變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用
——以《一元二次方程》的教學(xué)為例

文 豪|浙江省杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校

變式指有目的、有計(jì)劃地對(duì)原有題目進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.而變式教學(xué)，即教師巧妙地利用變式，貫通知識(shí)之間的聯(lián)系，從而提升學(xué)生的思維，使其明白事物的本質(zhì)特征，進(jìn)而對(duì)該事物形成科學(xué)概念.下面，筆者以浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第2章《一元二次方程》的教學(xué)為例，談一談變式教學(xué)的實(shí)施策略.

一、原題剖析，尋找變式方向

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論告訴我們，影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ).只有基于學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，教師才能進(jìn)行合理的變式.課堂教學(xué)中，教師先要做好鋪墊，再為學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建搭階梯，用變式將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生的思維向更深層次發(fā)展.因此，對(duì)以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主的題目進(jìn)行分析才顯得格外重要.學(xué)生如果不能深層次地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，也就很難有后期的知識(shí)變式.

【例題1】證明代數(shù)式x2-6x+19恒大于0.

（一）變式思路

尋求合理的變式，需要從原題出發(fā)作剖析.一元二次方程的解法眾多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中無(wú)法對(duì)其進(jìn)行串聯(lián).教師可以采取從特殊到一般再回歸特殊的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一般性的總結(jié).對(duì)這道題來(lái)說(shuō)，可以讓學(xué)生先使用配方法來(lái)解決.待學(xué)生學(xué)會(huì)使用配方法后，教師再將方程變式為含參方程，讓學(xué)生通過(guò)解帶有參數(shù)的一般化方程，學(xué)會(huì)分類討論一元二次方程的解法并總結(jié).然后變回幾個(gè)不同類型的特殊一元二次方程求解，引導(dǎo)學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí).最后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖梳理和總結(jié)所學(xué)的求解方式.

（二）教學(xué)片段

師：你們能不能找到一個(gè)恒大于0的代數(shù)式？

生1：a2.

生2：a2可能會(huì)等于0.

師：那么如何修改呢？

生2：a2加上任意大于0的數(shù)字即可，比如a2+2.

師：那么（a+1）2+2呢？

生（眾）：一定大于0.

師：為什么？

生3：（a+1）2一定大于等于0，加上2以后一定大于等于2，因此它肯定大于0.

師：很好，你們已經(jīng)找到了本質(zhì)規(guī)律，那老師再舉個(gè)例子，-2（a+3）2-7呢？

生（眾）：一定小于0.

師：那么對(duì)于x2-6x+19，你們能找到其值的范圍嗎？

生4：不能，這個(gè)方程跟我們之前講的形式不一樣，要把它變成含有完全平方的形式.

師：怎么變成含有完全平方的形式呢？

生（眾）：可以使用配方法，將這個(gè)式子變成含有完全平方的形式.

師生合作配方，最終在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生總結(jié)出配方法的步驟.

（三）教學(xué)思考

學(xué)會(huì)變式，首先要掌握好原題和基礎(chǔ)知識(shí).教學(xué)不是單純地幫助學(xué)生解決問(wèn)題，而是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系.該設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)：由證明代數(shù)式的值恒大于0需轉(zhuǎn)化成平方的形式，為變式作鋪墊；由怎樣轉(zhuǎn)化成平方的形式引出配方法；由如何進(jìn)行配方引出思考配方法的步驟.如此，既能讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)從特殊到一般的變式作鋪墊.

二、合理變式，提高思維深度

要想進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維，教師需要合理進(jìn)行變式，讓學(xué)生在變與不變中找到知識(shí)的本質(zhì).教師要敏銳地發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，合理地設(shè)計(jì)變式，完成從特殊規(guī)律到一般性結(jié)論的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)學(xué)生看清問(wèn)題的本質(zhì)，并習(xí)得方法.

【例題2】已知kx2-3x+1=0，求k的取值范圍.

