抵償面任意帶投影法在高海拔地區(qū)GNSS 控制網(wǎng)長度投影變形中的應(yīng)用

柯昌元 KE Chang-yuan

（貴州新中水工程有限公司，貴陽 550081）

0 引言

目前，我國使用的國家坐標(biāo)系統(tǒng)大多采用高斯投影。高斯投影由于是正形投影，所以保證了投影角度的不變性、圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長度比的同一性。

地面基線歸算到高斯平面要經(jīng)過兩次投影變換，首先將地面觀測的基線實(shí)際長度歸算到參考橢球面；然后再將橢球面上的實(shí)際長度歸算到高斯投影面。經(jīng)過兩次投影變換，會(huì)產(chǎn)生一定的投影變形，變形的大小隨投影點(diǎn)的地理位置和投影點(diǎn)與大地水準(zhǔn)面的距離不同而不同[1]。為了控制投影變形的影響，有效消除或減弱投影變形，必須對觀測結(jié)果進(jìn)行改正計(jì)算，以滿足測繪相關(guān)規(guī)范及工程建設(shè)的實(shí)際需要。根據(jù)《工程測量標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50026-2020）中3.1.5要求，平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系統(tǒng)，應(yīng)在滿足測區(qū)內(nèi)投影長度變形不大于25mm/km 的前提下進(jìn)行下列選擇：①可采用2000 國家大地坐標(biāo)系，統(tǒng)一的高斯投影3°帶平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；②可采用高斯投影3°帶，投影面為測區(qū)抵償高程面或測區(qū)平均高程面的平面直角坐標(biāo)系；或采用任意投影帶，投影面為國家高程基準(zhǔn)面或測區(qū)平均高程面的平面直角坐標(biāo)系；③對于小測區(qū)或有專項(xiàng)工程需求的測量控制網(wǎng)，也可采用獨(dú)立坐標(biāo)系；④針對已有平面控制網(wǎng)的區(qū)域，可沿用原有的坐標(biāo)系；⑤在廠區(qū)內(nèi)可采用建筑坐標(biāo)系；⑥大型的有特殊精度要求的工程測量項(xiàng)目或新建城市平面控制網(wǎng)，坐標(biāo)系統(tǒng)可進(jìn)行專項(xiàng)設(shè)計(jì)[2]。

1 影響長度投影變形的因素

1.1 高程對長度歸算的影響[3]假設(shè)基線兩個(gè)端點(diǎn)已經(jīng)過垂線偏差改正，則基線平均水準(zhǔn)面平行于橢球體面。此時(shí)由于水準(zhǔn)面離開橢球體面一定距離，會(huì)引起長度歸算的改正。

假設(shè)AB 為平均高程水準(zhǔn)面上的基線長度，以S0表示，Hm為基線端點(diǎn)平均大地高程；R 為基線方向法截線曲率半徑。則S0與S 滿足下列等式（公式1）：

由此得S0在橢球面上的長度為：

將上式展開級(jí)數(shù)，取至二次項(xiàng)，則有：

由公式3 可知，由高程引起的基線歸化改正數(shù)公式為：

可見，此項(xiàng)改正數(shù)主要是與基線的平均高程Hm及長度有關(guān)。

1.2 中央子午線對長度歸算的影響 在我國高斯投影6°帶中央子午線的經(jīng)度，由69°起每隔6°劃分為一帶，直至135°，共計(jì)12 帶。高斯3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，它的中央子午線一部分與6°帶中央子午線重合，而另一部分與6°帶的分界線重合。根據(jù)高斯投影的原理，在高斯投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，而其他位置的投影都存在變形，且離中央子午線越遠(yuǎn)投影變形越大。這就是橢球面距離投影到高斯平面存在長度變形的緣故。

2 長度投影變形歸算

在工程設(shè)計(jì)和實(shí)施過程中，通常都離不開測量工作?？刂茰y量為工程設(shè)計(jì)所需地形圖提供平面和高程基準(zhǔn)，同時(shí)也為工程施工放樣保駕護(hù)航。在工程的具體實(shí)施過程中，首先必須保證測量基準(zhǔn)的準(zhǔn)確性和可靠性。而對于平面控制測量，首先必須確定其采用的投影面和投影帶，以解決實(shí)量邊長歸算到參考橢球面以及參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面引起的長度投影變形問題，以滿足工程建設(shè)的精度要求。兩次長度投影歸算如下：

