從素養(yǎng)到修養(yǎng)：探尋數(shù)學(xué)教育的美好世界
——特級教師沈虎躍的“生活數(shù)學(xué)”教育探索

沈虎躍|浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)

沈笑英|浙江教學(xué)月刊社

人如其名，初見沈虎躍老師時，其“虎”氣十足、敦實憨厚的形象立馬映入眼簾，無怪乎學(xué)生們常親切地稱之為“老虎老師”；再深入了解，沈老師睿智且幽默的講述，循序漸進(jìn)且循循善誘，從生活中鮮活的數(shù)學(xué)例子到對數(shù)學(xué)競賽的描述，無不體現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)思維與能力，尤其是他對中學(xué)“生活數(shù)學(xué)”教育的理解，更是深入與透徹。恩格斯說，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。這種空間形式和數(shù)量關(guān)系，即是從具體現(xiàn)實世界中抽取出來，又區(qū)別于具體事物的模式。數(shù)學(xué)與一般自然科學(xué)的區(qū)別，就在于它研究的不是具體事物自身的特征，而是事物與事物之間的抽象關(guān)系，即數(shù)、量、形等。數(shù)學(xué)與具體事物既有距離，又有著密切關(guān)系?；跀?shù)學(xué)的特性，運(yùn)用“生活數(shù)學(xué)”教育的理念，讓學(xué)生在自然狀態(tài)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗與素養(yǎng)，并形成數(shù)學(xué)修養(yǎng)，是沈老師一直追求的理想課堂。

一、興趣與能力：日常教學(xué)中的“生活數(shù)學(xué)”教育

數(shù)學(xué)是具有真實背景、遵循科學(xué)規(guī)律的一種抽象。在生活、生產(chǎn)、科學(xué)和技術(shù)中，我們都會看到數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然規(guī)律的抽象。

在沈老師的日常教學(xué)中，尤其是在其新授課的教學(xué)中，充滿著“生活數(shù)學(xué)”教育理念。如“函數(shù)周期性”這一課，他總是立足學(xué)生的生活經(jīng)驗開展教學(xué)：往往從神奇的時鐘、不變的課表、四季的輪回、天體運(yùn)動、生命周期、經(jīng)濟(jì)周期、簡諧運(yùn)動等講起，并通過圖片和動畫展示，讓學(xué)生直觀感知生活中周而復(fù)始的現(xiàn)象；在激發(fā)學(xué)生興趣的同時，帶領(lǐng)學(xué)生思辨生活中周而復(fù)始的現(xiàn)象和數(shù)學(xué)中周期的異同點(diǎn)；再通過數(shù)學(xué)形式化的語言，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)中的周期性概念。在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷從生活案例的感性認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念的理性認(rèn)識，收獲的不僅僅是知識，更多的是學(xué)習(xí)方法，是用數(shù)學(xué)視野觀察現(xiàn)實世界的能力。

“生活數(shù)學(xué)”教育在學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段都能夠發(fā)揮其應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的優(yōu)勢?！渡罨聲r代教育評價改革總體方案》提出“設(shè)置現(xiàn)實情境，發(fā)揮育人作用”的要求。沈老師在日常教學(xué)的例題設(shè)計中，常把問題與實際生活情境聯(lián)系在一起，以引發(fā)學(xué)生的思考。如在“基本不等式復(fù)習(xí)”這一課的例題設(shè)計中，面對經(jīng)典的“不等臂天平問題”，沈老師不是直接拋出問題“在臂長不準(zhǔn)確的天平上交換稱2 次所得2 個數(shù)據(jù)，試問對2 個數(shù)據(jù)處理采用算術(shù)平均好，還是幾何平均好”，而是把自己代入角色，創(chuàng)設(shè)這樣的情境——“老師去商店買10 g 黃金，帶著‘怕商家的天平不等臂又不好當(dāng)面說’的矛盾心理，動起了自己的小聰明：每次5 g 分2次稱重，第1 次黃金放左盤，第2 次黃金放右盤，取走2 次稱得的黃金。”接著，沈老師讓學(xué)生分析，這樣的行為是真“聰明”嗎？在沈老師富有感染力的敘述中，學(xué)生的注意力高度集中，學(xué)習(xí)效果很好。沈老師通過具體事例給學(xué)生創(chuàng)造聯(lián)想空間，激發(fā)學(xué)生的探究熱情；他還關(guān)注學(xué)生從生活中抽象數(shù)學(xué)知識的能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界的能力。

