模糊厭惡下基于區(qū)塊鏈挖礦算力投資模型研究

王良熠,沈明軒,費(fèi)為銀

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

比特幣作為第一個(gè)去中心化的可運(yùn)行的數(shù)字貨幣,它的市場(chǎng)運(yùn)作與行業(yè)動(dòng)態(tài)值得我們關(guān)注研究。在比特幣等一類加密數(shù)字貨幣市場(chǎng)中,商家和消費(fèi)者能夠以更低的成本去交易,且區(qū)塊鏈技術(shù)使得這樣的交易和使用傳統(tǒng)銀行系統(tǒng)相比幾乎是一樣安全的。這種安全性依賴于將密碼原語(yǔ)的穩(wěn)健性和參與協(xié)議執(zhí)行的代理人的經(jīng)濟(jì)激勵(lì)相結(jié)合。礦工在這其中扮演主角,他們通過工作量證明解決隨機(jī)數(shù)難題生成新區(qū)塊并以加密方式賦予時(shí)間戳,獲得記賬權(quán)的礦工將交易信息記錄在區(qū)塊中。在工作量證明共識(shí)機(jī)制下,每個(gè)節(jié)點(diǎn)利用自身的算力不斷進(jìn)行哈希運(yùn)算來尋找符合條件的隨機(jī)數(shù)。最快找到隨機(jī)數(shù)并驗(yàn)證通過的節(jié)點(diǎn)將獲得記賬權(quán),生成并發(fā)布新區(qū)塊添加到區(qū)塊鏈上,該過程就稱為“挖礦”,每輪競(jìng)爭(zhēng)的獲勝者會(huì)獲得一定數(shù)目的比特幣作為獎(jiǎng)勵(lì),分散在世界各地的通過操縱計(jì)算機(jī)或礦機(jī)參與挖礦的人稱為“礦工”。攻擊比特幣的成本與礦工投入的算力成正比,因?yàn)樵摮杀居晒ぷ髁孔C明協(xié)議中隨機(jī)數(shù)難題的難度決定。整個(gè)系統(tǒng)要想保持安全性,攻擊的成本必須服從比特幣價(jià)值的指數(shù)級(jí)增長(zhǎng),用于挖礦的其他資源也是一樣。起初一些礦工由于興趣愛好使用他們的個(gè)人計(jì)算機(jī)開始挖礦,而后漸漸地發(fā)展成為挖礦行業(yè),使用專門用于挖礦的機(jī)器設(shè)備(后文中統(tǒng)稱為礦機(jī))進(jìn)行挖礦,這個(gè)行業(yè)通過挖礦社區(qū)網(wǎng)絡(luò)消耗全世界近0.15%的電力。因此,礦工的挖礦行為決策需要考慮成本、回報(bào)以及市場(chǎng)的不斷變化和不確定因素。綜上,本文的研究工作首先去分析挖礦市場(chǎng)中的一些重要因素以供進(jìn)一步建模并深入研究。

眾所周知,比特幣的可行性對(duì)于挖礦市場(chǎng)而言是十分重要的,本文基于模糊不確定環(huán)境,建立了一個(gè)表現(xiàn)挖礦市場(chǎng)隨時(shí)間演化的均衡模型,表明網(wǎng)絡(luò)算力投資僅使用比特幣兌美元的匯率就可以預(yù)測(cè),并且當(dāng)市場(chǎng)的模糊程度較高時(shí),礦工挖礦面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)較大。挖礦的硬件投資有兩個(gè)重要特點(diǎn):第一,礦機(jī)在挖礦市場(chǎng)之外沒有轉(zhuǎn)售的價(jià)值,因?yàn)榈V機(jī)只能用于挖礦;第二,未來的收入有諸多的不確定性,因?yàn)楸忍貛艃睹涝膮R率波動(dòng)較大。這兩個(gè)重要的特點(diǎn)結(jié)合就使得還未進(jìn)入市場(chǎng)的礦工由于預(yù)期收入不確定需要考慮進(jìn)入市場(chǎng)是否合理,而對(duì)于現(xiàn)有的已在市場(chǎng)中挖礦的礦工而言,退出市場(chǎng)的成本也是足夠高的,同樣需要謹(jǐn)慎考慮。本文的研究面臨的主要挑戰(zhàn)是,我們不能將每個(gè)獨(dú)立礦工對(duì)待挖礦收入的問題看作是外生的,相反,我們必須考慮市場(chǎng)中活躍礦工的數(shù)量如何內(nèi)生性地決定回報(bào)。本文的經(jīng)濟(jì)學(xué)視角是比特幣協(xié)議的相關(guān)規(guī)定使得挖礦算力產(chǎn)生了一條下降的需求曲線,因此,挖礦市場(chǎng)表現(xiàn)為一個(gè)具有競(jìng)爭(zhēng)力的行業(yè),與傳統(tǒng)的完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)類似。

