導(dǎo)數(shù)試題中的易錯(cuò)易誤點(diǎn)歸類剖析

■貴州省遵義市第四中學(xué) 劉德文

長(zhǎng)期以來(lái),高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)板塊的內(nèi)容都是同學(xué)們學(xué)習(xí)的痛點(diǎn)。雖說(shuō)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題是一種十分優(yōu)美的方式,但是不少同學(xué)在實(shí)際解題過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)因?yàn)閷?duì)導(dǎo)數(shù)的工具性認(rèn)識(shí)不足,理解不夠透徹,掉進(jìn)命題人設(shè)置的各種各樣的陷阱里面,進(jìn)而造成在考試中出現(xiàn)失分的現(xiàn)象。針對(duì)上述情況,本文從以下八個(gè)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的題型入手,分析常見(jiàn)錯(cuò)解情況,再剖析同學(xué)們出錯(cuò)的原因,最后給出正確解答,從而幫助大家一起厘清概念,精準(zhǔn)理解,高效解題。

易錯(cuò)點(diǎn)一、對(duì)導(dǎo)數(shù)定義理解不清

易錯(cuò)點(diǎn)二、忽略函數(shù)的定義域

錯(cuò)因分析:求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí),由f′(x)>0解出x,再與定義域求交集才是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間時(shí),由f′(x)<0解出x,再與定義域求交集才是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。同學(xué)們要牢記函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,一定要定義域優(yōu)先。

正解:前面同錯(cuò)解得-1

易錯(cuò)點(diǎn)三、誤以為導(dǎo)數(shù)不存在,切線就不存在

錯(cuò)因分析: 錯(cuò)解1主要是未能厘清導(dǎo)數(shù)與切線、切線斜率之間的關(guān)系,誤以為導(dǎo)數(shù)不存在,切線就不存在;錯(cuò)解2考生混淆切線斜率為0與斜率不存在。實(shí)際上,大家要準(zhǔn)確理解斜率不存在,可以理解為該切線為x=x0,結(jié)合過(guò)原點(diǎn)(0,0),其實(shí)切線方程就是x=0。

易錯(cuò)點(diǎn)四、對(duì)曲線切線的定義理解有誤

錯(cuò)解:由于直線y=4x-4 與曲線C相切,因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒(méi)有其他的公共點(diǎn)。

錯(cuò)因分析:對(duì)于圓、橢圓等封閉的幾何圖形來(lái)說(shuō),“切線與曲線有唯一公共點(diǎn)”,就是說(shuō)直線與這些曲線的交點(diǎn)只有切點(diǎn),沒(méi)有其他點(diǎn),但對(duì)一般曲線來(lái)說(shuō)是不一定成立的,同學(xué)們可以畫出三次函數(shù)的草圖試一試。

易錯(cuò)點(diǎn)五、混淆單調(diào)區(qū)間為D 與在區(qū)間D 上單調(diào)

易錯(cuò)點(diǎn)六、誤以為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定取得極值

例6已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處取得極值0,則m+n=( )。

A.4 B.11

C.4 或11 D.3或9

錯(cuò)因分析:若函數(shù)在x=x0可導(dǎo),則f′(x0)=0是函數(shù)在x=x0處取得極值的必要條件,而非充要條件。如y=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,但0不是該函數(shù)的極值點(diǎn)。因此,需要將求出的m、n的值代入導(dǎo)函數(shù)中檢驗(yàn)。

易錯(cuò)點(diǎn)七、混淆極值與最值

例7求函數(shù)f(x)=x3-2x2+x在[-3,3]上的最值。

錯(cuò)因分析:函數(shù)并不一定在極值點(diǎn)處取最值,最值是針對(duì)函數(shù)的整個(gè)區(qū)間而言,是整體性質(zhì),而極值是局部性質(zhì),是兩個(gè)不同的概念。對(duì)于閉區(qū)間而言,需要將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,才能得出函數(shù)的最值。

易錯(cuò)點(diǎn)八、對(duì)極值理解有偏差

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增。所以g(x)min=g(1)=e,所以k

綜上所述,k≤e。故選A。