基于劉徽“割圓術(shù)”的向心加速度推導(dǎo)

李都 姜付錦 李弼

摘? ?要：圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式的推導(dǎo)是高中物理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。從臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中受到啟發(fā)，基于劉徽“割圓術(shù)”來推導(dǎo)向心加速度表達(dá)式。引導(dǎo)學(xué)生通過逐漸增加圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的折線運(yùn)動(dòng)逐漸逼近圓周運(yùn)動(dòng)，依此來推導(dǎo)向心加速度，開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：向心加速度；劉徽“割圓術(shù)”；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）8-0062-3

向心加速度是高中物理中一個(gè)非常重要的概念，是后面很多知識(shí)的基礎(chǔ)。行星繞中心天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，科學(xué)儀器如質(zhì)譜儀、回旋加速器和離心機(jī)的構(gòu)造，都需要理解圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。為什么做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體速度大小不變而方向改變時(shí)會(huì)存在加速度？為什么加速度方向指向圓心？加速度大小與軌道半徑和速度之間的關(guān)系如何？回答這些問題，需要深刻理解向心加速度表達(dá)式的推導(dǎo)過程。

教材中向心加速度的推導(dǎo)，用了速度矢量運(yùn)算法則、小角度的三角函數(shù)、極限思想等，但缺少必要的從直線運(yùn)動(dòng)到曲線運(yùn)動(dòng)的過渡［１－２］。這種推導(dǎo)對(duì)學(xué)生而言，理論性較強(qiáng)，數(shù)學(xué)知識(shí)要求較高，學(xué)生普遍感到很難理解，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)“向心加速度”時(shí)有畏難情緒，甚至對(duì)這種推導(dǎo)的正確性產(chǎn)生懷疑［３］。大多數(shù)學(xué)生最后只是被動(dòng)地記住了推導(dǎo)的結(jié)論，沒有真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

本文基于劉徽“割圓術(shù)”來研究圓周運(yùn)動(dòng)［4］。其基本思想是通過等分圓周，構(gòu)造圓內(nèi)接正多邊形的折線運(yùn)動(dòng)，在逐漸增加圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的基礎(chǔ)上，用圓內(nèi)接正多邊形的折線運(yùn)動(dòng)逐漸逼近圓周運(yùn)動(dòng)，以此來求解圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

１? ? 學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)圓周運(yùn)動(dòng)中的力

圖１為正方形臺(tái)球桌的實(shí)物照片。讓一組學(xué)生將臺(tái)球從正方形臺(tái)球桌任意一邊的中點(diǎn)擊向相鄰邊的中點(diǎn)，臺(tái)球在臺(tái)球桌上的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖２所示。臺(tái)球在沒有與臺(tái)球桌發(fā)生碰撞時(shí)，不考慮阻力，由于慣性，它只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)。通過這個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以體驗(yàn)到正是由于臺(tái)球與臺(tái)球桌的碰撞導(dǎo)致臺(tái)球偏離原來的直線運(yùn)動(dòng)。每隔一段時(shí)間會(huì)有一系列同樣強(qiáng)烈的撞擊，臺(tái)球會(huì)沿著環(huán)形折線運(yùn)動(dòng)。臺(tái)球與臺(tái)球桌之間發(fā)生碰撞的力為彈力，而彈力的方向與臺(tái)球桌的邊沿垂直，即指向環(huán)形折線外接圓的圓心。如果條件允許還可以用正六邊形或者圓形臺(tái)球桌做這個(gè)實(shí)驗(yàn)。

２? ? 理想實(shí)驗(yàn)，推導(dǎo)向心加速度表達(dá)式

２．１? ? 理想正六邊形臺(tái)球桌，構(gòu)造臺(tái)球軌跡

正六邊形臺(tái)球桌如圖3所示。使臺(tái)球從正六邊形臺(tái)球桌的某一邊的中點(diǎn)沿與臺(tái)球桌成３０°的方向以速度ｖ射出（圖4），在理想情況下不計(jì)所有摩擦阻力，不計(jì)臺(tái)球與臺(tái)球桌碰撞過程中的能量損失。根據(jù)牛頓第一定律，在沒有外部影響的情況下，在兩次碰撞之間臺(tái)球?qū)⒈３謩蛩僦本€運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)碰撞：一旦臺(tái)球到達(dá)臺(tái)球桌的邊界，臺(tái)球桌給它一個(gè)沖量Ｉ（箭頭表示），臺(tái)球偏向另一側(cè)繼續(xù)沿直線運(yùn)動(dòng)，直到此直線運(yùn)動(dòng)再次到達(dá)臺(tái)球桌的邊界，臺(tái)球桌再次給它一個(gè)沖量，完成一次標(biāo)準(zhǔn)碰撞過程。經(jīng)過若干標(biāo)準(zhǔn)碰撞，形成一個(gè)閉合路徑。