本文將比特幣兌美元的匯率與比特幣網(wǎng)絡(luò)總算力結(jié)合,構(gòu)建了一個(gè)衡量礦工回報(bào)的新變量,建立模型并預(yù)測(cè)出礦工購(gòu)買新的硬件當(dāng)且僅當(dāng)回報(bào)達(dá)到反射邊界,回報(bào)不會(huì)超過這個(gè)臨界值,因?yàn)樾碌倪M(jìn)入觸發(fā)了挖礦難度的增加,導(dǎo)致收入降低。本文還考慮挖礦硬件設(shè)備的技術(shù)進(jìn)步因素,在均衡模型使用了一個(gè)體現(xiàn)技術(shù)進(jìn)步的比率,從而使得分析描述更具顯示意義和研究?jī)r(jià)值。

1 文獻(xiàn)綜述

現(xiàn)有的很多文獻(xiàn)從各個(gè)方面對(duì)比特幣作出了詳細(xì)分析研究。Nakamoto[1]最早提出了比特幣系統(tǒng)的架構(gòu)模型,為其設(shè)計(jì)了工作量證明(PoW)共識(shí)機(jī)制并在文獻(xiàn)中詳細(xì)說明。Decker和Wattenhofer[2]分析了比特幣如何通過網(wǎng)絡(luò)傳播交易和區(qū)塊來更新分類賬副本,并使用收集到的信息來驗(yàn)證以下猜測(cè):網(wǎng)絡(luò)中的傳播延遲是區(qū)塊鏈分叉的主要原因。Karame[3]分析了使用比特幣進(jìn)行快速支付的安全性,并專注于研究針對(duì)快速支付的雙重支付攻擊。Reid等[4]從比特幣的公有交易歷史出發(fā),研究了兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),證明了這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有非平凡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),提供了比特幣系統(tǒng)的互補(bǔ)視圖,并且對(duì)匿名性有影響。

隨著加密貨幣原理逐漸應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,部分文獻(xiàn)開始對(duì)比特幣一類的加密貨幣以及挖礦行為進(jìn)行較為深入的經(jīng)濟(jì)學(xué)機(jī)理研究。Chiu[5]研究了比特幣等一類加密貨幣的優(yōu)化設(shè)計(jì),并定量評(píng)估此類貨幣對(duì)雙邊貿(mào)易的支持程度。Hong等[6]分析了法定貨幣和數(shù)字貨幣的雙重貨幣制度,并在傳統(tǒng)貨幣經(jīng)濟(jì)模型框架下研究了法定貨幣和數(shù)字貨幣的潛在擠出效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)使用一種貨幣(交換媒介和價(jià)值儲(chǔ)存)的成本極高,而使用另一種貨幣的成本極低的極端情況下會(huì)產(chǎn)生擠出效應(yīng)。Rosenfeld[7]描述了用于計(jì)算比特幣礦池挖礦參與者獎(jiǎng)勵(lì)的各種評(píng)分系統(tǒng),解釋了每種評(píng)分系統(tǒng)的設(shè)計(jì)用來解決的問題并分析了各自的優(yōu)缺點(diǎn)。洪陽(yáng)等[8]在模擬誠(chéng)實(shí)礦工挖礦實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)研究自私挖礦情況下礦工的最佳相對(duì)收益。姚前[9]基于經(jīng)濟(jì)學(xué)的視角剖析了區(qū)塊鏈技術(shù)的激勵(lì)相容設(shè)計(jì)。

