指向核心素養(yǎng)的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

魏燕

課堂教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，教學(xué)設(shè)計(jì)正是連接課程標(biāo)準(zhǔn)、教材及課堂教學(xué)的橋梁.單元整體教學(xué)是新課程強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)，其教學(xué)設(shè)計(jì)同樣強(qiáng)調(diào)從知識(shí)的聯(lián)系出發(fā)，關(guān)注教學(xué)目標(biāo)的整體性、層次性、遞進(jìn)性，在學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的過(guò)程中落實(shí)核心素養(yǎng).本文以“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為例，談幾點(diǎn)思考.

1 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.1 閱讀章引言，構(gòu)建先行組織者

引導(dǎo)語(yǔ) 上一章我們以空間向量為工具研究了空間圖形的位置關(guān)系和距離、角度等度量問(wèn)題，與立體幾何初步的方法比較，你認(rèn)為用向量方法研究幾何問(wèn)題的特點(diǎn)是什么？

問(wèn)題1 解析幾何是一門怎樣的學(xué)科？它經(jīng)歷了怎樣的發(fā)展歷程？本章要學(xué)哪些內(nèi)容？按怎樣的路徑展開(kāi)？請(qǐng)大家閱讀章引言，并給出回答.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧向量法、閱讀章引言、展示解析幾何的發(fā)展歷史，初步構(gòu)建用坐標(biāo)法研究曲線的主體框架.

1.2 探索直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素

問(wèn)題2 按照以往的經(jīng)驗(yàn)，我們從最簡(jiǎn)單的幾何圖形直線開(kāi)始研究.根據(jù)上述研究思路，為了用代數(shù)方法研究直線，首先要明確在直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來(lái).確定一條直線的幾何要素是什么？對(duì)于直角坐標(biāo)系中的一條直線，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置？圖1

追問(wèn)1 “兩點(diǎn)確定一條直線”不需要借助直角坐標(biāo)系.我們要利用直角坐標(biāo)系給直線“定位”，那么直角坐標(biāo)系的定位功能體現(xiàn)在哪里？

追問(wèn)2 為了幫助大家思考，我們來(lái)觀察圖1.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)條直線…，它們組成一個(gè)直線束，如何利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)別出來(lái)？（教師用GeoGebra直觀展示在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線;學(xué)生小組合作探究，教師聆聽(tīng)，適時(shí)點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生以x軸為基準(zhǔn)思考這些直線的差異，發(fā)現(xiàn)這些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同.）

追問(wèn)3 如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“直線相對(duì)于x軸的傾斜程度”？

在此基礎(chǔ)上，推廣到一般，給出傾斜角的定義.

追問(wèn)4 你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？

設(shè)計(jì)意圖：探索坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，以發(fā)揮直角坐標(biāo)系的定位功能為思維導(dǎo)向，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探索活動(dòng).

第一步，明確直角坐標(biāo)系的定位功能體現(xiàn)在原點(diǎn)為“基準(zhǔn)點(diǎn)”、坐標(biāo)軸為“基準(zhǔn)方向”；

第二步，以公共點(diǎn)在x軸上的直線束為特例，探索利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)分開(kāi)來(lái)的幾何條件，在動(dòng)態(tài)幾何軟件的幫助下實(shí)現(xiàn)從“傾斜程度”（定性）到“傾斜角”（定量）的過(guò)渡；

第三步，從具體到一般，得出傾斜角的定義和范圍.

這是在“以直角坐標(biāo)系為工具刻畫直線的幾何要素”的目標(biāo)引領(lǐng)下的探究活動(dòng)，本質(zhì)上是以坐標(biāo)法思想為指導(dǎo)，使學(xué)生在解析幾何入門階段就對(duì)如何發(fā)揮坐標(biāo)系的作用留下深刻印象，有利于學(xué)生理解傾斜角概念的內(nèi)涵，并在概念形成過(guò)程中提升理性思維水平.