在此可以設(shè)計(jì)幾個(gè)問題讓學(xué)生討論回答：

（１）需要與臺(tái)球桌側(cè)面撞擊多少次才能使臺(tái)球形成一個(gè)完整的閉合路徑？臺(tái)球的軌跡是什么形狀？（６次，臺(tái)球的軌跡是正六邊形）

（２）臺(tái)球桌給臺(tái)球的撞擊力方向？（臺(tái)球桌對(duì)臺(tái)球的撞擊力為彈力，方向垂直于臺(tái)球桌邊沿，即指向臺(tái)球桌內(nèi)切圓的圓心）。

２．２? ? 量化平均加速度

在圖4基礎(chǔ)上作出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的碰撞過程，如圖５所示，臺(tái)球的平均加速度為

圖５中，在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)碰撞中，臺(tái)球平行于臺(tái)球桌邊緣的速度不變，垂直于臺(tái)球桌邊緣的速度方向發(fā)生變化，可得速度變化量為

Δv=2v⊥=2vsin30°（2）

完成一次標(biāo)準(zhǔn)碰撞所用時(shí)間為

由（1）（2）（3）式得

２．３? ? 基于劉徽割圓術(shù)的向心加速度推導(dǎo)

接下來，可以引導(dǎo)學(xué)生分析圓內(nèi)接正十二邊形、圓內(nèi)接正二十四邊形……來求解量化平均加速度（圖6，圖7）。

在此以圓內(nèi)接正十二邊形為例設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生探究。

（１）在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)碰撞過程中，臺(tái)球桌邊緣對(duì)臺(tái)球的力的方向是怎樣的？

（２）在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)碰撞過程中，臺(tái)球的速度變化量為多少？

（３）完成一次標(biāo)準(zhǔn)碰撞的時(shí)間為多少？

（４）求出平均加速度的表達(dá)式。

（５）能不能通過圓內(nèi)接正二十四邊形探究平均加速度？

（６）通過以上探究你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

割圓，從字面上理解，就是分割圓周。通過等分圓周，構(gòu)造圓內(nèi)接正多邊形，在不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)基礎(chǔ)上，用圓內(nèi)接正多邊形運(yùn)動(dòng)逐漸逼近圓周運(yùn)動(dòng)。通過以上探究，學(xué)生可以體會(huì)到，分割越細(xì)，越接近圓周運(yùn)動(dòng)，完成一次碰撞的時(shí)間越短，求出的平均加速度越接近于瞬時(shí)加速度，加速度的方向指向正多邊形的中心即外接圓的圓心。

３? ? 結(jié)束語

從生活中熟悉的臺(tái)球運(yùn)動(dòng)構(gòu)建理想化模型的抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。滬科教版教材在第二章第二節(jié)的旁注中介紹了我國數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的“割圓術(shù)”。本文引導(dǎo)學(xué)生采用劉徽“割圓術(shù)”的方法，將圓周運(yùn)動(dòng)看成無數(shù)個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的組合，由淺入深，創(chuàng)設(shè)了具體的物理情境，啟發(fā)學(xué)生步步思考，直抵圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的本質(zhì)，為培養(yǎng)高中學(xué)生“微元法”這一高階思維提供了一個(gè)很好的案例。劉徽割圓法的“微元”思想這一中國古老方法在向心加速度中的應(yīng)用，也增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感。

參考文獻(xiàn)：

［1］李振宇，胡睿佳，婁青青．向心加速度公式的幾種推導(dǎo)方法［Ｊ］．湖南中學(xué)物理，２０１５，３０（１）：６９－７０．

［2］張智．勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度公式推導(dǎo)方法［Ｊ］．湖南中學(xué)物理，２００９，24（７）：４０－４１．

［3］郭書春．關(guān)于劉徽的割圓術(shù)［Ｊ］．高等數(shù)學(xué)研究，２００７，10（１）：１１８－１２０．

［4］倪紅飛．一種更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的推導(dǎo)——向心加速度的教學(xué)建議［Ｊ］．物理通報(bào)，２０１７（４）：４３－４４．

（欄目編輯? ? 蔣小平）