還有一些文獻(xiàn)通過建立模型來分析礦工行為以及比特幣挖礦市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)。Biais等[10]將工作量證明區(qū)塊鏈協(xié)議建模為一個(gè)隨機(jī)博弈,并分析了理性的戰(zhàn)略礦工的均衡策略。費(fèi)為銀等[11]從挖礦找到隨機(jī)數(shù)這一事件入手,建立挖礦收益與確定性等價(jià)收入模型,建立礦池管理者關(guān)于池費(fèi)的最大化期望效用模型和礦工關(guān)于自身算力分配的最大化收益模型,分析算力優(yōu)化問題。Athey等[12]建立了一個(gè)用戶采納和使用虛擬貨幣(如比特幣)的模型,重點(diǎn)研究了當(dāng)存在匯率不確定性引起的摩擦?xí)r,虛擬貨幣用戶采納的變化情況,該理論模型可用于分析市場(chǎng)基本面如何決定法定貨幣兌比特幣的匯率。Prat等[13]提出了用比特幣/美元匯率來預(yù)測(cè)比特幣網(wǎng)絡(luò)算力的模型,通過校準(zhǔn)模型參數(shù)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)算力隨時(shí)間的演變規(guī)律,通過樣本外測(cè)試和對(duì)進(jìn)入規(guī)則的調(diào)查來確定模型的準(zhǔn)確性。

挖礦活動(dòng)作為一項(xiàng)不可逆投資,其中有許多經(jīng)濟(jì)學(xué)因素值得深入研究,也與許多競(jìng)爭(zhēng)行業(yè)有著類似之處。Aied等[14]建立了明確的社會(huì)最優(yōu)規(guī)則,用于具有不確定性的不可逆的投資決策,并詳細(xì)討論了經(jīng)濟(jì)效應(yīng)。Caballero等[15]研究了在一個(gè)具有不可逆投資的競(jìng)爭(zhēng)性行業(yè)中,行業(yè)性和不確定性對(duì)企業(yè)進(jìn)入、總投資和價(jià)格的影響,并決定了進(jìn)入決策和由此產(chǎn)生的行業(yè)均衡及相關(guān)特征,指出不同的不確定性來源產(chǎn)生的影響。作者強(qiáng)調(diào)不可逆性影響價(jià)格的均衡分布,而均衡分布又反過來影響進(jìn)入。Dixit等[16]首次詳細(xì)闡述了企業(yè)資本投資決策的新理論方法,強(qiáng)調(diào)了大多數(shù)投資決策的不可逆性,以及做出這些決策的經(jīng)濟(jì)環(huán)境的持續(xù)不確定性。