①實(shí)量邊長歸算到參考橢球面上，假設(shè)其變形影響值為△S1，則根據(jù)公式（4）取其近似值有下式：

在上述公式（5）中，Hm為歸算邊高出參考橢球面的平均高程，S0為歸算邊的長度，R 為曲率半徑。因此，根據(jù)公式（5）變形可得歸算邊的相對變形為：

依公式（5）、公式（6）分別計(jì)算得出每千米長度投影變形值和不同高程面上的相對變形，如表1 所示。此處R 的值均取其概值6370km。

表1 不同的Hm 每千米長度投影變形值和相對變形值

根據(jù)表1 可知，△S1的值顯示均為負(fù)值，表明將地面實(shí)量長度歸算到參考橢球面上，其長度均縮短了；△S1的絕對值與Hm成正比例關(guān)系，隨Hm的值增大而逐漸增大。在不考慮中央子午線影響的情況下，當(dāng)Hm不超過159 米時(shí)，其投影變形值△S1≤25mm/km，可滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求，不需要考慮投影變形的影響。

②參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上，假設(shè)其變形影響值為△S2，則根據(jù)距離改化公式有：

上式中S0=S+△S1，S0為投影歸算邊長，ym為歸算邊兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均值，Rm為參考橢球面平均曲率半徑。則可得投影邊長的相對投影變形為：

依公式（7）、公式（8）分別計(jì)算的每千米長度投影變形值以及相對投影變形值見表2 所示。

表2 不同的ym 每千米長度投影變形值和相對變形值

根據(jù)表2 可知，△S2的值顯示均為正值，表明將參考橢球面上的歸算長度再投影到高斯面上，其長度均增大了；△S2的值與ym的平方成正比例關(guān)系，并且離中央子午線距離越遠(yuǎn)，其變形值將越大。在不考慮測區(qū)平均高程影響的情況下，當(dāng)ym不超過45 千米時(shí)，其投影變形值△S2≤25mm/km，可滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求，不需要考慮投影變形的影響。

③測區(qū)投影變形綜合計(jì)算。

為使兩項(xiàng)長度改正得到完全或部分補(bǔ)償，即每千米長度投影總變形值|△S|≤25mm/km，方可滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。由于S0與S 極為接近，故取同值S，令R=Rm=6370km，故△S 須滿足下式要求。

3 長度投影變形值與坐標(biāo)系選擇

在工程建設(shè)過程中，根據(jù)不同的情況選擇不同的測量坐標(biāo)系。

3.1 國家3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 從上述表1、表2 可知，在進(jìn)行平面控制測量的，當(dāng)整個(gè)測區(qū)的平均高程小于等于159m，并且ym的值小于等于45km 時(shí)，地面基線的投影變形值△S1及△S2均小于等于25mm/km，可滿足測繪工作中大比例尺施測地形圖和工程施工放樣的測量精度要求。因此，在測區(qū)鄰近中央子午線和地面平均高程不太大的平丘區(qū)，可以不考慮地面基線歸算到參考橢球面的長度變形影響和參考橢球面上基線歸算到高斯面上的長度投影變形影響，而直接采用國家統(tǒng)一的3°帶高斯直角坐標(biāo)系作為工程測量的坐標(biāo)系，且不用對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。該坐標(biāo)系常用于測區(qū)位于中央子午線附近，且測區(qū)較平坦的工程測圖或施工放樣。

3.2 抵償投影面的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測區(qū)投影長度變形值＞25mm/km 時(shí)，可采用抵償投影面的3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系的投影仍是采用國家3°帶高斯投影，并且坐標(biāo)系的中央子午線仍然與原坐標(biāo)系保持一致，但投影采用的高程面不再是參考橢球面，而是根據(jù)消除或減小高斯投影長度變形而選擇的某一個(gè)平均高程參考面，該高程參考面對偏離中央子午線引起的投影變形進(jìn)行抵消。在這個(gè)高程參考面上，長度變形為零。該坐標(biāo)系常用于測區(qū)位于中央子午線附近，且地形落差較大的工程測圖或施工放樣。

