高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的問題驅(qū)動(dòng)探析*
——以《等比數(shù)列》為例

郝文華|北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校

伏建彬|徐州高等師范學(xué)校

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)以問題為驅(qū)動(dòng)，更強(qiáng)調(diào)對“真實(shí)而又復(fù)雜”問題的探究過程.基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的教學(xué)活動(dòng)更注重真實(shí)問題情境的設(shè)置，并由此引出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，來驅(qū)動(dòng)教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)展.那么，什么樣的問題是“真實(shí)的數(shù)學(xué)問題”，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中問題驅(qū)動(dòng)的策略是什么？對于上述問題的準(zhǔn)確探討與定位，直接決定著項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的實(shí)踐路徑和質(zhì)量.

從項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的發(fā)展歷程來看，作為一套系統(tǒng)的教學(xué)模式（廣義上來說，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)應(yīng)具有五重內(nèi)涵，即作為一種教育理念、教學(xué)模式、學(xué)習(xí)模式、課程形態(tài)和學(xué)科整合方式），其之所以能夠被稱之為一個(gè)“項(xiàng)目”，是因?yàn)槠鋸?qiáng)調(diào)對“真實(shí)而又復(fù)雜”問題的探究過程，強(qiáng)調(diào)知識與現(xiàn)實(shí)生活之間的緊密聯(lián)系.當(dāng)前相關(guān)學(xué)者研究的案例，也基本都是解決生產(chǎn)生活、科學(xué)研究中實(shí)際難題的各類項(xiàng)目.這種“真實(shí)問題”看似和嚴(yán)謹(jǐn)抽象的數(shù)學(xué)問題毫無瓜葛，但是在簡潔抽象的符號和圖形背后，蘊(yùn)藏著真實(shí)的“情境”（即現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境）.在教學(xué)中，只要從這種“真實(shí)情境”中提出的問題是合理的，問題的解決過程符合思維的邏輯性及學(xué)生心理、知識的發(fā)展規(guī)律，即可視其為“真實(shí)的數(shù)學(xué)問題”，繼而利用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)進(jìn)行解決.這也給項(xiàng)目式學(xué)習(xí)進(jìn)課堂提供了一個(gè)理論支撐點(diǎn).

基于此，筆者以人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊第四章第3節(jié)《等比數(shù)列》為例，深入探討項(xiàng)目式學(xué)習(xí)理念下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題驅(qū)動(dòng)策略.

一、基于“真實(shí)數(shù)學(xué)問題”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)及問題驅(qū)動(dòng)分析

基于對“真實(shí)數(shù)學(xué)問題”的理解，高中階段數(shù)列內(nèi)容的設(shè)置是“真實(shí)”而又“合理”的，符合高中數(shù)學(xué)課程架構(gòu)的邏輯性以及學(xué)生的知識與認(rèn)知水平.高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程三類，在必修課程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、性質(zhì)和幾個(gè)基本初等函數(shù)，對于研究函數(shù)問題的基本方法及應(yīng)用均有所了解.相較于幾個(gè)具體的基本函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等），數(shù)列是一類相對特殊的函數(shù)，是繼函數(shù)概念之后對具體函數(shù)研究的補(bǔ)充，其研究過程及方法，也與基本函數(shù)相似，均遵循定義、圖象、性質(zhì)（包括單調(diào)性、周期性、最值等）、綜合應(yīng)用的研究過程.由此可見，不論是從課程設(shè)置的角度，還是從函數(shù)體系內(nèi)部的邏輯發(fā)展角度，數(shù)列項(xiàng)目的整體構(gòu)建均符合“真實(shí)數(shù)學(xué)問題”的基本要求.

（一）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主線問題驅(qū)動(dòng)分析

在實(shí)際生活、生產(chǎn)及科學(xué)研究中，我們會(huì)接觸到各種各樣、大大小小的項(xiàng)目，我們做的每一件事都可以被視為某個(gè)項(xiàng)目中的一環(huán).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣，如果把對函數(shù)的探究作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“特大項(xiàng)目”，那么探究數(shù)列就可視為“大項(xiàng)目”，而對等差數(shù)列、等比數(shù)列的探究就可以視為“小項(xiàng)目”，對其概念及性質(zhì)的探究就可以看作“微項(xiàng)目”，與此相對應(yīng)的問題即為特大問題、大問題、小問題、微問題.