二、思維與創(chuàng)新：競賽輔導(dǎo)中的“生活數(shù)學(xué)”教育

數(shù)學(xué)重在理解，數(shù)學(xué)競賽充滿挑戰(zhàn)，是一場頭腦風(fēng)暴，能培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維。競賽試題中抽象的符號、煩瑣的計算等隨處可見。其問題的開放性、思路的發(fā)散性、思維的靈巧性、結(jié)論的深刻性深深吸引著學(xué)生。沈老師在競賽輔導(dǎo)中，常用一些生活中讓人久久不能忘懷的實際問題作引例。如在學(xué)習(xí)復(fù)雜概率問題計算時，沈老師設(shè)計了“課堂三部曲”。

第一部分是“最大的麥穗問題”?！蹲畲蟮柠溗搿肥菍W(xué)生小學(xué)時學(xué)過的一篇課文，講述了蘇格拉底讓弟子們從一塊麥地里摘一個最大麥穗的故事。故事中，弟子們挑挑揀揀，結(jié)果卻兩手空空。沈老師向?qū)W生提問：“從數(shù)學(xué)上來講，蘇格拉底的弟子們是否有最優(yōu)策略摘到最大的麥穗？”

第二部分是現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到的“秘書問題”。有一家公司要招聘1 個秘書，一共來了n個面試者，依次接受面試。對每個面試者面試完后，公司要立即決定是否聘用。如果聘用則放棄后面所有的面試者，如果不聘用則面試者會轉(zhuǎn)而去其他公司。提問：“面試官是否有最佳策略聘用到最優(yōu)秀的面試者？”

第三部分是“秘書問題”的“加強(qiáng)版”。某公司需要錄用1 名秘書，共有10 人報名，公司經(jīng)理決定按照求職報名的順序進(jìn)行逐個面試。預(yù)設(shè)前3 人面試后一定不錄用，自第4 人開始，將他與前面所有已面試過的人相比較，如果他的能力超過了前面所有已經(jīng)面試過的人，就錄用他，否則就不錄用，繼續(xù)面試下一個。如果前9 人都不錄用，那么就錄用最后一個面試的人。事實證明：該公司有超過70%的可能性錄取到能力最強(qiáng)的3 人之一，而只有不超過10%的可能性錄用到能力最弱的3 人之一。經(jīng)典秘書問題是最優(yōu)停止理論中的一個著名例子，屬于一類序貫觀察選擇問題，描述了一種動態(tài)的信息探索與決策過程。

沈老師通過學(xué)生小學(xué)階段學(xué)過的一篇課文，拉近了學(xué)生與問題之間的距離，再通過師生共同尋找，采用動態(tài)規(guī)劃方法得到“秘書問題”的選擇策略——“37%法則”（在考察前37%的面試者時，全部不聘用；然后，只要任何一名面試者比前面所有人選都優(yōu)秀，就要毫不猶豫地選擇他），并通過加強(qiáng)版的“秘書問題”進(jìn)行一次仿真實驗，對“37%法則”的信度與效度進(jìn)行驗證，完善了理論求解以及仿真實驗的研究方法。而這一加強(qiáng)版的“秘書問題”也正是2003 年中國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題中的第5 題。沈老師讓學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到了新的高度，也進(jìn)一步提升了學(xué)生的思維能力、創(chuàng)造性解決問題的能力。

