廣義梅涅勞斯定理及三角形相交線公式

上海啟振教育(200135) 余學(xué)峰

1 廣義梅涅勞斯定理

已知: 如圖,在三角形ABC中,AE交DF于O點,并且AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′,求:AO:OE,DO:OF數(shù)值.

解答: 1. 如圖,做輔助線DG和FH,并且平行于BC,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

聯(lián)立①和②,可知:DG:FH=ac(a′+b′):a′c′(a+b),又因為BG//FH,所以DO:OF=DG:FH=ac(a′+b′) :a′c′(a+b)極美的對稱性!

2. 下面來求AO:OE的數(shù)值:

(1)假設(shè)a/b＜a′/b′,因為DG平行FH,所以

另外,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

由②得:

由③得:

聯(lián)立④⑤可得:

聯(lián)立①⑥得:

所以,聯(lián)立④⑦⑧⑨可以得到:

那么,根據(jù)以上兩項,經(jīng)過大量復(fù)雜的計算和化簡可知:AO:OE=aa′(c+c′):(ab′c+a′bc′)又是極美的對稱性!

(2)假設(shè)a/b＞a′/b′,同理可得以上結(jié)果.

(3)假設(shè)a/b=a′/b′,即DF//BC,以上結(jié)果仍然成立.

2 為何稱為“廣義梅涅勞斯定理”?

在這里,很多讀者認(rèn)為數(shù)學(xué)論文到此就結(jié)束了,其實不然. 為什么我稱這個定理為廣義梅涅勞斯定理呢? 我們可以令b=0,則DO:OF=c(a′+b′):c′a′,這不就是梅涅勞斯定理嗎? 而且,AO:OE=a′(c+c′) :b′c,這也是梅氏定理啊! 我們還可以令b′=0,則DO:OF=ac:c′(a+b),這也是梅氏定理,且AO:OE=a(c+c′) :bc′,這個還是梅氏定理. 所以,我們說: 這個數(shù)學(xué)定理(或者說數(shù)學(xué)公式)是廣義梅涅勞斯定理,它的某種特例表現(xiàn)為梅涅勞斯定理.

3 五種“三角形相交線”數(shù)學(xué)模型及公式

三角形中另有兩根相交線段,共有五種形式如下(下有附圖):

1. 兩根線段都由三角形頂點引出, 并且相交, 這種情況的線段比例或線段長度可由梅涅勞斯定理求出: (令A(yù)D:DB=a:b,AE:EC=a′:b′)

2. 兩根線段一根由三角形頂點引出,一根是邊到邊,并且相交, 這種情況的線段比例或線段長度可由廣義梅涅勞斯定理求出: (令A(yù)D:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′).

3. 兩根線段一根由三角形頂點引出, 一根是邊到邊, 并且相交, 這種情況與第一種很相似, 它的線段比例可由梅涅勞斯定理求出: (令A(yù)D:DB=a:b,BE:EF:FC=a′:b′:c′)

4. 兩根線段都是邊到邊, 并且相交, 這種情況可以由梅氏定理求解: (令A(yù)D:DE:EB=a:b:c,AF:FG:GC=a′:b′:c′)

5. 兩根線段都是邊到邊,并且相交,這種情況非常復(fù)雜,必須由梅氏定理和廣義梅氏定理求解: (令A(yù)D:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BG:GE:EC=c:o:c′)

公式5 的證明: 連結(jié)CD和DG,CD交FG于O′. 在ΔABC中,根據(jù)本人的廣義梅涅勞斯定理有:

又因為在ΔCDG中,根據(jù)梅涅勞斯定理有:

并且,

4 具體運(yùn)用

綜上所述,關(guān)于三角形內(nèi)兩根相交線段的問題就可以得到全面的解決,也為三角形內(nèi)蝴蝶模型的計算以及更為復(fù)雜的三線相交乃至多線相交問題的簡便快速計算打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 舉例如下:

例1: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求DO:OF,AO:OE.

解: 根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,

有了定理在手,就可以秒殺了!

例2: 已知ΔABC中,AD:DB= 1 : 1,AF:FC=1:2,AO:OE=5:7,求DO:OF.

解: 設(shè)BE:EC=c:c′,根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,同樣根據(jù)廣義梅涅勞斯定理,并結(jié)合上式,

同樣是輕松解決.

例3: 在ΔABC中,BE:EC=2:1,DO:OF=3:1,AO:OE=3:5,求AF:FC.

解: 令A(yù)D:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,根據(jù)廣義梅涅勞斯定理知,

同理可知:

聯(lián)立①②可得:a:b= 1 : 1,a′:b′= 1 : 2, 所以,AF:FC=1:2.

這道題如果不用廣義梅氏定理,當(dāng)然也可以解出,只是非常復(fù)雜.

例4: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求AO:OO′:O′E.

解: 根據(jù)廣義梅涅勞斯定理知,

由梅涅勞斯定理知,

聯(lián)立①②,得:

聯(lián)立①②③,得:AO:OO′:O′E=20:16:9.

本題有著普通數(shù)學(xué)競賽題的難度,但是用了兩大定理之后,可以秒殺,可見運(yùn)用之方便!

例5: 如圖, 在ΔAC0C71中,AB0:B0C0= 1 : 1,AB71:B71C71= 2 : 1,C0C1:C1C2:···:C30C31:···:C70C71= 1949 : 1950 :···: 1979 :···: 2019, 求:B0B1:B30B31:B70B71.

本題是一道國慶獻(xiàn)禮題, 由本人在偉大的祖國成立70周年之際所創(chuàng)立,用來比喻我們偉大的祖國越來越富強(qiáng),越來越繁榮昌盛! 所求三個數(shù)值分別對應(yīng)著1949 年建國、1979年改革開放、2019 年新中國成立70 周年. 本人起初用了一個多小時才解出此題,后來本人鉆研出廣義梅涅勞斯定理之后,十分鐘左右解答完畢,可見廣義定理的實用性!

同理,

聯(lián)立③④可以得出:

(注: 如果需要準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)值也可以,只是數(shù)值過于復(fù)雜,沒有必要,所以用了近似值),聯(lián)立①②⑤,可知:

這三個線段分別代表了1949、1979、2019,它們的數(shù)值越來越大,從“1”到“1.27”,再到“1.83”,以此比喻我們的祖國必將越來越強(qiáng)盛、越來越美好!