初中數(shù)學三角形問題易錯題探究

高琦 田霞

【摘 要】 ?本文結合多年的教學實踐，歸納了一些常見的初中數(shù)學三角形易錯題型，并給出了相應的解決方法，以期為廣大師生提供一些有益的啟示.易錯題含有大量的知識，往往會導致基礎不扎實、思維松散的學生落入出題者的圈套.所以，在平時的教學和授課中，教師要多分析易錯題的類型和解題方式，將容易出現(xiàn)的問題進行歸納、分類，并在講課中向?qū)W生解釋這些問題的聯(lián)系，以彌補學生的基本功和思維上的不足.

【關鍵詞】 ?初中數(shù)學；三角形；易錯題

初中生的思維尚處在從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)變中，如果不能很好地把握住教學知識點，就會受到主觀和形象思維的影響，從而導致對題目所包含的考點不能熟練運用，在做題時頻繁出現(xiàn)錯誤，這就是所謂的“易錯題”.當前，大多數(shù)教師和學生對易錯試卷的歸納方式都是采用錯題庫或者錯題卡，缺乏對學生易錯情況進行統(tǒng)計和分析的數(shù)據(jù)，從而無法對易錯資源進行有效的利用.針對易錯題進行深入分析，可以更好地對易錯題型進行統(tǒng)計，并可對學生的易錯狀況進行實時追蹤與更新，不僅可以輔助學生掌握知識，還可以幫助教師更好地進行教學、因材施教.

1 易錯題類型分析

1.1 計算錯誤

根據(jù)目前的教學反饋，一些學生在做題時容易出錯，除了少數(shù)是因為對基礎知識的理解不夠扎實，也有一些是由于思維上的問題，更多的是由于沒有養(yǎng)成正確的解決問題的習慣，在做題時粗心大意.由于課堂上的走神、自我規(guī)范意識不強、對問題的處理不到位，導致了解題的失誤，部分學生答題不規(guī)范、書寫潦草、粗略審題等，造成計算時的粗心，由此導致的計算誤差使得一些計算量較大的題目成為易錯題 ?[1] .

1.2 審題錯誤

審題是解題的關鍵，很多同學因為沒有認真地審題，沒有對題目所給條件進行仔細思考，或者忽略了問題的隱含條件，從而得到了錯誤的答案.由于初中生的生理和心理發(fā)育還處在發(fā)育時期，受到年齡和人生閱歷的制約，在各個方面都有一定的限制.初中數(shù)學知識之間的關系不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，學生若不能將所學的知識進行有效的連接，在審題中發(fā)現(xiàn)不了題干的考點關聯(lián)，就不能建立起自己的數(shù)學思維，勢必會受到固定思維的影響而產(chǎn)生誤差 ?[2] .

1.3 知識點掌握錯誤

初中數(shù)學含有大量的概念和公式，但學生普遍存在著對數(shù)學概念不重視的問題，如果不能從根本上理解這些概念，很容易使學生產(chǎn)生誤解.數(shù)學概念是數(shù)學運算、推理和證明的先決條件，正確地理解概念是解決問題的首要步驟.但是，在學生解題時經(jīng)常會遇到對問題知識點缺乏正確認識，從而造成解題失誤.當學生們掌握更多的數(shù)學知識點后，一些學生因為對知識的掌握不夠透徹，會導致知識的模糊與混亂，從而導致他們在解題時產(chǎn)生一些模糊的概念.同時一些基礎薄弱的同學在學習中難以跟上課堂的節(jié)奏，造成了對知識的理解不夠扎實.另外，由于受個人個性和思想因素的影響，一些學生在學習時得過且過，對所學知識的理解不夠透徹，對相關知識點的掌握不夠充分.有些同學僅僅記住了定義和公式，并不能將知識鏈接起來，在運用中也非常吃力，有的同學只是照搬范例，沒有扎實的基礎，一旦題目稍微改變就難以正確解答.

