教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力
——以“簡(jiǎn)單組合體的三視圖”為例

廣西壯族自治區(qū)南寧市廣西民族大學(xué)(530006) 張權(quán) 劉恒

1 前言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中指出通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力[1].空間想象能力是數(shù)學(xué)三大基本能力之一,是人們對(duì)客觀事物的空間形式(空間形體與位置)進(jìn)行觀察、感知、分析的思維能力,是形象思維與邏輯思維結(jié)合形成的一種認(rèn)識(shí)、理解圖形形狀、位置及其變化的能力[2]. 有研究表明,空間能力對(duì)于右半球智力的開(kāi)發(fā)十分重要,能讓學(xué)生創(chuàng)造性地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)[3]. 可以看出,培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力可以在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造力. 這也就回答了為什么需要在教學(xué)過(guò)程中關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握的同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)逐步形成正確的價(jià)值觀、必備品格以及關(guān)鍵能力.

空間想象力的培養(yǎng)可以“借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律”[1],即學(xué)生通過(guò)觀察現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物,想象空間事物之間的聯(lián)系,建構(gòu)起對(duì)空間幾何的感知.“簡(jiǎn)單組合體的三視圖”是借助空間中物體的形狀及位置關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間事物感知的內(nèi)容,它是學(xué)生學(xué)習(xí)了基本幾何體三視圖畫法之后學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn),是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的一個(gè)重要內(nèi)容. 本節(jié)課從“組織教學(xué),回顧舊知”到“講授新課,課堂實(shí)踐”,再到“變式教學(xué),發(fā)散思維”,最后“布置作業(yè),鞏固提升”,培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.

2 在“簡(jiǎn)單組合體的三視圖”教學(xué)中培養(yǎng)空間想象能力

在“簡(jiǎn)單組合體的三視圖”這節(jié)課中,教師從創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,吸引學(xué)生的注意力,及引導(dǎo)學(xué)生回憶基本幾何體的三視圖開(kāi)始,通過(guò)類比學(xué)習(xí),由基本幾何體三視圖的繪制方法對(duì)比學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單組合體三視圖的畫法,讓學(xué)生們?cè)谡n堂上進(jìn)行實(shí)體操作,畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖,及根據(jù)三視圖來(lái)還原實(shí)物圖,最后合理地布置作業(yè),培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力.

2.1 組織教學(xué),回顧舊知

教師首先在多媒體上展示幾個(gè)生活中實(shí)物體的三視圖,組織教學(xué),引起學(xué)生的注意,調(diào)動(dòng)空間想象思維. 其次引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本幾何體三視圖的畫法. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是“簡(jiǎn)單組合體三視圖”的畫法,簡(jiǎn)單組合體是由基本幾何體經(jīng)過(guò)拼接或者從基本幾何體中挖掉一部分所形成的立體圖形,學(xué)生們?cè)诔踔幸呀?jīng)接觸過(guò)基本幾何體和一些簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,知道基本幾何體三視圖的繪制方法,由基本幾何體的三視圖逐漸延伸到簡(jiǎn)單組合體的三視圖的學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)了層層遞進(jìn)的教學(xué)過(guò)程. 下面以復(fù)習(xí)圓柱體三視圖的畫法為例:

圖1 圓柱體及其三視圖

從不同的方向觀察同一物體, 得到的三視圖可能不同.繪制幾何體的三視圖,首先確定主視方向,再分別從主視方向、左視方向、俯視方向?qū)缀误w進(jìn)行投影,即假設(shè)一束光分別從這三個(gè)方向投射過(guò)來(lái),經(jīng)過(guò)幾何體后打在光板上形成投影. 其次對(duì)三視圖進(jìn)行繪制,投射時(shí)眼睛看得見(jiàn)的線段畫實(shí)線,看不見(jiàn)的線段畫虛線. 最后注意三視圖位置: 左視圖在主視圖的左邊,俯視圖在主視圖的下方;以及長(zhǎng)度之間的關(guān)系:主視圖與俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”,主視圖與左視圖“高平齊”,左視圖與俯視圖“寬相等”.

通過(guò)展示實(shí)物體的三視圖和回顧基本幾何體三視圖的繪制方法,激活了學(xué)生的空間想象. 同時(shí)學(xué)生在觀察三視圖形成的過(guò)程中,對(duì)三視圖的做法有了深刻的理解,為接下來(lái)學(xué)習(xí)繪制簡(jiǎn)單組合體三視圖奠定了基礎(chǔ).

