分式方程的“神秘過客”
——增根

文／吳藝佳

解分式方程時(shí)，我們可以利用等式的性質(zhì)去分母，把不熟悉的分式方程轉(zhuǎn)化為熟悉的整式方程，再求出整式方程的解。比如：解分式方程。方程兩邊同乘3（x-2），得3（5x-4）=4x+10-3（x-2）。解得x=2。那么x=2 是不是原分式方程的解呢？細(xì)心的你會(huì)發(fā)現(xiàn)，將x=2代入原分式方程后，分式的分母均為0，這兩個(gè)分式無意義，因此x=2不是原分式方程的解（根），x=2是原分式方程的增根，原方程無解。

也許你對(duì)增根還有些困惑，比如為什么會(huì)出現(xiàn)增根呢？

一、追根溯源，破解困惑

從求解分式方程說起。解分式方程的過程是不斷用新方程替換掉舊方程，直到新方程是一個(gè)形如x=a的式子為止。在解分式方程的每一步替換中，只有新方程與舊方程的解完全相同，我們才能保證形如x=a的方程的解與原分式方程的解完全相同。

回到我們的問題，為什么會(huì)出現(xiàn)增根？因?yàn)槲覀內(nèi)シ帜笗r(shí)，方程兩邊同時(shí)乘最簡(jiǎn)公分母，最簡(jiǎn)公分母一般是含有未知數(shù)的整式，我們并不能排除這個(gè)整式為0，導(dǎo)致未知數(shù)的取值范圍變大。也就是說，去分母前的分式方程的解和去分母后的整式方程的解不一定完全相同，此時(shí)就可能會(huì)產(chǎn)生增根。了解了“去分母”這一步的“潛在風(fēng)險(xiǎn)”后，我們便充分認(rèn)識(shí)到驗(yàn)根的必要性，同時(shí)明確了“驗(yàn)根只需代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母為0，則該根為增根”。

現(xiàn)在我們已經(jīng)揭開了分式方程的“匆匆過客”——增根的神秘面紗，接下來請(qǐng)你學(xué)以致用，大展身手吧！

二、基礎(chǔ)鞏固，小試牛刀

例1解分式方程：

【分析】解分式方程一定要對(duì)根進(jìn)行檢驗(yàn)，并寫出規(guī)范的過程。

解：去分母，得2（3x-1）+3x=1；

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得9x=3，解得

∴原方程無解。

三、活學(xué)活用，啟迪智慧

實(shí)際解題過程中，我們發(fā)現(xiàn)，增根常常與含參數(shù)的分式方程相結(jié)合。因此，同學(xué)們需要在理解的基礎(chǔ)上加以思考與分析，這也是本章的難點(diǎn)之一。下面，我們一起來挑戰(zhàn)一下！

例2已知關(guān)于x的分式方程的增根是x=2，則m的值為_______。

【分析】對(duì)此類含參數(shù)的分式方程問題，我們應(yīng)先將參數(shù)當(dāng)成“常數(shù)”解出分式方程，分式方程的解就是已知的增根，即可求出參數(shù)的值。

解：去分母，得x（x+2）-（x+2）（x-2）=m，∴x2+2x-x2+4=m，解得

∵分式方程的增根為x=2，

例3關(guān)于x的分式方程1（其中a為常數(shù)）有增根，則增根為___。

【分析】本題考查分式方程的增根的確定方法。確定增根的方法可按如下步驟進(jìn)行：①最簡(jiǎn)公分母為0，從而確定可能的增根；②化分式方程為整式方程；③把可能的增根代入整式方程，檢驗(yàn)是否符合題意，將不合題意的舍去即可。

解：原分式方程的最簡(jiǎn)公分母為x（x-2）。

去分母，得x（x+a）-5（x-2）=x（x-2）。

令x（x-2）=0，得x=0或x=2。

把x=0 代入轉(zhuǎn)化后的整式方程，得整式方程無解，即分式方程無解；把x=2代入轉(zhuǎn)化后的整式方程，得a=-2。

綜上，分式方程的增根為x=2。

當(dāng)遇到與增根相關(guān)的分式方程問題時(shí)，我們需要在理解增根概念的基礎(chǔ)上，認(rèn)真審題，細(xì)心計(jì)算，嚴(yán)密檢查，方能乘風(fēng)破浪，順利過關(guān)！