在此需要強(qiáng)調(diào)的是，項(xiàng)目之大小的界定是相對的，例如，某一章中的小項(xiàng)目可能是某一節(jié)中的大項(xiàng)目，某一章中的大項(xiàng)目也可能是某一個(gè)研究主題下的小項(xiàng)目.

以“等比數(shù)列”為例，由于學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”，實(shí)施“等比數(shù)列”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)就相對容易，教師可采用如下類比的方式，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí).

問題1：在必修教材中，我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念之后，又學(xué)習(xí)了幾類特殊的函數(shù)，那么對于數(shù)列的學(xué)習(xí)，是否也遵循這種從一般到特殊的程序呢？

問題2：什么叫等差數(shù)列？其通項(xiàng)公式及求和公式是怎么推導(dǎo)的？你們能否用類似的方法研究等比數(shù)列？

問題3：等差數(shù)列有哪幾條性質(zhì)，等比數(shù)列也有類似的性質(zhì)嗎？

問題4：兩種數(shù)列的判定方法有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：這四個(gè)問題都是“等比數(shù)列”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的“大問題”，既從宏觀上對這一項(xiàng)目的開展給予指導(dǎo)，也為學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí)指明了方向，學(xué)生在此大框架下進(jìn)行問題研究，就不會(huì)偏離主題.

問題1 引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)研究的一般規(guī)律中去體會(huì)等比數(shù)列研究的必要性，以及兩個(gè)特殊數(shù)列的基本關(guān)系，也為后面三個(gè)問題的提出作鋪墊.

問題2 引導(dǎo)學(xué)生利用等差數(shù)列的定義方式、公式的推導(dǎo)方式去主動(dòng)探索等比數(shù)列的內(nèi)容，它們的定義在文字語言的敘述上只有一字之差，符號語言形式也相似：{ an}等差?an+1-an=d（常數(shù)）（n ∈N*）；{ an}等比?=q（常數(shù)）（n ∈N*）.類比等差數(shù)列求和公式倒序相加的推導(dǎo)方法，結(jié)合等比數(shù)列的特征，可采用錯(cuò)位相減的方法推得等比數(shù)列求和公式.

問題3的設(shè)置更具有指向性，幾條主要的性質(zhì)很相似，學(xué)生完全可以通過類比完成.例如：在等差數(shù)列{ an}中，若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq；在等比數(shù)列{ an}中，若m+n=p+q，則有am?an=ap?aq.這是縱向類比.對此，我們還可以進(jìn)行橫向延伸：若m+n+s=p+q+r，則am?an?as=ap?aq?ar.不論是縱向類比還是橫向延伸，知識產(chǎn)生的邏輯關(guān)系都是自然的、合理的、真實(shí)的，其他幾條性質(zhì)可類比探究，這種問題解決的過程既具有挑戰(zhàn)性又極具研究意義.

問題4的設(shè)置，主要是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的總結(jié)概括能力，這也是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).類比等差數(shù)列的判斷方法，等比數(shù)列的判斷可總結(jié)為定義法、通項(xiàng)公式法、求和公式法和等比中項(xiàng)法四大類.

上述四個(gè)問題是等比數(shù)列項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主線，是驅(qū)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)展的教學(xué)情境，是教師精心設(shè)計(jì)的研究提綱，也是項(xiàng)目活動(dòng)中不失教師主導(dǎo)地位的具體表現(xiàn).

（二）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)展示與評價(jià)環(huán)節(jié)問題驅(qū)動(dòng)分析

“等比數(shù)列”自主探究結(jié)束后，每個(gè)項(xiàng)目組要形成具體的研究成果并相互展示，教師要組織相關(guān)成員對各小組成果進(jìn)行“質(zhì)量分析”，并適度進(jìn)行刪減、增添、修正.評價(jià)形式應(yīng)豐富多樣，可以有學(xué)生個(gè)人自評互評、組內(nèi)自評互評、小組互評、教師評價(jià)、試題檢測等.實(shí)際操作中，可選擇其中若干種方式進(jìn)行，但對于每一種評價(jià)方式，教師最好給予指導(dǎo)性的驅(qū)動(dòng)問題，例如，對于小組內(nèi)自評互評，教師可提出以下五個(gè)問題.