3.3 任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測區(qū)投影長度變形值＞25mm/km 時(shí)，也可采用任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系。任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系仍然將地面基線歸算到參考橢球面上，但坐標(biāo)系投影帶所采用的中央子午線不再是按照國家標(biāo)準(zhǔn)3°帶的劃分方法來劃分，而是根據(jù)消除或減小高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線，一般以測區(qū)邊緣或測區(qū)中央子午線經(jīng)度作為新坐標(biāo)系的中央子午線，目的是通過移動(dòng)中央子午線對邊長歸算到參考橢球上的變形值進(jìn)行消減。該坐標(biāo)系常用于測區(qū)遠(yuǎn)離中央子午線附近，且較平坦的小面積工程測圖或施工放樣。

3.4 抵償投影面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測區(qū)遠(yuǎn)離國家3°帶高斯投影所采用的標(biāo)準(zhǔn)帶中央子午線，且整體海拔相對較高、高差較大，且投影長度變形值較大，通過單獨(dú)采用抵償投影面或移動(dòng)中央子午線的方式建立坐標(biāo)系已無法將投影變形值消除或減小時(shí)，這時(shí)可采用抵償投影面的任意帶高斯平面直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系通常是將投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到整個(gè)測區(qū)的平均高程面上。以上幾種坐標(biāo)系對比可知，采用這種坐標(biāo)系更能有效地實(shí)現(xiàn)兩次基線歸算長度投影變形改正的補(bǔ)償。該坐標(biāo)系常用在公路、鐵路等線性工程中，工程特點(diǎn)是全線平坦，高程變化不明顯，具體處理時(shí)分為兩種方案。一是直接投影法。首先將中央子午線移動(dòng)至測區(qū)中央，不考慮偏離中央子午線引起的長度變形值，而是計(jì)算投影到參考橢球面上引起的長度變形值。然后計(jì)算縮放系數(shù)，對坐標(biāo)放大處理即可。二是橢球膨脹法。選取地面上的一點(diǎn)，在法線方向上抬高橢球面，保持橢球膨脹后的中心、方向和扁率不變。基于橢球的各向異性，膨脹后原法線和新橢球面可能不垂直，就能得到新橢球的長半軸變化[4]。

4 應(yīng)用案例

4.1 工程背景及概況 該工程地處黔北某縣，地理位置分別位于東經(jīng)106.9028°~106.9518°，北緯28.4248°~28.4583°。為國家能源局《抽水蓄能中長期發(fā)展規(guī)劃（2021-2035）》長期規(guī)劃儲(chǔ)備項(xiàng)目，已納入《貴州省抽水蓄能電站中長期規(guī)劃》，為貴州“十六五”重點(diǎn)核準(zhǔn)開工建設(shè)項(xiàng)目。測區(qū)位于黔北山地與四川盆地的銜接地帶，構(gòu)造體系復(fù)雜，構(gòu)造運(yùn)動(dòng)強(qiáng)烈，冰川作用顯著，溶蝕、侵蝕并存，屬黔北中山峽谷區(qū)；地勢呈東北高、西南低形狀，最小高程約為600 米，最大高程約為1600 米；離中央子午線108°最遠(yuǎn)約為107.4 千米，最近約為102.6 千米。工程測繪的主要任務(wù)為測區(qū)范圍1:2000 比例尺地形圖測量，測區(qū)面積15.90平方千米。擬建電站設(shè)計(jì)上水庫壩頂高程為1445 米，下水庫壩頂高程為712 米。