（一）變式思路

這里我們進(jìn)行變式的第二步：從一般的具體數(shù)據(jù)過(guò)渡到含參方程.此題二次項(xiàng)系數(shù)含參，因此其不一定是一元二次方程，也可以是普通的一元一次方程.這與例題1 有所不同，如果直接講解，學(xué)生很可能會(huì)因?yàn)榉植磺迩疤釛l件而出現(xiàn)錯(cuò)誤，忘記進(jìn)行分類討論.不少教師在教學(xué)反思時(shí)，總是認(rèn)為這是由學(xué)生粗心導(dǎo)致的，但事實(shí)并不完全如此，出現(xiàn)這種情況還因?yàn)榻處煕](méi)有進(jìn)行合理的變式，沒(méi)有抓住變式中的不變條件.而通過(guò)含參方程的變式，學(xué)生能更加深入地理解一元二次方程，學(xué)會(huì)分類討論，并且對(duì)如何解一元二次方程有更為深刻的認(rèn)識(shí).

（二）教學(xué)片段

變式1：已知關(guān)于x的方程x2+5x-k=0.

（1）若此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求k的范圍；

（2）若此方程有兩個(gè)相等實(shí)根，求k的范圍；

（3）若此方程沒(méi)有實(shí)根，求k的范圍；

（4）若此方程有實(shí)根，求k的范圍.

教師可以將變式1 中的方程變?yōu)閗x2-3x+1=0，讓學(xué)生重新回答上述問(wèn)題.

展開教學(xué)時(shí)，教師需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程之間的不同之處.學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程雖然都是含參方程，但一個(gè)常數(shù)項(xiàng)是參數(shù)，一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)是參數(shù).在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，指導(dǎo)學(xué)生完成分類討論的步驟，待學(xué)生自主整理完成以后，再給出另一道變式練習(xí).

變式2：已知方程（k-3）x2-3x+1=0 有實(shí)根，求k的取值范圍.

（三）教學(xué)思考

變式教學(xué)在日常教學(xué)中相當(dāng)重要，有效合理的變式能帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)條件中的重要信息，尤其在需要分類討論的題目上，每一種情況進(jìn)行一種變式，能讓學(xué)生看清題目的本質(zhì).但變式教學(xué)不能為變式而變式，即不顧題目的條件和要求，設(shè)計(jì)出和原題、原知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有聯(lián)系或跨度太大的變式題，也不能像配套練習(xí)，即和原題型差不多.真正有效的變式要能夠幫助學(xué)生串聯(lián)思路、梳理解題過(guò)程，使學(xué)生深入思考知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，并為引導(dǎo)學(xué)生自主整理知識(shí)點(diǎn)作鋪墊.這就需要教師在備課時(shí)就能精心設(shè)計(jì)和準(zhǔn)備，吃透知識(shí)點(diǎn).

三、及時(shí)連貫，增加知識(shí)聯(lián)系

上一個(gè)例題中我們進(jìn)行了從特殊到一般的變式，這一類變式能帶領(lǐng)學(xué)生由淺入深地思考，使其看清題目本質(zhì)并將思維串聯(lián).數(shù)學(xué)知識(shí)之間往往有一定的邏輯關(guān)聯(lián)，因此，學(xué)生不應(yīng)散落地點(diǎn)狀式地學(xué)習(xí)知識(shí)，而應(yīng)將其編織成相互關(guān)聯(lián)的邏輯網(wǎng).知識(shí)之間的邏輯關(guān)系越強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)就越方便.要使知識(shí)之間建立起強(qiáng)有力的聯(lián)系，教師就應(yīng)及時(shí)鞏固聯(lián)系，如從一般的變式再次回到特殊的變式，以有效地促進(jìn)學(xué)生的理解，使其將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)連貫起來(lái).

【例題3】用合適的方法解下列方程：

（1）x2-3x-10=0；（2）3x2+7x+2=0；（3）2x（2-x）=3.

