加涅教學(xué)理論對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

余泉 喻平

摘要：加涅教學(xué)理論的主要思想是，用學(xué)習(xí)的結(jié)果對學(xué)習(xí)進(jìn)行分類，用信息加工模式溝通學(xué)習(xí)與教學(xué)的關(guān)系，不同的學(xué)習(xí)結(jié)果對應(yīng)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)。加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)原理對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要啟示有：陳述性知識的教學(xué)應(yīng)多視角呈現(xiàn)內(nèi)容、多形式訓(xùn)練思維、多元化表征知識，程序性知識的教學(xué)應(yīng)注重規(guī)則的遷移、設(shè)計(jì)和推廣。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；加涅教學(xué)理論；陳述性知識；程序性知識；信息加工

本文系貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題“‘深度學(xué)習(xí)視域下初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識實(shí)踐研究”（編號：2022B057）的階段性研究成果，也系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（中學(xué)）系列文章之十七。

加涅的兩本著作《學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論》和《教學(xué)設(shè)計(jì)原理》在教學(xué)論領(lǐng)域有著重要的影響。雖然這兩本書的寫作背景與當(dāng)下的教育改革現(xiàn)狀不完全相同，但是加涅的教學(xué)理論對當(dāng)前新課程的實(shí)施仍然有指導(dǎo)意義。

一、 加涅教學(xué)理論的基本觀點(diǎn)

概括地說，加涅的教學(xué)理論主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：用五類學(xué)習(xí)結(jié)果概括學(xué)習(xí)任務(wù)；用信息加工模式概括學(xué)習(xí)過程；教學(xué)設(shè)計(jì)的原理是，根據(jù)不同的學(xué)習(xí)結(jié)果類型創(chuàng)設(shè)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)部條件并相應(yīng)安排學(xué)習(xí)的外部條件。

（一） 用學(xué)習(xí)的結(jié)果對學(xué)習(xí)進(jìn)行分類

與許多學(xué)習(xí)分類不同，加涅提出，按照學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行學(xué)習(xí)分類。學(xué)習(xí)分類的主要含義是對所學(xué)到的東西的系統(tǒng)歸類，即對作為各學(xué)習(xí)事件的結(jié)果被個(gè)體獲得的各種能力的歸類。［1］學(xué)習(xí)結(jié)果就是學(xué)習(xí)后習(xí)得的各種能力。他提出了五類學(xué)習(xí)結(jié)果，即五類習(xí)得能力，分別為智慧技能、言語信息、認(rèn)知策略、動(dòng)作技能、態(tài)度。［2］

智慧技能是指使符號運(yùn)用得以達(dá)成的能力，它對應(yīng)的是程序性知識，即知道如何做某事，其表征形式是“產(chǎn)生式”。智慧技能包括四個(gè)亞類：辨別、概念、規(guī)則、高級規(guī)則。［3］（1） 辨別指將刺激物的一個(gè)特征和另一個(gè)特征或者一個(gè)符號與另一個(gè)符號區(qū)分開來的能力。（2） 概念可分為兩種形式：具體概念和定義概念。具體概念指通過例子來識別概念，確定一類事物的屬性；定義概念指通過定義來認(rèn)識概念。（3） 規(guī)則指各種原理、法則、定理或定律，一般由幾個(gè)概念組成，是智慧技能中最典型的形式。（4） 高級規(guī)則指由較簡單的規(guī)則組合起來的復(fù)雜規(guī)則，與問題解決密切相關(guān)，特別是解決一些復(fù)雜問題時(shí)會(huì)表現(xiàn)出高級規(guī)則的使用。顯然，智慧技能的四個(gè)亞類在學(xué)習(xí)中也是一個(gè)進(jìn)階關(guān)系，學(xué)習(xí)過程遵循辨別、概念、規(guī)則、高級規(guī)則的順序遞進(jìn)，前者是后者的先決條件，后者是前者的學(xué)習(xí)進(jìn)階。

言語信息是指表述習(xí)得的觀念的能力，它對應(yīng)陳述性知識，即知道是什么。言語信息依照復(fù)雜性高低具體分為三種形式：命名、用簡單命題表述事實(shí)、知識群（各種命題和事實(shí)的聚合體）。言語信息借助命題的網(wǎng)絡(luò)貯存在記憶中。適當(dāng)?shù)木€索有助于言語信息的提取。

認(rèn)知策略是指內(nèi)部組織起來的，用來調(diào)控學(xué)習(xí)者的注意、學(xué)習(xí)、記憶和思維的能力。在學(xué)習(xí)過程中，認(rèn)知策略起執(zhí)行控制作用，本質(zhì)是個(gè)體的元認(rèn)知能力。智慧技能指向?qū)W習(xí)者的環(huán)境，使學(xué)習(xí)者能夠處理外在的信息；認(rèn)知策略則控制學(xué)習(xí)者應(yīng)對環(huán)境的行為，處理的是內(nèi)在的因素。

動(dòng)作技能是指通過一系列有組織的動(dòng)作執(zhí)行活動(dòng)來習(xí)得的才能。動(dòng)作技能由一系列聯(lián)系緊密的動(dòng)作程序組成，它很少用言語影響或線索提示來掌握，只有靠活動(dòng)本身的練習(xí)。