1.3 推導(dǎo)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式

問(wèn)題3 在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線l可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)傾斜角唯一確定，它顯然也可由其上的兩點(diǎn)P1、P2唯一確定.所以，可以斷定，直線l的傾斜角一定與P1、P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系？可以用什么方法來(lái)建立這種聯(lián)系？

追問(wèn)1 為了探尋思路，我們利用向量方法來(lái)解決幾個(gè)具體的問(wèn)題.設(shè)直線l的傾斜角為α，

（1）已知直線l經(jīng)過(guò)O（0，0），P（3，1），那么α與O、P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

（2）已知直線l經(jīng)過(guò)P1（－1，1），P2（2，0），那么α與P1、P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系？

追問(wèn)2 你能將上述問(wèn)題的解答推廣到一般嗎？也就是說(shuō)，如果直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么α與P1、P2的坐標(biāo)又有怎樣的關(guān)系？

追問(wèn)3 當(dāng)直線傾斜角為0°時(shí)，上式成立嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2與三個(gè)追問(wèn)按如下思路展開(kāi)：

首先，在“同一對(duì)象的兩種表示一定有內(nèi)在聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指導(dǎo)下，提出問(wèn)題，并啟發(fā)學(xué)生從“定量刻畫方向”的角度思考把直線的傾斜角和直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，進(jìn)而想到直線的方向向量.

其次，從具體到一般開(kāi)展探究.先探究?jī)牲c(diǎn)中有一個(gè)為原點(diǎn)時(shí)傾斜角與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；再借助向量P1P2平移后直線的傾斜角不變，將不過(guò)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的情形，探究不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)傾斜角與直線上兩個(gè)具體點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；然后推廣到一般，探究?jī)A斜角與直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.問(wèn)題按照從特殊到一般、由具體到抽象順次展開(kāi)，而且在探究過(guò)程中把“角的分類”，“P1P2方向的分類”融入其中，這個(gè)過(guò)程的邏輯性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)密性要求很高，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)都有作用.

1.4 從聯(lián)系的角度辨析和理解公式

問(wèn)題4 請(qǐng)同學(xué)們思考一下，生活實(shí)際中有沒(méi)有與傾斜程度、傾斜角、斜率等類似的概念？（引出當(dāng)直線傾斜角為銳角時(shí)，直線的斜率與坡度類似）

追問(wèn)1 直線斜率隨傾斜角如何變化？為什么？

追問(wèn)2 過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式適用于傾斜角為90°的直線嗎？

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在得出一個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理等之后，我們要從不同角度、聯(lián)系相關(guān)知識(shí)以加深對(duì)它的理解.

追問(wèn)3 你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：直線的方向向量及其坐標(biāo)表示是重要而有用的知識(shí)，通過(guò)建立斜率與它們之間的聯(lián)系，一是加深對(duì)斜率的理解;二是要讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成運(yùn)用向量表達(dá)幾何元素、研究幾何問(wèn)題的習(xí)慣，特別是在解決與大小和方向相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，聯(lián)系向量及其運(yùn)算是非常奏效的方法;三是使學(xué)生體會(huì)向量法和坐標(biāo)法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.5 學(xué)以致用，解決問(wèn)題

例 已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），分別求直線AB、BC、CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固斜率公式，在應(yīng)用中感受傾斜角與斜率之間的關(guān)系.

1.6 課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)

問(wèn)題5 請(qǐng)同學(xué)們帶著如下問(wèn)題回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，并給出回答.

（1）在直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素是什么？在得出這些幾何要素的過(guò)程中，我們利用了直角坐標(biāo)系的哪些功能？

（2）傾斜角是刻畫直線相對(duì)于x軸的傾斜程度的幾何量，為了將它代數(shù)化，我們利用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（3）在用向量方法推導(dǎo)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式時(shí)，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程，用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（4）傾斜角、斜率、直線的方向向量等都刻畫了直線的方向，由此你能想到哪些問(wèn)題？

（5）說(shuō)說(shuō)以直角坐標(biāo)系為工具解決幾何問(wèn)題的大致步驟.