（一）變式思路

通過(guò)上述變式練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次方程的四種解法，現(xiàn)在教師需要將四種解法串聯(lián)，教會(huì)學(xué)生對(duì)比和選擇.此時(shí)，教師如果直接告訴學(xué)生四種方法的差別，就不能幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解這四種方法之間的差別和優(yōu)劣.因此，筆者通過(guò)一個(gè)變式嘗試串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（二）教學(xué)片段

筆者在黑板上展示如下三個(gè)方程.

（1）x2+2x-3=0；（2）（x+1）2=4；（3）（x-1）（x+3）=0.

師：在這三個(gè)方程中選擇一個(gè)來(lái)解，要求不用筆算迅速口答出結(jié)果.

生1：選擇第三個(gè)方程，答案是1或-3.

師：（展示變式）（x-m）（x-n）=0的解是什么呢？m，n是常數(shù).

生1：很明顯就是m和n.

生2：選擇第二個(gè)方程，答案是1或-3.

師：（展示變式）如果方程是(x+m)2=n(n ≥0)，你會(huì)怎么來(lái)解呢？

生2：可以選擇直接開平方.

師：現(xiàn)在還剩下第一個(gè)方程沒(méi)有解答，我們可以怎么做呢？

生3：可以使用因式分解法，直接分解成（x-1）（x+3）=0.

生4：也可以使用配方法或者公式法.

師：對(duì)于一般的一元二次方程，在不能因式分解時(shí)，我們可以選擇配方法.那么，配方法的目的是什么？

生5：配成能直接開平方的形式，然后直接開平方得出x=.

師：那你們覺得是直接用公式好，還是用配方法好呢？

生（眾）：公式法.

筆者帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行方法的歸納和梳理，最終將流程圖展示在黑板上.

（三）教學(xué)思考

解一元二次方程有四種不同的方法，不少教師在講解時(shí)只是告訴學(xué)生方法怎么使用，而沒(méi)有進(jìn)行知識(shí)的串聯(lián).其實(shí)，方法之間的關(guān)聯(lián)性和差異性可通過(guò)變式來(lái)串聯(lián).教師在平時(shí)的備課和研究中，就應(yīng)敏銳地覺察到不同知識(shí)之間的聯(lián)系性，并通過(guò)變式呈現(xiàn)給學(xué)生，以此引導(dǎo)學(xué)生思考.這就要求教師一定要熟讀課本，了解知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以便能設(shè)計(jì)出合理的變式，幫助學(xué)生紓解困難.

四、總結(jié)提升，延展理解寬度

進(jìn)行變式教學(xué)的最終目的，就是教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能夠自主梳理出知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.那么，怎樣體現(xiàn)學(xué)生有沒(méi)有通過(guò)變式學(xué)習(xí)掌握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系呢？一個(gè)很好的方法是畫思維導(dǎo)圖.很多教師認(rèn)為學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)就可以了，而忽視了思維導(dǎo)圖的作用.其實(shí)，不同知識(shí)之間、知識(shí)與方法之間、知識(shí)與學(xué)段之間，都有很強(qiáng)的聯(lián)系.思維導(dǎo)圖能夠幫助學(xué)生編織思維網(wǎng)絡(luò)，串聯(lián)知識(shí)架構(gòu)，檢驗(yàn)變式教學(xué)的成果.因此，筆者在一元二次方程解法的教學(xué)結(jié)束后，就引導(dǎo)學(xué)生整理完成思維導(dǎo)圖，以此實(shí)現(xiàn)知識(shí)的構(gòu)建與內(nèi)化.

綜上，變式教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式.教師要從對(duì)變式教學(xué)的研究，過(guò)渡到通過(guò)變式教學(xué)影響課堂教學(xué)模式，使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育從理念走向行動(dòng).為了讓變式教學(xué)更高效，教師應(yīng)：熟讀教材，立足課堂，多練習(xí)多準(zhǔn)備；思考學(xué)習(xí)模式，錘煉利用變式引導(dǎo)學(xué)習(xí)的技能；尋找聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)的方法，串聯(lián)更多知識(shí)，不斷拓寬知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使課堂教學(xué)更加專業(yè)化、準(zhǔn)確化.□◢