混合次分?jǐn)?shù)布朗跳-擴(kuò)散模型下亞式冪型期權(quán)的定價

龔 雪,沈明軒

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

自1973年Black-Scholes提出了股票價格服從幾何布朗運(yùn)動的期權(quán)定價模型以來,許多學(xué)者對幾何布朗運(yùn)動驅(qū)動下的各類期權(quán)定價問題進(jìn)行了深入的研究。然而,近年來的金融實證研究表明,金融資產(chǎn)價格變化過程往往具有自相似性和長程依賴性,這明顯不符合布朗運(yùn)動的特征。由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有自相似性和長程依賴性,很多學(xué)者采用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動刻畫風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程并研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動下的期權(quán)定價問題。在風(fēng)險中性的測度下,Necula[1]利用傅里葉變換法和Girsanov測度變換,給出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動條件下的歐式期權(quán)定價公式。孫嬌嬌等[2]基于Delta對沖策略和雙Mellin變換等方法,研究分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下帶紅利支付的脆弱期權(quán)的定價問題。Kalantari等[3]則利用有限差分法研究了分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)的定價模型。利用分形理論和模糊集理論,秦學(xué)志等[4]研究了不確定環(huán)境下分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的歐式期權(quán)定價模型。Cheridito[5]則進(jìn)一步在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動框架下討論了期權(quán)的定價模型。2004年,Bojdecki等[6]提出了布朗運(yùn)動另外一種的改進(jìn),它具有除平穩(wěn)增量之外的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的所有性質(zhì),被稱為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動。與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動相比,次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的增量在不相交區(qū)間內(nèi)的相關(guān)性更弱,并且隨著區(qū)間之間的距離趨于無窮大,其協(xié)方差衰減速率更快,這一特點使得次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更適合金融市場的建模。肖煒麟等[7]采用Skorokhod拓?fù)湎碌碾S機(jī)游走理論,利用積分不等式和次分?jǐn)?shù)二元市場理論研究了幾何次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動框架下金融市場的套利問題。余湄等[8]構(gòu)建了混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的期權(quán)定價模型,并用AR和GARCH模型對該模型下的Hurst指數(shù)和波動率進(jìn)行建模。為了更好地刻畫資產(chǎn)價格因一些突發(fā)事件而引起的價格間斷性跳躍行為,泊松跳躍過程被學(xué)者們引入到期權(quán)的定價模型中。安翔等[9]利用Δ對沖原理和構(gòu)造Crank-Nicolson格式,給出了在混合次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散環(huán)境下的回望期權(quán)的定價及數(shù)值模擬仿真。

亞式期權(quán)是一種路徑依賴期權(quán),其到期日的收益取決于在執(zhí)行期內(nèi)資產(chǎn)價格的某種平均值。亞式期權(quán)的波動性低于收益完全基于單一到期價格的期權(quán),對于交易者來說,在較長時間內(nèi)操縱平均價格比操縱單一價格更難,這一特點使得亞式期權(quán)成為一種受歡迎的風(fēng)險防范工具。1990年,Vorst等[10]提出一個新的策略來定價平均價值期權(quán),即期權(quán)的回報取決于在一個固定時期內(nèi)價格的平均值,給出了幾何亞式期權(quán)的定價公式。章珂[11]利用幾何平均法計算資產(chǎn)的平均值,在風(fēng)險中性的測度下,推導(dǎo)出了布朗運(yùn)動下幾何亞式期權(quán)的定價公式.肖文寧等[12]在章珂的研究基礎(chǔ)上,從偏微分方程和概率論兩個角度來進(jìn)行亞式期權(quán)的定價,并對這兩個角度進(jìn)行比較。Kirkby等[13]在機(jī)制轉(zhuǎn)換條件下,研究了跳擴(kuò)散和隨機(jī)波動模型下的亞式期權(quán)定價。胡攀[14]將標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動推廣到次分?jǐn)?shù)布朗跳擴(kuò)散的情況,利用保險精算法研究了次分?jǐn)?shù)布朗跳擴(kuò)散模型下帶有紅利支付的亞式期權(quán)定價公式。楊月等[15]則通過自融資策略給出了基于次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散下的亞式期權(quán)的偏微分方程并求解給出了定價公式。在等價擬-鞅概率測度下,沈明軒等[16]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境中幾何平均亞式期權(quán)的定價模型。利用資產(chǎn)價格過程的特征函數(shù),Parka等[17]給出了跳擴(kuò)散CIR過程下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價公式的解析表達(dá)式。