經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不確定性影響著投資者的決策,目前,不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始研究模糊不確定對(duì)各種經(jīng)濟(jì)行為的影響。隨著全球經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不斷變化,影響金融市場(chǎng)中投資者投資決策的因素也變得越來越復(fù)雜,這些因素往往會(huì)對(duì)投資者的投資效率帶來沖擊。因此在進(jìn)行投資決策時(shí),除了需要考慮風(fēng)險(xiǎn)外,還需要將模糊性納入衡量投資收益的不確定性當(dāng)中進(jìn)行考量,以便作出更加明智的決策。Chen等[17]在一個(gè)具有代表性的代理資產(chǎn)市場(chǎng)環(huán)境中提出一個(gè)模型,該模型提供了對(duì)超額回報(bào)的限制并考慮了反映風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和模糊性單獨(dú)溢價(jià)的情況。文中表示不確定性定義可分為明確的兩部分:風(fēng)險(xiǎn)(Risk)和模糊性(Ambiguity)。風(fēng)險(xiǎn)是指存在特定的概率分布,可計(jì)算期望和方差的不確定性;而模糊性則是指不確定性無法計(jì)算的情況,即沒有明確的概率分布以及期望和方差。Miao等[18]在研究中區(qū)分風(fēng)險(xiǎn)和模糊不確定性,采用了多先驗(yàn)效用模型研究模糊性對(duì)期權(quán)行權(quán)決策的影響,結(jié)果表明模糊性對(duì)期權(quán)行使決策的影響取決于繼續(xù)收益和終止收益的相對(duì)模糊程度,模糊性可能會(huì)加速或延遲期權(quán)的行使。Neamtiu等[19]主要研究了模糊性對(duì)投資管理和現(xiàn)金控股的影響。Agliardi等[20]將模糊性引入可轉(zhuǎn)換債務(wù)的未定權(quán)益模型,研究了股權(quán)持有人和債務(wù)持有人的模糊偏見對(duì)可轉(zhuǎn)換債務(wù)估值的影響,運(yùn)用債券價(jià)值對(duì)持有人態(tài)度變化的模糊性及穩(wěn)定性參數(shù),對(duì)債券價(jià)值提供了敏感性分析。Agliardi等[21]從模糊性理論的角度探討了以下問題:為什么一些公司發(fā)行股票而不是債務(wù)?為什么大多數(shù)公司保留他們持有的現(xiàn)金,而不是作為股息分配?在嚴(yán)重的金融限制和模糊時(shí)期,或在面臨不可預(yù)測(cè)的金融危機(jī)的威脅時(shí),企業(yè)如何改變其融資政策?文章分析了模糊性如何影響公司的權(quán)益和債務(wù)價(jià)值,表明投資者的模糊厭惡偏差足夠大時(shí),現(xiàn)金持有會(huì)保留更長(zhǎng)的時(shí)間。李昊驊等[22]考慮決策者是模糊厭惡的,利用實(shí)物期權(quán)方法,解析地給出了銀行價(jià)值,企業(yè)價(jià)值和最優(yōu)停貸水平,分析了模糊厭惡和基準(zhǔn)波動(dòng)率對(duì)最優(yōu)貸款利率,最優(yōu)停貸水平,企業(yè)價(jià)值和銀行價(jià)值的影響。Epstein等[23]用一個(gè)連續(xù)時(shí)間框架下的效用模型刻畫了資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)和漂移的模糊性特征,進(jìn)而將資產(chǎn)定價(jià)理論中的一些基本結(jié)果在模糊性下進(jìn)行了推廣。何俊勇等[24]考慮投資者在每個(gè)期末由于投資經(jīng)驗(yàn)獲得的隨機(jī)稟賦與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)未來收益之間的相關(guān)系數(shù)存在模糊性,進(jìn)而分析這種模糊性對(duì)資產(chǎn)定價(jià)和社會(huì)福利的影響。在最近的十幾年中,金融市場(chǎng)投資決策相關(guān)理論的迅速發(fā)展深化了我們對(duì)不確定性的理解,由于比特幣挖礦市場(chǎng)中,礦工的投資決策也同樣受到市場(chǎng)中各類復(fù)雜因素的影響,礦工獲得的回報(bào)獎(jiǎng)勵(lì)受到多種因素變化帶來的沖擊,這種沖擊具有不確定性,因此為了更加靈活地處理模糊性對(duì)礦工投資決策的影響,我們有必要引入肖-布朗運(yùn)動(dòng)考慮模糊不確定性來刻畫挖礦市場(chǎng)的行業(yè)動(dòng)態(tài)。

目前還有一些文獻(xiàn)基于G-布朗運(yùn)動(dòng)去研究現(xiàn)實(shí)中的種種經(jīng)濟(jì)行為和決策。彭實(shí)戈[25]給出非線性期望的基本定義,表明非線性期望理論可以廣泛地用于分析和計(jì)算現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)背后隱藏的概率和統(tǒng)計(jì)分布的不確定性,進(jìn)而使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中概率模型本身的不確定性也能進(jìn)行定量的分析和計(jì)算。費(fèi)晨等[26-27]強(qiáng)調(diào)概率統(tǒng)計(jì)模型本身的不確定性是本質(zhì)的且無法消除掉的,并在此基礎(chǔ)上研究了Knight不確定下連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)契約設(shè)計(jì)問題。費(fèi)晨[28]根據(jù)次線性期望空間上的G-布朗運(yùn)動(dòng)性質(zhì),研究了非線性期望下隨機(jī)控制最優(yōu)性原理,又進(jìn)一步利用推導(dǎo)出的定理研究了一個(gè)考慮波動(dòng)模糊性的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合決策。這些文獻(xiàn)在研究中用G-布朗運(yùn)動(dòng)替代標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)來表征非線性,用下期望替代標(biāo)準(zhǔn)期望來表示最壞情況下的決策結(jié)果。在大多數(shù)情形下,只考慮事情發(fā)展到最壞時(shí)的預(yù)期結(jié)果,即代理人關(guān)注最壞的情況來確定他們的最佳決策,這確實(shí)是一個(gè)合理的思路。然而,僅考慮模糊不確定環(huán)境中的最壞情況,往往并不能充分解釋現(xiàn)實(shí)中的個(gè)體在模糊不確定環(huán)境下的行為和決策的多樣性。事實(shí)上,在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下代理人對(duì)不確定性的厭惡程度也許介于模糊厭惡和模糊喜好之間的任意程度,所以本文從肖-布朗過程視角,刻畫決策者的模糊不確定。