問題1：你在本次項(xiàng)目活動(dòng)中承擔(dān)的主要任務(wù)有哪些？喜歡這種學(xué)習(xí)模式嗎？

問題2：你在本次項(xiàng)目活動(dòng)中提出了哪些富有意義的建議？對自己的表現(xiàn)滿意嗎？

問題3：通過本次活動(dòng)，你獲取了哪些知識點(diǎn)？略舉幾例.

問題4：你對本組的研究成果滿意嗎？有沒有需要改進(jìn)的地方？

問題5：你從本組其他成員那里學(xué)到了什么？他們的哪些做法讓你感觸頗深？

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的評價(jià)是多維的，一般分為結(jié)果性評價(jià)（如問題3、4）、表現(xiàn)性評價(jià)（如問題2、5）、情感態(tài)度評價(jià)（如問題1）.問題驅(qū)動(dòng)式的項(xiàng)目評價(jià)可以是教師提問，可以是組長提問，也可以是學(xué)生自己自問自答，這樣可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感及參與意識，鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力.

二、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)問題設(shè)計(jì)策略

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)將學(xué)生置于生活世界的問題情境中，強(qiáng)調(diào)要通過合作協(xié)同、深度探究來解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題.問題設(shè)計(jì)是高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié)，也是項(xiàng)目研究順利開展的驅(qū)動(dòng)器.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020 年修訂）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式雖然更加注重體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，突出學(xué)生的合作意識及動(dòng)手實(shí)踐能力，但絲毫沒有減弱教師對課堂的主導(dǎo)作用，恰恰相反，其對教師的課堂把控、統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，特別是問題情境及問題鏈的設(shè)置等能力要求更高.

（一）注重統(tǒng)籌性和導(dǎo)向性

與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)雖然把實(shí)踐活動(dòng)及問題的解決“交給”了學(xué)生，但問題探究的大體方向不能偏離教學(xué)主題及研究目標(biāo)，否則就會(huì)嚴(yán)重影響課堂教學(xué)效率.問題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)項(xiàng)目研究的大體思路，并具有一定的指導(dǎo)意義及可操作性，使研究者可以從問題鏈中歸納出研究項(xiàng)目的流程.這要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)就要注意統(tǒng)籌把握教學(xué)內(nèi)容，先設(shè)置若干個(gè)（一般3～5個(gè)）具有指導(dǎo)意義的“大問題”，即學(xué)習(xí)活動(dòng)的主線，引導(dǎo)學(xué)生在這幾個(gè)“大問題”的軌道內(nèi)逐步開展項(xiàng)目研究，以免偏離研究主題.例如，從單元主題構(gòu)建的角度來看，對于《等比數(shù)列》模塊內(nèi)容的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)探究，可通過如下四個(gè)“大問題”展開.

問題1：類比等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，探究什么是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式又是什么？

問題2：如何推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？

問題3：根據(jù)等比數(shù)列的定義及公式，可以得出哪些基本性質(zhì)？

問題4：利用公式及性質(zhì)，能否解決教材中的練習(xí)與習(xí)題？

（二）注重適切性和邏輯性

不論采用什么教學(xué)模式，從課堂教學(xué)改革與發(fā)展的歷程來看，課堂教學(xué)活動(dòng)均離不開問題情境的設(shè)置.而設(shè)計(jì)出合理的問題鏈，則能更好地銜接學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的興趣.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)更加強(qiáng)調(diào)在真實(shí)有效的問題情境中進(jìn)行探究活動(dòng)，這就要求教師必須充分挖掘知識產(chǎn)生背后的真實(shí)問題，然后結(jié)合學(xué)生的實(shí)際創(chuàng)設(shè)具有適切性和邏輯性的問題情境.所謂“適切”，除了具有“適合、貼切”之義外，還強(qiáng)調(diào)高度的“關(guān)聯(lián)性”和“適中性”.適切的問題情境，可以讓抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，讓呆滯的數(shù)學(xué)結(jié)論生動(dòng)化，讓嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯順暢化，從而使枯燥的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)更加生活化.可以這么說，問題鏈及情境的設(shè)置是否合理，直接影響項(xiàng)目研究的進(jìn)展和質(zhì)量.因此，問題情境的設(shè)置應(yīng)基于學(xué)生學(xué)情、教材內(nèi)容、思想方法、教學(xué)重難點(diǎn)等諸多因素，既要符合知識發(fā)展的邏輯規(guī)律（學(xué)生熟悉的），又要注意問題的數(shù)量及問題間的層次關(guān)系（邏輯上的關(guān)聯(lián)性），同時(shí)還應(yīng)具有一定的挑戰(zhàn)性.