2 初中數(shù)學三角問題易錯題成因分析

2.1 思維定式所致

很多學生在做題的時候，都會產(chǎn)生一種思維慣性，他們會自然而然從自己的想法出發(fā)去思考問題的答案，從而忽略了問題背后的意義，陷入了自己的思維定式之中.因思維定式出錯的題，一般都是在題干相對較為簡單的情況下，很多學生在解題時會放松警惕，然后憑借自己的直覺和猜測，而忽略了這些問題的邏輯性，只是粗略看了一眼題目，然后就得出了結果.中學生的思維還處在發(fā)展的初級階段，數(shù)學知識點之間總是存在著一定的內(nèi)在關聯(lián)，但如果不能有效地銜接前后學習的知識點，就會使新學習的知識對以前所學知識造成影響，從而導致無法有效地遷移和連接知識點，在實際運用中產(chǎn)生各種各樣的錯誤 ?[3] .

2.2 數(shù)學概念不清所致

初中生正處于活潑好動的時期，一些學生上課時不能專心聽講，課堂上教師教給他們的數(shù)學知識并沒有得到很好的理解，同時在課下又沒有投入時間精力去學習，這就造成了學生對數(shù)學知識的不熟悉，由此導致一些學生的基礎知識不夠扎實.在實際的解題中，這些學生不能很好地建立起相應的知識點關聯(lián)，只會死記硬背卻不能充分利用知識.另外，有些同學在做題的時候，只會按照范例來做，這就導致題目一旦發(fā)生改變就會造成解題的失誤.

例如 ??如圖1，BC=BD，∠ACB=∠ADB.求證：AC=AD.在錯誤解法中，一些學生連接AB，在三角形ABC和三角形ABD中，因為AB=AB，∠ACB=∠ADB，BC=BD.所以三角形ABC與三角形ABD全等，所以AC=AD，但在本題中連接AB，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，在證明時運用了不能判定三角形全等的SSA，從而導致解題錯誤.

2.3 審題不嚴所致

許多同學在審題時都是馬馬虎虎，沒有掌握好題目講的是什么，也不明白出題者設定了哪些考點，這樣就會造成題干不清、條件亂用.很多容易出錯的題目，都會有一個或者幾個隱藏的問題，需要學生仔細審題.一些容易出錯的題目，并不是因為學生對知識的理解和理解能力不夠，而是因為他們的學習習慣不好、注意力不集中，在審題時沒有重視隱藏條件，所以在解決問題的時候總會出現(xiàn)錯誤.很多時候因為學生忽略了條件，導致分析問題時有些情況缺失，在做題時丟失了不少分數(shù).

3 解決初中數(shù)學三角形問題易錯題的有效策略

3.1 培養(yǎng)學生嚴謹思維習慣

由于受思維方式的影響，學生解答數(shù)學問題時容易出現(xiàn)錯誤，在初中數(shù)學教學中，“易錯題”往往是因為學生缺乏嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力 ?[4] .通過對錯誤答案的持續(xù)修正，不僅可以鞏固知識點，而且可以在不間斷的積累下，使學生的思考能力得到進一步的提升.

例如 ??在解斜三角形問題中，可以對其進行思維的轉(zhuǎn)變，將其轉(zhuǎn)換成直角三角形，從而達到數(shù)學轉(zhuǎn)換的目的.現(xiàn)已知銳角三角形ABC（如圖2）的面積為10， tan C=2， sin B= 4 5 ，求三角形ABC的邊長.

我們可以看到，給出的題目不是直接解直角三角形，在答題的時候就需要我們添加輔助線來構建直角三角形，再根據(jù)題目中給出的圖形面積，借助S= 1 2 ×底×高進行解答.根據(jù) tan C與 sin B的值，AD是三角形ABD和三角形ACD的公共邊，因此可以選擇AD進行求解.通過公共邊AD可以根據(jù)給出的正弦、余弦和正切的值，求出對應的各自的邊長.如果我們設AD為x，則BD為 3 4 x，CD為 x 2 ，此時就可以用x表示BC的長，根據(jù)面積公式，本題就變成了求解x的方程式.在這個圖中并沒有明確的三角形的高，因此，學生在解答前要作一個輔助線，然后進行解析，并根據(jù)需要建立相應的直角三角形.這里要說明的是，在構造直角三角形時，首先要找到特定的角，然后把它的頂點和它的對邊的高度相對應，再把這個問題轉(zhuǎn)化為一個解直角三角形.