三、愿望與方法：家校合作中的“生活數(shù)學(xué)”教育

在學(xué)校的教育教學(xué)中，經(jīng)常有家長或低年級學(xué)生問為什么要學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)就是為了考試嗎、怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)等一系列問題。當(dāng)遇到這類問題的時候，沈老師會這樣引導(dǎo)家長和學(xué)生：在各行各業(yè)中，數(shù)學(xué)是工具，大約三分之二的高薪工作，都要用到超出算術(shù)的數(shù)學(xué)；一個人懂得的數(shù)學(xué)知識越多，就會有越多的職業(yè)之門向他敞開。對學(xué)生而言，在鮮活生動的生活情境中進(jìn)行沉浸式學(xué)習(xí)，更能激發(fā)他們學(xué)習(xí)、探索的天性。沈老師注重為學(xué)生設(shè)計可參與的問題，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望，感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的方法，也會在社區(qū)為學(xué)生家長作相關(guān)數(shù)學(xué)教育的講座時舉一些生活中的例子，家長們經(jīng)常聽得津津有味。這促進(jìn)了家校合作，使家校共同助力學(xué)生提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。例如，“割手鏈問題”：

小明媽媽帶小明去海邊度假，準(zhǔn)備在酒店住7天，住宿費(fèi)每天200元。到了目的地后發(fā)現(xiàn)錢不夠，還好手上有一條7節(jié)金手鏈，每節(jié)價值超過200元。于是，小明媽媽與店員商量，每天給1節(jié)金手鏈作為住宿費(fèi)抵押物，以后再把金手鏈贖回來?，F(xiàn)在要去找位首飾匠把手鏈割開，以便每天支付1節(jié)?！斑@手鏈我一定會贖回，每分割1節(jié)，以后再接上都要支付手工費(fèi)，一定要7個都割開嗎？能不能少分割幾個??？”她自言自語道。邊上的小明聽到了，想了一會兒說：“媽媽，媽媽，只要割開1節(jié)就夠了。”這是怎么做到的？（從一端數(shù)第3節(jié)，把手鏈分成3段，各為1、2、4節(jié)，通過來回兌換使店員每天收到1節(jié)）

此問題的本質(zhì)是“任何1 個正整數(shù)都可以唯一地表示成1 個二進(jìn)制數(shù)”。有時作講座時，沈老師對這一問題的講解也會設(shè)計得稍復(fù)雜些，如“藥品混雜問題”：

小明爸爸開了1家藥店，一天，他收到10瓶藥，每瓶裝1000片。突然，他接到廠家打過來的電話說“所有藥品需檢查后方能出售，有若干個瓶中的每片藥由于差錯重了10毫克，須馬上送還出錯的藥瓶”。小明爸爸很生氣?！靶疫\(yùn)的是，我們可以從每瓶中只取出1片藥，稱出它們的重量，但要稱10次，真麻煩?！毙∶靼职志鸵_始干，小明叫住他：“等一下，不必稱10次，我們只稱1次就夠了?！边@怎么可能呢？具體方法就是將瓶子排成1排，然后從第1個瓶中取1片藥，從第2個瓶中取2片藥，從第3個瓶中取4片……取出的藥片放在一起稱，假如它們超重270毫克，由于每片錯藥超重10毫克，我們用10去除得到27，就是超重藥片的數(shù)量，將27寫成二進(jìn)制數(shù)（11011）2，這些1的位置告訴我們序列中2的多少次冪使（11011）2等于27。數(shù)字1在第1、2、4、5位置上，所以出錯的瓶是1、2、4、5瓶。

數(shù)學(xué)是思維的“體操”，沈虎躍老師以“生活數(shù)學(xué)”教育促進(jìn)學(xué)生的深度思維，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，激勵學(xué)生探索美好的數(shù)學(xué)世界。□◢