冪型期權(quán)的回報取決于標(biāo)的資產(chǎn)價格的k次方(k為自然數(shù))與執(zhí)行價格的差,因此冪型期權(quán)對資產(chǎn)變化的敏感性更強(qiáng)。亞式冪型期權(quán)是亞式期權(quán)和冪型期權(quán)的結(jié)合,同時具有這兩種新型期權(quán)的優(yōu)勢,進(jìn)而成為許多投資者規(guī)避風(fēng)險的選擇。Mao等[18]給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動框架下冪型支付的幾何亞式期權(quán)的定價公式的封閉解。在風(fēng)險中性概率下,沈明軒[19]研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的冪型亞式期權(quán)定價。同樣在風(fēng)險中性條件下,Wang等[20]研究了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的冪型支付幾何亞式期權(quán)的定價問題。Shokrollahi[21]利用正態(tài)分布的性質(zhì)推導(dǎo)出在時變混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的幾何亞式冪型期權(quán)的定價解析式。

1998年,Bladt等[22]首次提出了保險精算方法,通過公平保費原理將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為保險精算問題,由于該方法不需要任何經(jīng)濟(jì)假設(shè),從而使得該方法在不完備、有套利的市場同樣適用。閆海峰等[23]利用公平保費原則將Black-Scholes模型推廣至風(fēng)險資產(chǎn)具有隨機(jī)連續(xù)復(fù)利預(yù)期收益率和隨機(jī)波動率的廣義情形,并給出了資產(chǎn)價格遵循O-U過程的歐式期權(quán)的定價公式及看漲看跌期權(quán)平價公式。本文則進(jìn)一步利用保險精算定價方法討論混合次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散模型下的亞式冪型期權(quán)定價問題。

1 預(yù)備知識

即風(fēng)險資產(chǎn)期末價格的期望與期初價格的比。

2 模型和假設(shè)

假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn){st,t>0}(如股票)的價格滿足以下方程[24]:

(1)

(2)

3 期權(quán)定價

E(ST)=S0eμT。

(3)

證明由式(2)可知:

由于

從而

E(ST)=S0eμT。

由定義2中標(biāo)的資產(chǎn)在[0,T]之間的期望收益率定義可得:

定理1混合次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散環(huán)境下,具有固定執(zhí)行價格為K的幾何平均亞式冪型期權(quán)看漲期權(quán)定價公式為:

(4)

所以執(zhí)行價格為K的亞式冪型看漲期權(quán)定價公式為:

同理

所以綜上可得:

推論混合次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散環(huán)境下,具有固定執(zhí)行價格為K的幾何平均亞式冪型看跌期權(quán)定價公式為:

其中,d1、d2與定理1中定義相同。

注1 當(dāng)k=1時,可以得到基于混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動跳擴(kuò)散環(huán)境下亞式期權(quán)的定價公式。

注2 當(dāng)ε=0時,可以得到基于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動跳擴(kuò)散下亞式冪型期權(quán)的定價公式。

注3 當(dāng)σ=0時,可以得到基于布朗運(yùn)動跳擴(kuò)散下亞式冪型期權(quán)的定價公式。

注4 當(dāng)λ=0時,即不存在跳時,可以得到基于混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下亞式冪型期權(quán)的定價公式。

4 數(shù)值模擬

模型中對應(yīng)的參數(shù)設(shè)置如下:S0=10,r=0.05,μ=0.05,K=105,ε=0.2,σ=0.2,μJ=0.03,σJ=0.06,k=2。到期時間T,跳躍強(qiáng)度λ,Hurst指數(shù)H和收斂項數(shù)n及期權(quán)價格的計算結(jié)果如表1所示。收斂誤差為10-5。由表1可以看出,在其他參數(shù)給定,跳躍強(qiáng)度λ和到期時間T不變的情況下,隨著Hurst指數(shù)H的增加,亞式冪型看漲、看跌期權(quán)的價格均減小,即Hurst指數(shù)H與亞式冪型期權(quán)的價格成反比;Hurst指數(shù)H和到期時間T不變的情況下,隨著標(biāo)的資產(chǎn)的跳躍強(qiáng)度λ的增加,亞式冪型看漲期權(quán)的價格和看跌期權(quán)的價格均增加。當(dāng)跳躍強(qiáng)度λ和Hurst指數(shù)H不變的情況下,隨著到期時間的增加,亞式冪型看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格同樣都增加,即與到期時間T成正比。

表1 混合次分?jǐn)?shù)條擴(kuò)散過程下亞式冪型看漲、看跌期權(quán)的數(shù)值仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文在假設(shè)股票價格滿足混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下引入泊松跳過程,利用保險精算的方法推導(dǎo)出亞式冪期權(quán)的定價公式并運(yùn)用相關(guān)數(shù)據(jù)得出仿真結(jié)果。特別地,當(dāng)k=1時,可以得到混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動泊松跳環(huán)境下亞式期權(quán)的定價公式;當(dāng)ε=0時可以得到次分?jǐn)?shù)泊松跳環(huán)境下的亞式冪型期權(quán)的定價公式,當(dāng)σ=0時,可以得到最簡單的基于布朗運(yùn)動泊松跳環(huán)境下的亞式冪型期權(quán)的定價公式。