3.2 強化概念教學中的認知

學生出現(xiàn)解題錯誤是很正常的事情，有很多種原因，比如沒有看懂題目，在學習的時候不會思考，但是不管是什么原因，教師都要抓住這個機會，爭取解決學生出現(xiàn)錯題的原因，通過特殊的訓練，引導學生分析自己做錯的原因，這樣才能更好地掌握錯題的相關知識，防止下次出錯 ?[5] .在相似三角形的證明中，常用的方法為平行線法以及對角相等法，這就需要學生對三角形的定理性質(zhì)進行充分把握.

例如 ??在四邊形ABCD中（如圖3），∠ABC=∠ADC=90 ° ，DE⊥CA，交點為F.求證：△ADE∽△ABD.

在證明這兩個三角形相似時，我們可以看到這兩個三角形有公共角，那我們只需再證明還有一對角相等或夾角對應的邊成比例即可.在△FEA和△BCA中，因為∠EAF=∠CAB，∠EFA=∠CBA=90 ° ，所以△FEA∽△BCA，可得EA·BA=FA·CA.同理△DFA∽△CDA，所以DA 2=FA·CA.根據(jù)以上兩個條件可得AE·AB=AD 2， AE AD = AD AB .此時根據(jù)定理可得△ADE和△ABD相似.

3.3 重視錯題指導以及批改

在每節(jié)課的課程即將結束的時候，教師應該有一個固定的時間來做總結.在總結中，除了要闡述這節(jié)課所學知識的要點，還應特別準備歸納與該知識點有關的常見思考和錯誤，并安排相應的隨堂作業(yè)，以測試學生對本節(jié)課學習的理解能力.通過對課堂作業(yè)的批改，教師可以進一步提高課堂教學的效果，同時，在適當?shù)臅r候還可以通過考試來加強學生對易錯題的識別和適應性.

作為一名數(shù)學教師，應該督促學生們主動做易錯題，時常溫習才能學到新的東西.指導同學們把教師所說的易錯問題，以及平時的學習、作業(yè)，尤其是在考試中出現(xiàn)錯誤的問題，抄錄在錯題本上.教師可以引導學生分析自己的錯題，回想一下自己的思路，知曉是自己的思路不夠清晰，還是自己沒有認真思考，或者是自己的疏忽導致了錯誤.同時學生要注重對易錯題進行練習，這樣才能在遇到類似的問題時，得到正確的答案.

4 結語

長期以來，易錯題的問題一直是初中數(shù)學教學中的一個難題，也是造成學生學習困難的一個主要原因.作為一名數(shù)學教師，在日常教學中要深刻地意識到三角形題型容易出錯的原因，并將容易出現(xiàn)的錯誤歸類，以便學生盡早地意識到問題的存在，并養(yǎng)成正確的解題方法和思考技巧.學生在數(shù)學學習中難免會發(fā)生錯誤，在初中的數(shù)學教學中，教師要對學生容易出錯的問題進行分析，并找出錯題的根源，采取適當?shù)母深A措施，防止學生重復犯同樣的錯誤，以期提高學生的數(shù)學思考水平.

參考文獻：

[1] 尚衛(wèi)成，譚曉玲.初中數(shù)學核心素養(yǎng)“數(shù)學抽象”理解及解題技巧——以“探索三角形全等條件”為例[J].數(shù)學之友，2022，36（23）：34-36.

[2]彭金萍.初中數(shù)學教學中的全等三角形解題策略[J].數(shù)學學習與研究，2022（23）：134-136.

[3]馬海智.直角三角形在解決初中數(shù)學一般角問題中的妙用[J].現(xiàn)代中學生（初中版），2022（12）：39-40.

[4]沈奕.初中數(shù)學證明全等三角形題型探究[J].數(shù)學之友，2022，36（07）：23-24.

[5]馬曉琴.剖析初中數(shù)學三角形問題易錯點[J].現(xiàn)代中學生（初中版），2021（20）：47-48.