“方程與不等式”主題的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

柏素霞 石樹偉

摘要：初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域“方程與不等式”主題的教學(xué)，從宏觀層面看，要關(guān)注共同的研究起源，遵守共同的研究路徑，感悟融通的一般觀念。從微觀層面看，各章（單元）的教學(xué)應(yīng)通過起始課激活研究思路，通過任務(wù)驅(qū)動或先行組織（類比遷移）展現(xiàn)全章面貌；通過分解課強化“四基”“四能”，充分領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想和化簡、消元、降次等化歸轉(zhuǎn)化思想；通過小結(jié)課再次整體建構(gòu)，更加凸顯內(nèi)在的思想聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方程；不等式；結(jié)構(gòu)化理解；結(jié)構(gòu)化教學(xué)

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃立項課題“基于蘇科版教材的初中數(shù)學(xué)學(xué)科育人實踐研究”（編號：D/2021/02/613）以及江蘇省初中數(shù)學(xué)名師工作室“用好課標(biāo)教材，落實數(shù)學(xué)育人”專項研修的階段性研究成果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在課程理念、實施建議中強調(diào)：為了適應(yīng)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)這一重大的課程目標(biāo)變化，要對作為載體的課程（教學(xué)）內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合［1］，“重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系……通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題……”［2］。因此，一線教師落實新課標(biāo)理念的一個重要任務(wù)就是加強對課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化理解，在此基礎(chǔ)上做好結(jié)構(gòu)化教學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。本文擬對新課標(biāo)初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域“方程與不等式”主題中不同層次內(nèi)容的本質(zhì)及關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析，以增強對該主題內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化理解，進(jìn)而提出結(jié)構(gòu)化教學(xué)的建議。

一、宏觀層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

（一）關(guān)注共同的研究起源

方程與不等式都是實際問題中含有未知數(shù)的數(shù)量之間的大小關(guān)系的表達(dá)，是討論數(shù)量關(guān)系的一類應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具（模型）。數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系是大小關(guān)系，兩個數(shù)量之間的大小關(guān)系有三種：大于、等于和小于。方程（組）表達(dá)數(shù)量之間的相等關(guān)系，不等式（組）表達(dá)數(shù)量之間的不等關(guān)系，方程與不等式共同起源于實際問題中數(shù)量之間的大小關(guān)系。它們都有著悠久的研究歷史，是基本而重要的數(shù)學(xué)概念。

基于以上分析，建議在首次引入方程或不等式概念時，采用從實際問題入手呈現(xiàn)數(shù)量之間大小比較不同情況的方式，如天平兩端物體質(zhì)量的比較，購買商品不同優(yōu)惠方式的選擇等。一方面，讓學(xué)生感悟方程或不等式來源于實際問題中數(shù)量之間相等或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)抽象，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的抽象能力；另一方面，則讓學(xué)生感知方程與不等式的聯(lián)系，體會方程與不等式都是實際問題中數(shù)量之間大小關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，感悟方程與不等式內(nèi)容的整體性。

（二）遵循共同的研究路徑

新課標(biāo)在課程性質(zhì)中指出：“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！保?］這里清晰地闡明了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究對象及其來源、研究過程與方法以及研究結(jié)果和作用，從宏觀上指明了研究一個數(shù)學(xué)對象的基本“套路”。方程與不等式除了有共同的研究起源，還有共同的研究路徑：實例—概念—性質(zhì)—解法—應(yīng)用。首先由生活到數(shù)學(xué)，從實例中抽象出方程或不等式模型，形成方程或不等式概念；接著是數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，研究等式或不等式的性質(zhì)，利用等式或不等式的性質(zhì)解方程或不等式；最后從數(shù)學(xué)回到生活，應(yīng)用方程或不等式解決實際問題。

基于以上分析，建議每一類方程或不等式（除了一元一次方程）的章（單元）起始課，遵循著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾提出的“為遷移而教”理念，通過先行組織者（回顧本主題已學(xué)內(nèi)容的研究脈絡(luò)）類比規(guī)劃本章的研究路徑，確定本章研究的脈絡(luò)線索和框架結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生“既見樹木，又見森林”，增強學(xué)習(xí)的預(yù)見性。例如，教學(xué)《一元一次不等式》這一章，在前面已經(jīng)學(xué)過有關(guān)方程（組）內(nèi)容的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)對方程有一定的認(rèn)識，會用方程表示問題情境中的等量關(guān)系，會解一元一次方程和二元一次方程組。所以，可以充分發(fā)揮學(xué)習(xí)心理學(xué)中正向遷移的積極作用，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的認(rèn)識和經(jīng)驗，進(jìn)行類比和遷移，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式（組）提供一條合理的學(xué)習(xí)路徑。