4.2 測區(qū)坐標(biāo)系確定

4.2.1 測區(qū)長度投影變形估算及坐標(biāo)系選擇 由4.1節(jié)可知，測區(qū)Rm值約為6366km，測區(qū)平均高程面Hm約為1100 米，測區(qū)離中央子午線最遠(yuǎn)的橫坐標(biāo)為107.4km，測區(qū)中心距中央子午線的垂直距離為105km。通常在進(jìn)行高斯投影前，先估算高程歸化改正和高斯投影變形，保證綜合長度投影變形值不大于25mm/km，根據(jù)公式（5）、公式（7）以及公式（9）計(jì)算可得，△S1的值為-172.8mm/km，△S2的值為142.3mm/km，綜合長度投影變形值△S=-31.5 mm/km。由此可見，測區(qū)綜合長度投影變形每千米縮短31.5mm，采用標(biāo)準(zhǔn)3°帶高斯正形投影不能滿足測區(qū)內(nèi)投影長度變形不大于25mm/km 的要求。綜上所述，該工程測區(qū)應(yīng)選用抵償投影面的任意帶高斯正形投影獨(dú)立坐標(biāo)系，即通過選取抵償高程面和平移中央子午線的方法以減小長度投影變形的影響，從而滿足投影變形不超限的要求。在本項(xiàng)目中將中央子午線移至測區(qū)中部，取L0=106°56′。由于電站主要水工建筑物均布置在上、下水庫之間，且上水庫壩頂高程遠(yuǎn)低于測區(qū)最高點(diǎn)高程，故將測區(qū)抵償投影面略下移，取擬建電站設(shè)計(jì)上、下水庫壩頂高程平均值（即H0=1080 米）。

4.2.2 新坐標(biāo)系下長度投影變形綜合計(jì)算 由于該工程測區(qū)面積較小，且中央子午線已平移至測區(qū)中部，△S2等于零，故不考慮高斯投影變形影響。則新坐標(biāo)系下綜合長度投影變形為：

得每千米綜合長度投影變形為：

由上式可知每千米綜合長度投影變形縮短3.1mm，小于25mm/km，滿足規(guī)范要求，故該工程選用的抵償投影面的任意帶高斯正形投影獨(dú)立坐標(biāo)系可行。

4.3 平面控制網(wǎng)解算及成果對比 該工程聯(lián)測4 個(gè)國家C 級(jí)控制點(diǎn)（平面坐標(biāo)系為CGCS2000，高程基準(zhǔn)為1985 國家高程基準(zhǔn)），新作8 個(gè)四等GNSS 控制點(diǎn)。為方便設(shè)計(jì)和施工測量，使獨(dú)立坐標(biāo)系更接近國家坐標(biāo)系，該工程獨(dú)立坐標(biāo)系需掛靠在國家2000 大地坐標(biāo)系下?？刂破讲罱馑銜r(shí)，首先將4 個(gè)已知控制點(diǎn)采用橢球膨脹法轉(zhuǎn)換為抵償投影面的任意帶高斯正形投影獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（中央子午線經(jīng)度L0=106°56′，Hm=1080 米），再將新的控制點(diǎn)以對角線交點(diǎn)為基點(diǎn)，靠近測區(qū)的短邊對角線為基線平移、旋轉(zhuǎn)至國家2000 大地坐標(biāo)系，從而得到掛靠于國家2000 大地坐標(biāo)系下的抵償投影面的任意帶獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)。最后，將其帶入平差軟件進(jìn)行平差計(jì)算，最終得到整個(gè)工程控制網(wǎng)點(diǎn)在抵償面的任意帶獨(dú)立坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值?？刂凭W(wǎng)投影變形前后控制點(diǎn)坐標(biāo)及邊長對比如表3 所示。

表3 控制網(wǎng)投影變形前后坐標(biāo)及邊長對比表

5 結(jié)束語

在工程建設(shè)過程中，為保證工程施工放樣工作順利進(jìn)行，必須使控制點(diǎn)坐標(biāo)反算的邊長與實(shí)地測量的邊長相等。因此，地面實(shí)測邊長歸算到參考橢球面上的變形值及參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形值代數(shù)和必須小于施工放樣的精度要求，通常規(guī)定投影長度變形值小于25mm/km，即邊長相對誤差小于1/40000。文中通過工程實(shí)例驗(yàn)證了在測區(qū)遠(yuǎn)離中央子午線，高海拔、高落差的地區(qū)采用抵償高程面的任意帶獨(dú)立坐標(biāo)系，通過抬高投影面和平移中央子午線可有效消減綜合長度投影變形值，從而滿足工程測量的精度要求，保證地圖的順利接邊和使用，對高海拔地區(qū)控制測量坐標(biāo)系的選擇有一定的借鑒作用。