在對(duì)比特幣挖礦市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡模型的研究中,礦工所獲得的回報(bào)獎(jiǎng)勵(lì)受到多種因素的影響,這些因素既表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)特征,也具有一定的模糊性特征。因此,本文在Prat等[13]研究比特幣挖礦市場(chǎng)演化模型的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步考慮模糊性對(duì)礦工挖礦行為及回報(bào)的影響,并將肖-布朗運(yùn)動(dòng)引入到模型當(dāng)中,從而以一種嶄新的視角來研究挖礦行業(yè)動(dòng)態(tài)均衡。

2 基本模型框架

比特幣作為一種點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的電子現(xiàn)金系統(tǒng),是區(qū)塊鏈技術(shù)的起源,區(qū)塊鏈技術(shù)是構(gòu)建比特幣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與交易信息加密傳輸?shù)募夹g(shù)基礎(chǔ),實(shí)現(xiàn)了比特幣的挖礦與交易。而比特幣網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是平等的,都可以接收發(fā)生的交易信息,但如果讓每個(gè)節(jié)點(diǎn)都來記錄和驗(yàn)證交易信息,又會(huì)導(dǎo)致效率低下,因此,比特幣系統(tǒng)使用工作量證明共識(shí)機(jī)制來決定由哪個(gè)節(jié)點(diǎn)來記賬。在PoW共識(shí)機(jī)制下,每個(gè)節(jié)點(diǎn)利用自身的算力不斷進(jìn)行哈希運(yùn)算來尋找符合條件的隨機(jī)數(shù)。最快找到隨機(jī)數(shù)并驗(yàn)證通過的節(jié)點(diǎn)將獲得記賬權(quán),生成并發(fā)布新區(qū)塊添加到區(qū)塊鏈上,該過程就稱為“挖礦”,每輪競(jìng)爭(zhēng)的獲勝者會(huì)獲得一定數(shù)目的比特幣作為獎(jiǎng)勵(lì),分散在世界各地的通過操縱計(jì)算機(jī)或礦機(jī)參與挖礦的人稱為“礦工”。由于礦工的記錄只有得到后續(xù)礦工的認(rèn)可,獎(jiǎng)勵(lì)才有效,因此礦工有動(dòng)機(jī)去誠(chéng)實(shí)地記錄交易。

我們從挖礦市場(chǎng)的主要特征入手來構(gòu)建模型框架,給定比特幣的需求并使用比特幣/美元匯率的變動(dòng)軌跡去預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)算力。模型建立在連續(xù)時(shí)間上,為了與平均的出塊時(shí)間保持一致,我們還要將時(shí)間長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)化為10 min。由于規(guī)模報(bào)酬是常量,本文把礦工視為算力的無窮小單位并假設(shè)總的網(wǎng)絡(luò)算力可以取實(shí)軸上的任意值。

2.1 礦工的回報(bào)

本文用Rt表示區(qū)塊的美元獎(jiǎng)勵(lì),即比特幣/美元匯率乘以獲得的新幣與費(fèi)用之和。Πt表示礦工找到一個(gè)有效區(qū)塊的泊松率。那么礦工的回報(bào)Pt近似等于