（三）感悟融通的一般觀念

著名教育心理學(xué)家布魯納非常重視學(xué)科結(jié)構(gòu)的教學(xué)。為此，他首先強調(diào)學(xué)習(xí)一般觀念。［4］一般觀念也稱大觀念、核心觀念，即遷移力強、適用范圍廣、指導(dǎo)作用大的思想和理念，也可以理解為我們常說的一定領(lǐng)域內(nèi)知識發(fā)生、發(fā)展的根本指導(dǎo)思想。一般觀念是有層次的?！胺匠膛c不等式”主題具有的相互融通的一般觀念是：用字母表示的未知量可以與已知量一起參與列式和運算，列出并求解方程或不等式。即用字母表示未知量后，未知量可以與已知量一起根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系參與列式，形成方程或不等式；可以與已知量一起根據(jù)等式或不等式的性質(zhì)參與運算，通過變形求得未知量的值或范圍。過去，用算術(shù)方法求未知量，需要由已知量逆向列式表示未知量并計算。因此，用字母表示未知量是一個思想的飛躍，未知量參與列式和運算的過程是一個順向思考的過程，體現(xiàn)了方程或不等式解決問題較算術(shù)方法的優(yōu)越性，其中蘊含著模型觀念和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

基于以上分析，建議“方程與不等式”各章的教學(xué)，特別是起點章——《一元一次方程》和《一元一次不等式》的教學(xué)，通過解決實際問題代數(shù)方法與算術(shù)方法的比較，讓學(xué)生體會方程與不等式解決實際問題的優(yōu)越性——這其實也是新課標(biāo)將方程內(nèi)容全部放在初中教學(xué)的重要用意之一［5］。每一類方程或不等式每一種解法的教學(xué)，都要強化一以貫之的思想聯(lián)系：解方程或不等式的過程是化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉的過程，依據(jù)等式或不等式的性質(zhì)，使方程或不等式逐步地變形、化簡為“x＝a”或“x＞a”“x＜a”的形式。每一類方程或不等式的教學(xué)，都要讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建模的全過程，感悟模型觀念和化歸轉(zhuǎn)化思想。

二、微觀層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)

布魯納還指出，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)“事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”［6］。其實，宏觀層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)更關(guān)注具有一致性的知識本質(zhì)（或者說“通性通法”），而微觀層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)更關(guān)注邏輯性（有序性）的知識關(guān)聯(lián)。從宏觀到微觀（從整體到局部），教材對課程內(nèi)容分章節(jié)螺旋上升式的編排是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的具體抓手和重要保障。下面就基于蘇科版初中數(shù)學(xué)教材的編排，對“方程與不等式”主題的結(jié)構(gòu)化教學(xué)進(jìn)行微觀層面的分析。

（一）“一元一次方程”的教學(xué)

一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程。該內(nèi)容是教材編排的“方程與不等式”章節(jié)鏈條的起點、知識體系的開始，因而是規(guī)劃該主題教學(xué)的關(guān)鍵。在主題教學(xué)的起始課中，教師要種下“元”和“次”的種子，后繼就不用在方程概念上耗力太多，可直奔方程的核心，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與思想方法。

遵循“方程與不等式”主題研究的一般脈絡(luò)和線索，《一元一次方程》一章分為《從問題到方程》《解一元一次方程》《用一元一次方程解決問題》三節(jié)。具體地，從問題情境出發(fā)，引出方程概念，再從一般到特殊，引出一元一次方程概念。方程是特殊的等式，為了給解方程做好知識準(zhǔn)備，接著學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，然后運用等式的性質(zhì)解一元一次方程，在此過程中遵循從簡單到復(fù)雜循序漸進(jìn)的規(guī)律，按照移項、合并同類項、去括號、去分母的順序逐漸增加方程的復(fù)雜程度，關(guān)注化歸轉(zhuǎn)化思想方法的指導(dǎo)。一元一次方程的應(yīng)用按照加減、倍分等等量關(guān)系設(shè)置例題和習(xí)題，讓學(xué)生逐步熟悉由實際問題抽象出方程模型的過程與方法，感悟用一元一次方程解決問題的數(shù)學(xué)建模基本步驟。