2.2 講授新課,課堂實(shí)踐

繪制三視圖的過(guò)程即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的過(guò)程,數(shù)學(xué)是一門實(shí)踐性比較強(qiáng)的學(xué)科,特別是幾何與圖形這個(gè)模塊的學(xué)習(xí)[4]. 因此在簡(jiǎn)單組合體三視圖的教學(xué)過(guò)程中要求學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,讓學(xué)生繪出簡(jiǎn)單組合體的三視圖,在繪制的過(guò)程中能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決.

這部分分為三個(gè)環(huán)節(jié): 理解新概念、教師板演、學(xué)生實(shí)踐. 第一,在本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中,起初學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖的繪制可能會(huì)無(wú)從下手, 但通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單組合體概念的理解,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單組合體就是由幾個(gè)基本幾何體組成,而簡(jiǎn)單組合體三視圖的繪制方法就是將簡(jiǎn)單組合體拆分成幾個(gè)基本幾何體,然后分別畫出幾個(gè)基本幾何體的三視圖,最后進(jìn)行拼接,本質(zhì)是根據(jù)基本幾何體三視圖的繪制方法對(duì)簡(jiǎn)單組合體的三視圖進(jìn)行繪制. 第二,教師在黑板上板演,給學(xué)生示范如何繪制簡(jiǎn)單組合體的三視圖,如例2. 第三,學(xué)生自己動(dòng)手畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖,教師予以指導(dǎo).

例1 畫出下列圖2 螺栓簡(jiǎn)單組合體的三視圖

圖2 螺栓組合體

經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo),學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)螺栓組合體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱拼接而成,因此,可以將它拆成一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱,在確定主視方向之后進(jìn)行投影,分別畫出正六棱柱和圓柱的三視圖并按要求擺放,從而得到這個(gè)螺栓的三視圖. 教師在黑板上對(duì)螺栓組合體三視圖的繪制過(guò)程進(jìn)行演示,如圖3 所示:

圖3 螺栓組合體三視圖

教師板演之后,總結(jié)繪制簡(jiǎn)單組合體三視圖的一般過(guò)程:第一步,先對(duì)給出的簡(jiǎn)單組合體進(jìn)行拆分,分清楚由哪幾個(gè)基本幾何體組成. 第二步,分別畫出拆分后的基本幾何體的三視圖. 第三步,跟據(jù)這幾個(gè)基本幾何體的擺放位置進(jìn)行拼接,得到原來(lái)簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

看過(guò)教師板演之后,學(xué)生課堂實(shí)踐. 實(shí)踐是創(chuàng)新的源泉,實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn),學(xué)生通過(guò)在解決問(wèn)題時(shí)的動(dòng)手實(shí)踐操作中,不斷發(fā)展自己的空間想象力[5]. 在實(shí)踐中形成自己的解題方法,提高這一類問(wèn)題的求解能力,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力.

提升練習(xí): 請(qǐng)同學(xué)們自行畫出這個(gè)簡(jiǎn)單組合體(如圖4)的三視圖,教師走下講臺(tái),觀察同學(xué)們的作圖情況,并予以指導(dǎo).

圖4

由圖4 可知,這個(gè)組合體由四部分組成,兩個(gè)長(zhǎng)方體、半圓柱體、并在半圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體的拼接處挖了一個(gè)圓柱體. 此時(shí)要注意這四部分的擺放位置以及分別從三個(gè)方向進(jìn)行投影,投影時(shí)注意哪些地方看得見(jiàn)畫實(shí)線,哪些地方看不見(jiàn)畫虛線,如圖5 所示. 教師通過(guò)課堂觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诶L制三視圖的過(guò)程中存在以下問(wèn)題: 第一,學(xué)生們沒(méi)有嚴(yán)格按照尺規(guī)作圖,使得畫出來(lái)的圖形不美觀;第二,學(xué)生們總喜歡將三幅圖放在一條線上,因此很難做到“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”;第三,學(xué)生們不理解“投影”的概念,因而不知道哪條線該畫實(shí)線,哪條線該畫虛線. 在學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)教師根據(jù)學(xué)生在作圖過(guò)程中出現(xiàn)的這些問(wèn)題予以糾正,學(xué)生也從自己的實(shí)際操作過(guò)程中,深刻理解了簡(jiǎn)單組合體三視圖的概念,和掌握了簡(jiǎn)單組合體三視圖的畫法. 對(duì)于簡(jiǎn)單組合體三視圖的繪制不僅需要學(xué)生能夠畫出組成這個(gè)簡(jiǎn)單組合體的基本幾何體的三視圖,而且需要學(xué)生確定它們的位置,按照主、左、俯視圖的位置規(guī)范作圖,對(duì)學(xué)生做圖能力提出了更高要求的同時(shí)提高學(xué)生的空間想象能力.

