)重削弱量子糾纏光纖陀螺的相位檢測(cè)靈敏度。采用特殊制造的低雙折射單模光纖，可以在一定程度上減少這種非互易性誤差，但對(duì)于高精度偏振糾纏光纖陀螺來(lái)說(shuō)，重要的是要建構(gòu)一種偏振互易性光路結(jié)構(gòu)。

4 互易性偏振糾纏光纖陀螺儀的設(shè)計(jì)與分析

根據(jù)光子源制備的不同，Ⅱ型SPDC 過(guò)程產(chǎn)生的正交偏振光子對(duì)可以是共線的，也可以是非共線的。針對(duì)采用非共線Ⅱ型SPDC 光子源的偏振糾纏光纖陀螺儀，我們提出了一種偏振互易性光路設(shè)計(jì)，見(jiàn)圖5。

圖5 采用非共線Ⅱ型SPDC 光子源的量子糾纏光纖陀螺儀的偏振互易性光路設(shè)計(jì)Fig.5 Polarization reciprocal optical circuit design of quantum entangled fiber optic gyroscope with non-collinear type-Ⅱ SPDC photon source

信號(hào)光子經(jīng)保偏的光學(xué)環(huán)行器到達(dá)保偏分束器（保偏耦合器）的端口d；閑置光子（場(chǎng)算符為aH1、aV1）經(jīng)保偏的光學(xué)環(huán)行器到達(dá)保偏分束器的端口a。非共線Ⅱ型簡(jiǎn)并SPDC 過(guò)程產(chǎn)生的正交偏振雙光子對(duì)的態(tài)矢量可以表示為：

式(43)中：aa-H、aa-V為端口a 的輸入場(chǎng)算符；ad-H、ad-V為端口d 的輸入場(chǎng)算符。

保偏光纖分束器（保偏光纖耦合器）的傳輸矩陣與一般分束器相同，該傳輸矩陣對(duì)H 偏振和V 偏振均適用，因而保偏光纖分束器的輸入/輸出算符可以用4 × 4傳輸矩陣表示為：

其中，SBS對(duì)應(yīng)的幺正演變算符用UBS表示。

從上式可以看出，糾纏光子對(duì)在光纖線圈中是順時(shí)針1 個(gè)H 偏振光子1 個(gè)V 偏振光子和逆時(shí)針1 個(gè)H 偏振光子 1 個(gè) V 偏振光子的疊加態(tài)：，因此順時(shí)鐘和逆時(shí)針光子經(jīng)歷的感生雙折射將相同。

假定Sagnac 相移等效在逆時(shí)針光路中，考慮光纖線圈的感生雙折射時(shí)，利用式(36)，則順時(shí)針（CW）光波和逆時(shí)針（CCW）光路從保偏分束器的c、b 兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)光纖線圈分別傳播到b、c 兩點(diǎn)的算符演變?yōu)椋?/p>

經(jīng)過(guò)光纖線圈的場(chǎng)算符ab-H、ab-V、ac-H、ac-V從保偏分束器的端口d、a 輸出，輸出算符滿足：

這是一個(gè)典型的海森堡極限量子干涉，與式(41)不同的是，雖然環(huán)圈中感生雙折射會(huì)引起相位誤差?B，但并不會(huì)以量子增強(qiáng)的形式寄生在Sagnac 相移?中。因而該結(jié)構(gòu)不存在任何偏振非互易性相位誤差，說(shuō)明圖4所示的采用非共線Ⅱ型SPDC 光子源的量子糾纏光纖陀螺儀是一種偏振互易性光路設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

本文考慮到量子糾纏光纖陀螺的光強(qiáng)關(guān)聯(lián)二階符合探測(cè)涉及空間和偏振共四個(gè)模式，首次采用4 × 4光學(xué)傳輸矩陣及其對(duì)應(yīng)的幺正算符構(gòu)建態(tài)矢量和場(chǎng)算符經(jīng)過(guò)各光學(xué)元件的動(dòng)力學(xué)演變模型。同時(shí)，將實(shí)際光纖存在的感生雙折射納入該模型中，對(duì)量子糾纏光纖陀螺儀的偏振互易性進(jìn)行了分析。主要結(jié)論如下：

1）對(duì)Fink 光路結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析表明，由共線Ⅱ型SPDC 過(guò)程生成的正交偏振光子對(duì)在光纖線圈中的量子態(tài)是2 個(gè)順時(shí)針H 偏振光子和2 個(gè)逆時(shí)針V 偏振光子的疊加態(tài)。由于順時(shí)針傳播的始終是H 偏振，逆時(shí)針傳播的始終是V 偏振，光纖線圈中反向傳播的光子之間因感生光纖雙折射將產(chǎn)生量子增強(qiáng)型非互易相位誤差?B。因此Fink 的光路結(jié)構(gòu)實(shí)際上是一個(gè)偏振非互易光學(xué)結(jié)構(gòu)。

2）鑒于此，我們提出了一種采用非共線Ⅱ型SPDC 光子源的量子糾纏光纖陀螺儀光路設(shè)計(jì)。由于線圈中的光量子態(tài)是順時(shí)針1 個(gè)H 偏振光子1 個(gè)V 偏振光子和逆時(shí)針1 個(gè)H 偏振光子1 個(gè)V 偏振光子的疊加態(tài)，動(dòng)力學(xué)分析表明，該結(jié)構(gòu)的二階符合量子干涉不僅具有海森堡極限的相位檢測(cè)靈敏度，而且由于順時(shí)針和逆時(shí)針光子的感生雙折射相互抵消，不存在任何偏振非互易性相位誤差。

本文工作對(duì)于實(shí)用化量子糾纏光纖陀螺儀的光路設(shè)計(jì)和探索真正實(shí)現(xiàn)海森堡極限相位測(cè)量精度的技術(shù)方案具有參考意義。