基于以上分析，建議本章起始課的教學(xué)，從學(xué)生已有知識、經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷用多種方法解決實際問題的過程，幫助學(xué)生突破算術(shù)和方程兩種方法之間的認(rèn)知障礙，引導(dǎo)學(xué)生感悟方程是比算術(shù)更有力的數(shù)學(xué)工具。由于本章是“方程與不等式”主題的起始，沒有可供類比的對象，因此，建議由大任務(wù)驅(qū)動來規(guī)劃單元學(xué)習(xí)路徑。大任務(wù)驅(qū)動可以成為落實教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的重要策略，與傳統(tǒng)的課時學(xué)習(xí)任務(wù)相比，它具有更大的探究空間，能讓學(xué)生不斷探尋知識的本質(zhì)。例如，可將“雞兔同籠”問題設(shè)計為一次方程（包括一元一次方程和二元一次方程組）學(xué)習(xí)的大任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試研究其中的等量關(guān)系，通過等量關(guān)系的符號化引出方程，從中感悟算術(shù)方法技巧性太強、方程思路具有優(yōu)越性，后續(xù)自然地引出解方程、用方程解決問題。

在《解一元一次方程》的教學(xué)中，需注重上聯(lián)和下延，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)聯(lián)系中學(xué)習(xí)每一個新知。如對每課時欲求解的“新方程”，都要引導(dǎo)學(xué)生分析與上一課求解的“舊方程”的異同，啟發(fā)學(xué)生通過一定的等式變形，把“新方程”轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的“舊方程”，滲透化歸思想，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展規(guī)律。

《用一元一次方程解決問題》的教學(xué)，應(yīng)注重讓學(xué)生經(jīng)歷相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模全過程，從而濃縮重演本章的學(xué)習(xí)歷程。用一元一次方程解決問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，應(yīng)注意讓學(xué)生體會實際問題中常見的加減、倍分等類型的相等關(guān)系，感受現(xiàn)實世界內(nèi)在的規(guī)律性和反映至數(shù)學(xué)內(nèi)部的整體性。

（二）“二元一次方程組”的教學(xué)

二元一次方程組與一元一次方程相比，有了“元”的增加。對該內(nèi)容，教材仍然由實例引出二元一次方程（組）概念；然后，教學(xué)解二元一次方程組，其中無論代入消元還是加減消元，都是在化歸轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”。之后的二元一次方程組的應(yīng)用其實是一些一元一次方程應(yīng)用問題在思維上的簡化，即通過添加一個“元”，增加思維寬度，減少思維深度。教材不關(guān)注題型的分類，如常見的和差倍分問題、行程問題、配套問題等，而關(guān)注建模過程的經(jīng)歷，特別是數(shù)量關(guān)系的梳理，著重介紹了用列表和線段圖分析數(shù)量關(guān)系的方法，且無論哪種方法，都先“領(lǐng)”后“放”，即從方法的具體示范到讓學(xué)生自主分析，發(fā)展學(xué)生的模型觀念和幾何直觀素養(yǎng)。

基于以上分析，建議本章教學(xué)秉持“整體立意，前后連貫”的原則，加強與“一元一次方程”內(nèi)容的聯(lián)系。在章起始課中，應(yīng)貫通兩章內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的學(xué)習(xí)規(guī)劃本章的學(xué)習(xí)路徑。后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)要以一般觀念及其反映的基本思想方法為紐帶，加強兩章之間的縱向聯(lián)系，使兩章內(nèi)容相互溝通，從而加深對主題內(nèi)容的整體性認(rèn)識，幫助學(xué)生建立功能優(yōu)良、遷移力強的數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)的思維方式。具體地，本章起始課的教學(xué)仍可將“雞兔同籠”問題設(shè)計為大任務(wù)，通過一元方程方法和二元方程組方法的比較，讓學(xué)生體會二元方程組方法思維的直接、順暢；“解二元一次方程組”的教學(xué)，可通過一元一次方程和二元一次方程組的比較，在化歸轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)代入消元法和加減消元法，認(rèn)識兩種方法之間的聯(lián)系；“二元一次方程組的應(yīng)用”的教學(xué)，則可在模型觀念的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的應(yīng)用，重溫數(shù)學(xué)建模歷程。

（三）“分式方程”的教學(xué)

教材中，“分式方程”部分主要討論分式方程的概念和解法，通過利用分式方程解決實際問題，讓學(xué)生了解分式方程具有整式方程不可替代的特殊作用，更適合作為某些類型實際問題的數(shù)學(xué)模型。分式方程也是相等關(guān)系的表達(dá)，因此，分式方程模型建構(gòu)、方程求解的過程與整式方程類似。

基于以上分析，“分式方程”的教學(xué)，應(yīng)充分利用學(xué)生已有的方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，加強基本活動經(jīng)驗和已有一般觀念的運用。教學(xué)中，要一以貫之地強調(diào)相等關(guān)系的重要性，可以借助表格、示意圖多角度引導(dǎo)學(xué)生分析相等關(guān)系，然后依據(jù)相等關(guān)系構(gòu)造方程，使學(xué)生逐步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想；還要一以貫之地突出化歸轉(zhuǎn)化思想在解分式方程中的重要性，化分式方程為整式方程，讓學(xué)生體會解法思路是自然的、合理的，提高對新知與舊知之間聯(lián)系的認(rèn)識，提升構(gòu)建知識體系的能力。

