例析曲線的切線與函數(shù)單調(diào)性問題

■湖南省郴州市第二中學 曠東北

導(dǎo)數(shù)的幾何意義即曲線的切線的斜率,是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中最基礎(chǔ)與最直接的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)不僅用于函數(shù)圖像的切線的研究,還可用于解析幾何中曲線的切線的研究。

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性最有效的工具。利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而證明不等式;求函數(shù)的零點與極值(最值),解決生活中的優(yōu)化問題;已知單調(diào)性求參數(shù)等問題,都是高考的重要考點。

一、曲線的切線問題

曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程的求法:曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率是f′(x0),切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

曲線y=f(x)過點Q(a,b)的切線方程的求法:設(shè)切點為(x0,f(x0)),則切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),將(a,b)代入得b-f(x0)=f′(x0)(a-x0),由此求出切點坐標(x0,y0),再代入切線方程即可。

例1過點P(a,b)可以作出曲線y=lnx的兩條切線,切點分別為A,B兩點。

(1)證明:0

(2)設(shè)線段AB的中點M的橫坐標為x0,試比較x0與a的大小關(guān)系。

若a≤0,則g(x)為增函數(shù),至多有一個零點,不合題意。

因此a>0,求導(dǎo)得g′(x)=當x∈(0,a)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(a,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增。所以當x=a時,g(x)取得最小值g(a)=lna-b。若要使g(x)有兩個零點,則需g(a)<0,即lna

(2)依題設(shè),只需比較x1+x2與2a的大小關(guān)系。

二、函數(shù)的單調(diào)性問題

可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)的充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立,且使f(x0)=0的x0在D內(nèi)是孤立的點。

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)f(x)=ex+sinxcosx-ax。

(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍。

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-ln(1-x),若g(x)≥0,求實數(shù)a的值。

解析:(1)由題意知f′(x)=ex+cosx+sinx-a。因為函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0,分離參數(shù)得a≤ex+cosx+sinx對任意x∈[0,+∞)恒成立。

綜上,在[0,+∞)上,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,所以a≤h(x)min=h(0)=2。

故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2]。

綜上所述,當g(x)≥0時,a=3。

點評:第(1)題,由已知轉(zhuǎn)化為a≤h(x)=ex+cosx+sinx恒成立,再轉(zhuǎn)化為求h(x)min。對含三角函數(shù)的函數(shù)可借助三角函數(shù)的有界性分類討論。第(2)題,先由g(x)≥g(0) (x<1)且等號成立,可知g(x)存在極小值點x=0,求得必要條件a=3;再證明a=3為g(x)≥0的充分條件即可。

該部分內(nèi)容主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點等,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。