（三）注重界定、拆分與轉(zhuǎn)化

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題是多樣的、多層次的.數(shù)學(xué)教學(xué)情境一般包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境；數(shù)學(xué)問題是指在情境中提出的問題，分為簡單問題、較為復(fù)雜問題和復(fù)雜問題.項(xiàng)目設(shè)計(jì)中的問題界定、問題拆分、問題轉(zhuǎn)化是問題驅(qū)動(dòng)的關(guān)鍵所在.問題的界定，其實(shí)就是判斷、篩選的過程，即對問題的價(jià)值進(jìn)行判斷，篩選出有價(jià)值的問題進(jìn)行教學(xué)，避免在無效問題上浪費(fèi)時(shí)間和精力，這是問題驅(qū)動(dòng)下項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的起點(diǎn).問題的拆分是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的基本思維，拆分問題就是將一個(gè)復(fù)雜、籠統(tǒng)、難以解決的“大問題”分解為一個(gè)個(gè)簡單、具體、可操作的“小問題”，化整為零，各個(gè)擊破.例如，在講解等比數(shù)列的相關(guān)概念時(shí)，可將“等比數(shù)列的基本概念”這一問題拆分如下.

問題1：類比等差數(shù)列，應(yīng)該如何定義等比數(shù)列？

問題2：什么是等比中項(xiàng)？它和等差中項(xiàng)有什么區(qū)別？

問題3：請寫出一個(gè)簡單的等比數(shù)列，并給出其通項(xiàng)公式.

問題4：你能推導(dǎo)出一般情況下等比數(shù)列的通項(xiàng)嗎？

問題5：類比等差數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式，你能找到等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)嗎？

拆分問題不是將子問題進(jìn)行簡單羅列，而是要分解出具有層次性、關(guān)聯(lián)性、遞進(jìn)關(guān)系的若干便于執(zhí)行的小問題.這種由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、逐層遞進(jìn)的處理方式能有效降低教學(xué)難度，便于學(xué)生拾級而上.問題的化歸與轉(zhuǎn)化是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中問題設(shè)計(jì)的一種基本策略，它是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題進(jìn)行變換，使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單、易解的問題，進(jìn)而達(dá)成問題解決的一種方法.在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，常見的轉(zhuǎn)化類型有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化；正與反的轉(zhuǎn)化；常量與變量的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；相等與不等的轉(zhuǎn)化；實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化等.例如，對于數(shù)列的單調(diào)性，可從“量”（an+1-an>0 恒成立）與“形”（函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn)）兩個(gè)不同的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化理解；對于等差數(shù)列的定義，可從文字語言（教材中的定義）及符號語言（an+1-an=d）兩個(gè)角度進(jìn)行描述；對于等比數(shù)列的判定，可從定義、通項(xiàng)、等比中項(xiàng)及求和公式四個(gè)角度相互轉(zhuǎn)化，分析判斷.學(xué)生會(huì)在這種問題轉(zhuǎn)化與化歸的過程中，不斷拓寬學(xué)習(xí)思路，提升數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

優(yōu)質(zhì)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)都起始于一個(gè)真實(shí)的好問題，發(fā)展于若干個(gè)高質(zhì)量的驅(qū)動(dòng)問題.問題的驅(qū)動(dòng)無對錯(cuò)之分，卻有高低之別.因此，在日常教學(xué)實(shí)踐中，教師要在真切觀照現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對跨學(xué)科核心概念、教學(xué)設(shè)計(jì)方法及學(xué)生情感教育的關(guān)注，不斷探索問題驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)策略，力爭創(chuàng)設(shè)出真實(shí)、貼切、多向、可操作的“腳手架”問題，并借助項(xiàng)目式學(xué)習(xí)這個(gè)工具，提升參與者（教者和學(xué)習(xí)者）真實(shí)的能力和素養(yǎng).□◢