（四）“一元二次方程”的教學(xué)

“一元二次方程”是初中階段方程學(xué)習(xí)的壓軸內(nèi)容。一元二次方程相較于一元一次方程，在“次”上有了一個躍進(jìn)，從而能夠刻畫許多一次方程不能反映的數(shù)量之間的相等關(guān)系，解決更多的實際問題。與已經(jīng)學(xué)過的方程類似，其學(xué)習(xí)路徑仍為“實例—概念—解法—應(yīng)用”。一元二次方程的解法仍以化歸轉(zhuǎn)化思想為指導(dǎo)，通過降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。開平方降次是通法，包括直接開平方法、配方法、公式法，其中體現(xiàn)了從特殊到一般、從具體到抽象的研究思路，進(jìn)而由一般化的求根公式可得一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系。而因式分解降次具有一定的特殊性和靈活性。一元二次方程的應(yīng)用再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的基本歷程，數(shù)學(xué)模型的建立關(guān)鍵在于“二次”的形成。數(shù)量之間的相等關(guān)系主要有乘法模型（如“單價×銷量＝總額”等）、幾何模型（如直角三角形三邊關(guān)系等）、指數(shù)模型（如增長率問題等），這些數(shù)量關(guān)系“形散而神聚”，都指向“二次”。

基于以上分析，建議本章起始課的教學(xué)除了類比規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑之外，還可將消元、降次進(jìn)行綜合討論，讓學(xué)生對高次方程與多元方程的求解方法形成整體性認(rèn)識。一元二次方程的前三種解法脈息相通，只是所解方程的復(fù)雜程度在逐步增加，教學(xué)時應(yīng)注意讓學(xué)生學(xué)會把“新方程”轉(zhuǎn)化為已會的“舊方程”，感悟化歸轉(zhuǎn)化思想。此外，在解法的探究過程中，要讓學(xué)生理解四種解法同根同源、內(nèi)在聯(lián)通，體會其統(tǒng)一之美。在從特殊到一般解一元二次方程的操練過程中，逐步形成對求根公式、根的判別式、韋達(dá)定理等知識要點的正確理解。而“一元二次方程的應(yīng)用”的教學(xué)，應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)實際問題中可以建立一元二次方程的數(shù)量關(guān)系的特征，感悟它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)通過實際問題的解決讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)建模的基本思路。

（五）“一元一次不等式（組）”的教學(xué)

“一元一次不等式（組）”一般設(shè)置在“一元一次方程”后，從相等到不等符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。由于不等式解決的是含有不等關(guān)系的問題，與之前討論的相等關(guān)系既有聯(lián)系又有區(qū)別，所以，本章教學(xué)面臨如何通過比較新舊知識使學(xué)生的學(xué)習(xí)取得新突破的問題。教材由生活實例引出不等式的概念，再從一般到特殊，歸納得出一元一次不等式的概念，這是本章的基本概念。后續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，是為解不等式（組）做準(zhǔn)備。接著，學(xué)習(xí)解一元一次不等式及解集的幾何表示，是為應(yīng)用做準(zhǔn)備。最后，利用一元一次不等式解決實際問題，是本章的重點，也是教學(xué)的難點。本章重視數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，需在列不等式和解不等式的過程中進(jìn)一步落實建模思想和化歸轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)。

基于以上分析，不難發(fā)現(xiàn)本章研究線索與《一元一次方程》一章類似，因此類比教學(xué)仍是本章教學(xué)的不二之選，包括概念、性質(zhì)、解法、應(yīng)用的教學(xué)都應(yīng)加強與一元一次方程的類比。本章起始課在教學(xué)基本概念后，應(yīng)類比一元一次方程的學(xué)習(xí)規(guī)劃一元一次不等式的學(xué)習(xí)路徑。概念及應(yīng)用的教學(xué)，應(yīng)重視數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷利用不等式將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，發(fā)展抽象能力和模型觀念。解法的教學(xué)，不僅要在方法、步驟上加強與一元一次方程的聯(lián)系，更要在指導(dǎo)思想（化歸轉(zhuǎn)化）上加強融通，讓學(xué)生感悟方程與不等式內(nèi)在的統(tǒng)一性。

總之，“方程與不等式”主題各章的教學(xué)，應(yīng)通過起始課激活研究思路，通過任務(wù)驅(qū)動或先行組織（類比遷移）展現(xiàn)全章面貌；通過分解課強化“四基”“四能”，充分領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想和化簡、消元、降次等化歸轉(zhuǎn)化思想；通過小結(jié)課再次整體建構(gòu)，更加凸顯內(nèi)在的思想聯(lián)系。

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