小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史——數(shù)學(xué)家劉徽

江獻(xiàn)

【摘要】劉徽的數(shù)學(xué)成就在中國乃至世界數(shù)學(xué)史上都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分別介紹了劉徽在小數(shù)、面積計(jì)算、圓周率計(jì)算以及正負(fù)數(shù)表示方面的成就，文章對(duì)以上內(nèi)容作了詳細(xì)介紹，同時(shí)還介紹了劉徽的其他數(shù)學(xué)成就，為小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步了解劉徽的數(shù)學(xué)成就提供幫助.

【關(guān)鍵詞】劉徽；小數(shù)；割圓術(shù)；負(fù)數(shù)；陽馬術(shù)

劉徽是我國數(shù)學(xué)史上一位偉大的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面取得的成就在中國乃至世界數(shù)學(xué)史上都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.他一生取得了許多數(shù)學(xué)成就，尤其是他在幾何、分?jǐn)?shù)、重差術(shù)等方面的研究對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有深刻的意義.基于劉徽對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所做的重大貢獻(xiàn)，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分別在四年級(jí)下冊(cè)第33頁“小數(shù)的意義和性質(zhì)”部分介紹了劉徽對(duì)小數(shù)發(fā)展的貢獻(xiàn)（圖1）；在五年級(jí)上冊(cè)“梯形的面積”部分介紹了劉徽的“出入相補(bǔ)”原理（圖2）；在六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”部分介紹了劉徽的“割圓術(shù)”（圖3）；在六年級(jí)下冊(cè)“負(fù)數(shù)”部分介紹了劉徽對(duì)負(fù)數(shù)發(fā)展的貢獻(xiàn)（圖4）.其內(nèi)容之多僅次于《九章算術(shù)》，因此，為了讓小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師能夠更詳細(xì)地了解劉徽的數(shù)學(xué)成就，并將其在教學(xué)中進(jìn)行滲透，以下將結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)一步詳細(xì)介紹劉徽的數(shù)學(xué)成就.

一、徽 數(shù)

“徽數(shù)”也就是我們今天的小數(shù).公元3世紀(jì)左右，劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)，我國的長度單位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的單位，劉徽在研究中遇到忽以下的數(shù)，他沒有繼續(xù)命名，而是創(chuàng)造了十進(jìn)小數(shù)，劉徽稱作“徽數(shù)”，他在《九章算術(shù)注》的方田章圓田術(shù)注、少廣章開方術(shù)注和少廣章開立圓術(shù)注中分別用到了十進(jìn)小數(shù).這是世界上對(duì)小數(shù)的最早認(rèn)識(shí).[1]

二、出入相補(bǔ)原理

出入相補(bǔ)原理是指：一個(gè)平面圖形從一處移置它處，面積不變.即若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而，圖形移置前后各面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系.立體的情形也是這樣.劉徽在《海島算經(jīng)》的“測望術(shù)”中使用這一原理，歷史上這一原理至遲在戰(zhàn)國時(shí)代就已經(jīng)被廣泛認(rèn)識(shí)和應(yīng)用了.[2]今天的小學(xué)數(shù)學(xué)教材利用出入相補(bǔ)原理進(jìn)行三角形、梯形等平面圖形面積的推導(dǎo).

三、割圓術(shù)

割圓術(shù)是劉徽為《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”作注時(shí)引入的.《九章算術(shù)》提出了圓田術(shù)：半周半徑相乘得積步.這就是圓面積公式：

其中S，L，r分別是圓面積、周長和半徑.在劉徽之前人們用圓內(nèi)接正六邊形的周長代替圓周長.為了證明這一公式，劉徽提出了割圓術(shù)，劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍（圖5），并計(jì)算逐次得到的正多邊形的周長和面積.劉徽指出：“以六觚之一面乘半徑，因而，三之，得十二觚之冪.若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而，六之，則得二十四觚之冪.割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.”也就是說，當(dāng)分割的次數(shù)無限增加時(shí)，則存在圓內(nèi)接正多邊形面積的極限，此極限就是圓面積，即

劉徽計(jì)算到了圓內(nèi)接正192邊形，求得圓周率的近似值3.14.他自己也認(rèn)為“此率尚微少”.[3]南北朝時(shí)期的祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：

3.141 592 6<π<3.141 592 7

一般認(rèn)為這個(gè)“正數(shù)”范圍的獲得是沿用了劉徽的割圓術(shù).事實(shí)上，如果按劉徽割圓術(shù)從正六邊形出發(fā)連續(xù)算到正24576邊形，恰好可以得到祖沖之的結(jié)果.[4]

四、負(fù) 數(shù)

負(fù)數(shù)一般定義為小于零的數(shù).中國古代沒有負(fù)數(shù)一詞，但有“負(fù)”（亦作負(fù)算）.目前國內(nèi)外一致公認(rèn)最早的負(fù)數(shù)記法出現(xiàn)于中國的《九章算術(shù)》.《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中給出正確的負(fù)數(shù)運(yùn)算法則，公元263年（魏景元四年）劉徽的《九章算術(shù)注》把正與負(fù)看成是相對(duì)存在的數(shù)的兩種情況，劉徽指出“正算赤，負(fù)算黑.否則以邪正為異”.說明負(fù)數(shù)可以用黑色算籌或者以斜畫的籌表示，劉徽在世界數(shù)學(xué)史上第一個(gè)采取了把數(shù)的正負(fù)與加減運(yùn)算關(guān)系統(tǒng)一起來的做法.[3，5]

五、其他成就

（一）陽馬術(shù)

《九章算術(shù)》“商功章”陽馬術(shù)給出陽馬的體積公式為其三條直角邊乘積的三分之一，即

（二）球體積計(jì)算

劉徽作球的外切立方體，再在立方體內(nèi)作兩個(gè)與球半徑相同的互相垂直的圓柱，劉徽稱這兩個(gè)圓柱的公共部分為“牟合方蓋”（圖7）.他指出用水平面去截球和“牟合方蓋”所得的面積比為π∶4，因此，球和“牟合方蓋”的體積比也為π∶4，只要能夠求出“牟合方蓋”的體積即可得到球的體積.[8]然而，劉徽沒有能夠直接求出“牟合方蓋”的體積.

并將劉徽的思想上升為理論，提出了祖暅原理“緣冪勢既同，則積不容異”，[9]即兩個(gè)等高立體如果在所有等高處的水平截面積相同，則兩個(gè)立體的體積相同.

（三）重差術(shù)

劉徽在《海島算經(jīng)》中借助于相似勾股形的比例關(guān)系和中國古代的“重差術(shù)”計(jì)算山上的松高，這是劉徽對(duì)中國古代重差理論的進(jìn)一步發(fā)展，展示了勾股比例和重差測量的演化歷程.[3]

【參考文獻(xiàn)】

[1]李迪.中國數(shù)學(xué)史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1984：90.

[2]董杰.出入相補(bǔ)原理在清初正五邊形、十邊形研究中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2009（5）：539.

[3]朱家生.數(shù)學(xué)史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011（5）：59，60，64.

[4]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011（3）：86.

[5]王青建.古代的負(fù)數(shù)記法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998（3）：177-181.

[6]蔡偉，李勁.阿基米德和劉徽求積的“余部分割法” [J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（4）：1.

[7]徐品方.數(shù)學(xué)簡明史[M].北京：學(xué)苑出版社，1992：50-51.

[8]智廣元.劉徽數(shù)學(xué)思想探析[J].泰山學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（5）：22.

[9]李宇袆.“牟合方蓋”研究[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（10）：107.endprint