應用導數(shù)研究函數(shù)的零點與極值問題

■湖南省郴州市第二中學 李 微

函數(shù)的零點與極值是函數(shù)的重要性質,是高考考查的重要方向。解決這兩類問題需要很強的導數(shù)綜合應用能力,構造與轉化的思辨能力,以及數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

一、零點問題

運用導數(shù)研究函數(shù)零點問題的思路是:通過求導確定函數(shù)的單調性、極值等,結合零點存在性定理予以解決。也可用轉化法,函數(shù)f(x)的零點即為方程f(x)=0 的實數(shù)解,也是分離參數(shù)后方程a=g(x)的解,可視為求函數(shù)y=a與y=g(x)的圖像的交點的橫坐標問題,結合圖像變化趨勢、最高(低)點、函數(shù)值域等即可解決。

1.已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

(1)若函數(shù)f(x)在(1,e)上有零點,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)當x≥1時,不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

評注:第(1)題用分離參數(shù)法,討論方程-a=k(x)有解時a的取值范圍。首先探求k(x)的單調性,由于k′(x)的正負即k(x)的單調性不明確,需令φ(x)=k′(x),求導后解不等式φ′(x)>0 與φ′(x)<0,可得k′(x)的單調性和極大值小于零,判定k(x)為減函數(shù),從而求得方程-a=k(x)在(1,e)上有解時a的取值范圍,即函數(shù)f(x)在(1,e)上有零點時a的取值范圍。第(2)題是在不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題,可用帶參討論法。變形構造適當?shù)暮瘮?shù)至關重要,直接構造函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)求導予以研究難度大,而構造函數(shù)F(x)=則難度驟減。在對F(x)二次求導后,需對a的取值進行二級分類討論,先分a>0與a≤0;再分F′(1)≥0與F′(1)<0予以討論。

2.求含參函數(shù)的零點個數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=xa-alnx-b(a≠0)。

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

評注:第(1)題,在應用函數(shù)零點存在性定理時,常常需驗證存在m,n,使得f(m)·f(n)<0,尋找m,n,可從特殊點或函數(shù)特點賦值而得。函數(shù)含有指數(shù)式ex,可賦含有對數(shù)lnx形式的值,函數(shù)含有對數(shù)式lnx,可賦含有ex形式的值。第(2)題的證法1,利用換元法(令xa=t)達到了降維減難度的目的,繼而轉化為極值點偏移問題。

二、極值(或最值)問題

函數(shù)極值問題的類型:(1)分類討論求極值(點);(2)已知極值(點)的情況求參數(shù)的值(或范圍)。

由于f′(x)=ex+x-1,顯然f′(x)在R上單調遞增,且f′(0)=0,所以當x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0。所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,0),單調遞增區(qū)間為(0,+∞)。

設g(x)=ex-(a+1)x-b,則g(x)min≥0。求導得g′(x)=ex-(a+1)。

①若a+1>0,令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)<0,得x

通過以上例題的分析可知,我們不僅要對零點與極值的概念及其求解步驟熟練掌握,還要對基本函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則能準確應用,練好基本功。零點問題與極值問題往往離不開導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性,有時還需通過二次求導才能解決問題,這其中需要嚴密的邏輯推理。二者常常與不等式的證明與求解密不可分。