Pt≡Rt×Πt。

2.2 算力的價(jià)值

挖礦是一個(gè)成本高昂的活動(dòng),要使得在τ時(shí)刻購(gòu)買的一單位算力能夠執(zhí)行挖礦指令,就勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生電力成本流Cτ。這一成本會(huì)根據(jù)礦機(jī)的不同生產(chǎn)批次而變化,一般來說更新后的礦機(jī)在消耗同樣多的能源下能夠執(zhí)行更多的算力,也就是說技術(shù)的進(jìn)步會(huì)帶來更低的挖礦電力成本。并且,從某種意義上說,算力的投資是不可逆轉(zhuǎn)的,因?yàn)榈V機(jī)是挖礦專用的機(jī)器,無法應(yīng)用到其他領(lǐng)域,因此很難轉(zhuǎn)賣出去。現(xiàn)假設(shè)礦機(jī)不會(huì)為了節(jié)省電力成本而自動(dòng)關(guān)閉,也就是說即使電力成本再高,挖礦仍可以繼續(xù)進(jìn)行,這就不排除可能會(huì)導(dǎo)致算力價(jià)值出現(xiàn)負(fù)值的情況。由此我們可以得出以下關(guān)于批次τ的一單位算力價(jià)值的表達(dá)式:

(1)

式中,r是折現(xiàn)率。我們已經(jīng)假定礦工與礦工之間是同質(zhì)化的,除了電力價(jià)格,他們都面臨相同的問題。由于市場(chǎng)是自由進(jìn)入的,只有那些使用的電力較為便宜的礦工能夠盈利,因此所有活躍礦工均面臨或多或少的營(yíng)運(yùn)成本。注意到

(2)

式(2)給出了報(bào)酬的表達(dá)式,它定義了一個(gè)單位彈性的等彈性需求曲線。它的微觀基礎(chǔ)是相當(dāng)獨(dú)特的,不同于傳統(tǒng)行業(yè),因?yàn)榛貓?bào)P和行業(yè)產(chǎn)出Q之間的遞減關(guān)系不是來自于消費(fèi)者需求的飽和,而是由編碼在比特幣協(xié)議中的更新規(guī)則所導(dǎo)致。在比特幣協(xié)議中,總的算力產(chǎn)出Q的增長(zhǎng)給全網(wǎng)帶來的調(diào)整是降低有效的工作量證明閾值,從而使得挖礦難度增大,因此使得每個(gè)礦工獲得獎(jiǎng)勵(lì)的可能性減小,即回報(bào)P減小。

美元獎(jiǎng)勵(lì)R不僅取決于挖礦市場(chǎng)中的比特幣需求,還受到比特幣兌美元匯率的影響,因此不能只考慮內(nèi)生性。隨著全球經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不斷變化,無論是金融市場(chǎng)還是挖礦市場(chǎng)中,影響投資者投資決策的因素復(fù)雜多變,這些因素往往會(huì)給投資效率帶來沖擊。因此在進(jìn)行決策時(shí),除了需要考慮風(fēng)險(xiǎn)外,還需要將模糊性納入衡量投資收益的不確定性當(dāng)中進(jìn)行考量,以便作出更加明智的決策。許多關(guān)于不可逆投資的文獻(xiàn)均假設(shè)(Rt)t≥0服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),而本文假設(shè)(Rt)t≥0滿足肖-布朗(Choquet-Brown)過程:

(3)

給出了Rt服從的運(yùn)動(dòng)過程還不能夠計(jì)算出回報(bào)的期望價(jià)值,因?yàn)樗€取決于網(wǎng)絡(luò)算力Q,Q的值是內(nèi)生決定的。因此為了解決這個(gè)均衡問題,必須同時(shí)獲得Q服從的過程以及礦工的市場(chǎng)進(jìn)入規(guī)則。

2.3 市場(chǎng)進(jìn)入

自由進(jìn)入確保礦工不能通過向網(wǎng)絡(luò)中增加算力來獲取利潤(rùn),故下面的不等式必須成立:

(4)

為了理解為什么這樣的機(jī)制確定了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的市場(chǎng)均衡,我們還需要對(duì)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分解。將式(3)插入到式(2)中并使用伊藤引理,我們有

(5)

2.4 行業(yè)均衡

(6)

圖1 回報(bào)及算力變化趨勢(shì)模擬圖

2.5 比較靜態(tài)分析

3 數(shù)值模擬與經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

現(xiàn)在給出模型相關(guān)參數(shù)設(shè)置,如表1所示。市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡演變框圖如圖2所示。