圖5

2.3 變式教學(xué),發(fā)散思維

在學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單組合體的三視圖之后,學(xué)生習(xí)慣了看到實(shí)物圖去聯(lián)想三視圖這種定向思維. 為了避免學(xué)生的思維定勢(shì),進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力,可以讓學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單組合體的三視圖反推實(shí)物圖, 不僅有利于學(xué)生逆向思維的養(yǎng)成,鍛煉了學(xué)生的作圖能力,也能發(fā)展學(xué)生的空間想象能力. 因此本節(jié)課設(shè)計(jì)了由三視圖還原實(shí)物圖的例題,如例2.

例2根據(jù)三視圖,想象物體原型,并畫出物體的實(shí)物草圖.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析: 由圖6 主視圖和左視圖可以看出這是兩個(gè)柱體的組合, 再由俯視圖可以確定上面是一個(gè)圓柱,下面是一個(gè)正四棱柱,如圖7 所示.

圖6

圖7

學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單組合體三視圖還原實(shí)物圖的學(xué)習(xí),再一次體會(huì)空間事物的形狀以及位置關(guān)系,在更深層次上鍛煉了學(xué)生的空間想象能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.4 布置作業(yè),鞏固提升

培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力并非全靠課堂教學(xué),學(xué)生課后獨(dú)立思考同樣重要,這就需要教師合理地布置課后作業(yè). 對(duì)于本節(jié)課作業(yè)的設(shè)計(jì), 要起到培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的作用,應(yīng)由易到難、層層遞進(jìn). 因此設(shè)計(jì)如下作業(yè)題[6]:

1. 畫出下列幾何體的三視圖;

2. 由下圖(1)中的三個(gè)幾何體可組成不同的組合體,如(2)(3)(4). 請(qǐng)分別畫出它們的三視圖;

3. 根據(jù)以下三視圖想象物體原形,并分別畫出物體的實(shí)物圖;

4. 畫出你家的一個(gè)家具的三視圖.

作業(yè)題的第一題是畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖. 本題中第一個(gè)幾何體是由一個(gè)正方體削去一個(gè)頂點(diǎn)形成的簡(jiǎn)單組合體,第二個(gè)幾何體是由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)圓錐拼接而成的簡(jiǎn)單組合體,這兩個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖都能較容易的畫出來(lái). 布置此題的主要目的: 一是鞏固學(xué)生的空間想象力;二是強(qiáng)調(diào)簡(jiǎn)單組合體形成的兩種方法“在一個(gè)基本幾何體中切掉或挖掉一部分”和“由兩個(gè)基本幾何體拼接而成”. 第二題同樣是要求學(xué)生畫出簡(jiǎn)單組合體的三視圖,但相比于作業(yè)題的第一題,此題在空間想象和作圖技能難度都有所提升. 第三題是考察學(xué)生有三視圖還原實(shí)物圖的能力,對(duì)學(xué)生的空間想象力提出了更高的要求. 第四題是一個(gè)開(kāi)放型的問(wèn)題,目的是讓學(xué)生將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái),理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是為了數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí),更是為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù).

3 小結(jié)

“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,簡(jiǎn)單組合體的三視圖這節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度觀察物體,這需要一定的空間想象能力, 同時(shí)也能夠培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.數(shù)學(xué)課堂上如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力? 第一,教師要設(shè)計(jì)良好的導(dǎo)入. 好的開(kāi)始等于成功一半,如在新課之前給學(xué)生觀看一些現(xiàn)實(shí)生活中的立體幾何,將學(xué)生的思維引入教學(xué)情境中,為一節(jié)內(nèi)容做好鋪墊. 第二,教師要把握好內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu). 培養(yǎng)空間想象力在高中涉及到的內(nèi)容有“線面、面面位置關(guān)系”“圓錐曲線”以及“二面角與線面角的運(yùn)算”等等,在接觸到培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的內(nèi)容時(shí)要兼顧學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,課程內(nèi)容要循序漸進(jìn),由易入難、由淺到深. 第三,教師在教學(xué)過(guò)程中使用變式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力. 在培養(yǎng)學(xué)生空間想象力時(shí),學(xué)生通常都是正向思維,如看到實(shí)物圖去聯(lián)想它的三視圖. 但學(xué)生需要在學(xué)會(huì)了畫三視圖的基礎(chǔ)上,學(xué)生要形成由三視圖還原實(shí)物圖的思維轉(zhuǎn)變,由原來(lái)的正向思維跨越到逆向思維,使得思維更加發(fā)散、靈活. 第四,教師要巧妙地設(shè)計(jì)課后作業(yè). 根據(jù)學(xué)生課堂表現(xiàn),合理地設(shè)計(jì)作業(yè)題,鞏固學(xué)生新學(xué)的知識(shí)和技能,發(fā)展學(xué)生空間想象力.