設(shè)計(jì)意圖：（1）小結(jié)時(shí)關(guān)注傾斜角概念的同時(shí)，通過(guò)對(duì)直角坐標(biāo)系功能的總結(jié)可以使學(xué)生明白如此定義傾斜角的理由.（2）將傾斜角代數(shù)化為斜率，首先是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化，這是解析幾何的根本思想;由“兩點(diǎn)確定直線”而斷定可用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示傾斜角，由傾斜角刻畫了直線的方向，從而聯(lián)想到直線的方向向量，并建立傾斜角與方向向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系，反映了數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性，其中“一個(gè)對(duì)象的不同表示方式之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指引著思考的方向.這些思想、觀念蘊(yùn)含于斜率概念的形成過(guò)程中，通過(guò)小結(jié)將它們揭示出來(lái)，有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)理性思維的發(fā)展也很有好處.（3）在推導(dǎo)斜率計(jì)算公式時(shí)，從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化等眾多數(shù)學(xué)思想方法都在發(fā)揮著作用.（4）傾斜角、斜率、直線的方向向量都刻畫了直線的方向，首先想到的是如何建立這些概念之間的聯(lián)系、實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，另一個(gè)是它們之間的差異性，傾斜角為90°時(shí)斜率不存在，此時(shí)方向向量的表達(dá)則更具有靈活性.（5）使學(xué)生在解析幾何入門階段就形成坐標(biāo)法的較為深刻的印象.

1.7 目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果

題1 已知A（1，1），B（3，-1），C（a，8）三點(diǎn)共線，則a的值為.

題2 已知點(diǎn)A（1，2），請(qǐng)?jiān)趛軸上求一點(diǎn)P，使直線AP的傾斜角為120°.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生斜率的坐標(biāo)公式及傾斜角與斜率關(guān)系的掌握情況.

2 幾點(diǎn)思考

2.1 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)聚焦在哪？

教學(xué)設(shè)計(jì)的聚焦應(yīng)在于借助教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想和解決問(wèn)題的一般思路.本節(jié)課是解析幾何單元的開(kāi)篇，承擔(dān)著從宏觀上明確研究對(duì)象、構(gòu)建研究框架、形成研究路徑等任務(wù).所以，在開(kāi)篇伊始就注重解析幾何基本思想、用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的基本思路的滲透，這是本教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本指導(dǎo)思想.引導(dǎo)學(xué)生類比用向量方法研究幾何問(wèn)題的基本思想和“三部曲”，并通過(guò)閱讀教科書的章引言，使學(xué)生明確解析幾何的基本思想、了解研究路徑，從而構(gòu)建起學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的先行組織者.

2.2 怎樣發(fā)揮單元起始課在單元整體教學(xué)中的功能？

良好的開(kāi)端是成功的一半，單元起始課的地位舉足輕重.單元起始課應(yīng)在單元整體框架下進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)中要注意把握與本單元其他內(nèi)容研究方法的整體性；知識(shí)形成的邏輯性；思想方法的一致性；研究方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，這樣不僅可以防止碎片化的學(xué)習(xí)，也能凸顯單元開(kāi)篇課在單元中的開(kāi)啟和引領(lǐng)價(jià)值.

2.3 如何在教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

本節(jié)課是解析幾何的開(kāi)篇課，處于最基礎(chǔ)階段，但蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，其中最突出的是確定直線位置的幾何要素的多元聯(lián)系表示，由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想方法，由此引發(fā)和提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題.本教學(xué)設(shè)計(jì)抓住“聯(lián)系”，在“直線l的方向一傾斜程度（定性）一傾斜角（定量）”和“兩個(gè)點(diǎn)確定直線l，則兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與傾斜角必然有內(nèi)在聯(lián)系”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上，通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)，體會(huì)坐標(biāo)法思想，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等關(guān)鍵素養(yǎng).所以，教學(xué)設(shè)計(jì)要關(guān)注教學(xué)目標(biāo)的整體性、層次性、遞進(jìn)性；充分保證能有效地開(kāi)展“四基”“四能”教學(xué)，在使學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的過(guò)程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化個(gè)性品質(zhì).