表1 模型參數(shù)設(shè)置

圖2 市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡演變框圖

本節(jié)在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析前文模型的經(jīng)濟(jì)含義,主要包括電力成本、網(wǎng)絡(luò)總算力等因素如何影響礦工投入算力的實(shí)際價(jià)值以及挖礦的回報(bào),并且當(dāng)挖礦市場(chǎng)環(huán)境處于不同的模糊程度之下,礦工挖礦面臨的風(fēng)險(xiǎn)以及行為決策的變化情況。

根據(jù)文中式(1)～(3),我們繪制出圖3。電力成本對(duì)算力的實(shí)際價(jià)值影響顯著,由圖2可知,當(dāng)電力成本過高時(shí),算力的價(jià)值逐漸趨于0再到等于0,也就是說,當(dāng)?shù)V工挖礦的電力成本超過一定的數(shù)值時(shí),投入算力去挖礦就幾乎毫無價(jià)值了。

圖3 不同模糊程度下算力價(jià)值與電力成本關(guān)系圖 圖4 不同模糊程度下挖礦回報(bào)與算力產(chǎn)出關(guān)系圖

根據(jù)文中式(2)、(3)、(5),我們繪制出圖4。從圖4中不難看出,挖礦回報(bào)與算力產(chǎn)出之間為負(fù)相關(guān)關(guān)系,因?yàn)楸忍貛艆f(xié)議對(duì)總算力增長(zhǎng)的反應(yīng)是降低有效的工作量證明閾值,使得挖礦難度增大,因此使得每個(gè)礦工獲得獎(jiǎng)勵(lì)的可能性減小,即挖礦回報(bào)降低。但需要注意的是,圖4中的端點(diǎn)值,也就是縱軸上的點(diǎn)在實(shí)際中是不存在的,當(dāng)算力產(chǎn)出為0時(shí),也就不存在挖礦回報(bào)了。這也與前文分析結(jié)果一致,表明挖礦回報(bào)始終達(dá)不到最大臨界值,只可能無限接近于這一最大回報(bào)數(shù)值,也就是前文中所說的回報(bào)存在的障礙上邊界。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文已經(jīng)證明,礦工投資挖礦設(shè)備以及電力資源等來獲得算力投入挖礦的決策可以很好地近似看作一個(gè)具有不可逆投資的行業(yè)動(dòng)態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)模型,進(jìn)而再去更深入地分析研究。研究表明,礦工挖礦行為的決策受到技術(shù)更新、電力成本、市場(chǎng)環(huán)境等多種因素的影響,礦工的挖礦收入因自由進(jìn)入而產(chǎn)生上限,且隨著網(wǎng)絡(luò)算力產(chǎn)出的增加而減小。本文還創(chuàng)新性地在模糊不確定情況下去分析研究比特幣挖礦市場(chǎng),進(jìn)而證明,對(duì)于模糊厭惡的礦工來說,模糊性影響著他們的決策,模糊程度越高,算力的價(jià)值越低,挖礦回報(bào)也越低,即礦工面臨的風(fēng)險(xiǎn)越大,模糊程度越小則帶來的風(fēng)險(xiǎn)也就越小。我們相信,本文的研究結(jié)果將會(huì)引起比特幣等一類加密數(shù)字貨幣從業(yè)者和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的興趣。本文模型為相關(guān)從業(yè)者提供了一種預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)算力流量的工具,并為礦工的激勵(lì)機(jī)制提供了新的探索方向,這將更加有助于解釋比特幣的可行性。對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)家來說,比特幣的挖礦市場(chǎng)為測(cè)試行業(yè)發(fā)展演化模型提供了一個(gè)理想的環(huán)境。在這方面,我們的研究發(fā)現(xiàn)是十分合理的,因?yàn)榻Y(jié)論表明,礦工的行為可以用傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論去解釋,包括供求關(guān)系、價(jià)格理論、完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)機(jī)理等等,因此挖礦行業(yè)與現(xiàn)有行業(yè)動(dòng)態(tài)理論表現(xiàn)出了較強(qiáng)的一致性。讀者可以進(jìn)一步考慮并深入研究,挖礦活動(dòng)在ESG背景下如何權(quán)衡電力成本及碳排放等多種因素進(jìn)而作出最優(yōu)投資決策。