態(tài)度是指內(nèi)在的、影響個(gè)人行為選擇的心理狀態(tài)。態(tài)度影響學(xué)習(xí)者對某類事物、事件或人物采取某種行為。這種內(nèi)部狀態(tài)的影響是內(nèi)部結(jié)構(gòu)的控制過程，但它并不決定行為，只是影響行為。這種影響有積極的，也有消極的。

信息加工心理學(xué)把知識分為陳述性知識和程序性知識兩類，程序性知識包括策略性知識（對內(nèi)調(diào)控）和操作性技能（對外辦事）兩類。將加涅的五種學(xué)習(xí)結(jié)果與信息加工心理學(xué)對知識的廣義分類進(jìn)行比較，可以看到兩者之間的密切聯(lián)系（可用圖1表示）。加涅只對智慧技能做了亞類劃分，且把智慧技能排到五種學(xué)習(xí)結(jié)果之首，可見他對智慧技能的重視程度，這也是他的理論的特別之處。但是，只對智慧技能做亞類劃分也存在一些問題，因?yàn)檠哉Z信息的學(xué)習(xí)，即陳述性知識的學(xué)習(xí)也涉及辨別、概念、規(guī)則，這三個(gè)亞類不是智慧技能所特有的。而且，從學(xué)習(xí)過程來看，學(xué)習(xí)者一般是先學(xué)習(xí)陳述性知識，然后將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識，即言語信息在先，智慧技能在后。比如，規(guī)則學(xué)習(xí)首先是理解規(guī)則（言語信息），然后才是應(yīng)用規(guī)則解決問題（智慧技能），兩個(gè)階段都與規(guī)則學(xué)習(xí)相關(guān)。

教育目標(biāo)的本質(zhì)就是學(xué)生要學(xué)習(xí)的結(jié)果，加涅提出五種學(xué)習(xí)結(jié)果事實(shí)上是確定了五種教學(xué)目標(biāo)。因此，對學(xué)習(xí)結(jié)果的確定是課程設(shè)計(jì)的邏輯起點(diǎn)，而不僅僅是教學(xué)的問題?！镀胀ǜ咧姓n程方案（2017年版）》和《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》相繼出臺(tái)后，學(xué)習(xí)結(jié)果的定位非常清晰，就是要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)包括正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力，也就是說，當(dāng)下的課程目標(biāo)對應(yīng)的學(xué)習(xí)結(jié)果是培養(yǎng)學(xué)生的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。顯然，正確價(jià)值觀、必備品格是比較明確的概念，關(guān)鍵能力則顯得比較籠統(tǒng)，需要作出更加細(xì)致的刻畫，于是，各學(xué)科核心素養(yǎng)便應(yīng)運(yùn)而生?？梢钥吹?，新一輪課程改革的思路與加涅教學(xué)論的基本思想如出一轍。

（二） 用信息加工模式溝通學(xué)習(xí)與教學(xué)的關(guān)系

信息加工模式把人腦設(shè)想為由各個(gè)不同的構(gòu)造體構(gòu)成，把學(xué)習(xí)過程比擬為信息流的加工過程。加涅用信息加工心理學(xué)理論構(gòu)建了一個(gè)學(xué)習(xí)與記憶的模型（如圖2所示）。［4］

其過程可描述為：（1） 通過感受器接受刺激；（2） 通過感覺登記器登記信息；（3） 為在短時(shí)記憶中貯存信息進(jìn)行選擇性知覺；（4） 為在短時(shí)記憶中保留信息進(jìn)行復(fù)誦；（5） 為進(jìn)入長時(shí)記憶貯存實(shí)行語義編碼；（6） 從長時(shí)記憶提取至反應(yīng)發(fā)生器（工作記憶）；（7） 通向效應(yīng)器的反應(yīng)生成；（8） 在學(xué)習(xí)環(huán)境中表現(xiàn)業(yè)績；（9） 通過執(zhí)行策略監(jiān)控整個(gè)加工過程。

加涅對信息加工模式的構(gòu)建不完全在于解釋學(xué)習(xí)，而主要在于說明教學(xué)，把學(xué)習(xí)與教學(xué)緊密聯(lián)系起來。他認(rèn)為，信息加工心理學(xué)理論提出的各個(gè)內(nèi)部過程正是處理教學(xué)問題需要解釋的幾個(gè)過程，就是了解哪種外部事件能夠影響正在進(jìn)行的內(nèi)部過程（學(xué)習(xí)過程）。他認(rèn)為，組成教學(xué)的各種事件必須源于已知的學(xué)習(xí)過程，教學(xué)過程與學(xué)習(xí)過程應(yīng)保持一致。表1是加涅概括的教學(xué)事件與學(xué)習(xí)過程的對應(yīng)關(guān)系。［5］

加涅用信息加工心理學(xué)理論解釋教與學(xué)的關(guān)系，其基本思想是以學(xué)定教。只有清楚了學(xué)生怎么學(xué)，才能研究教師怎么教。這是學(xué)習(xí)與教學(xué)關(guān)系的基本邏輯。長期以來，教師更多考慮如何教，即研究怎么做，而較少思考為什么要這樣做。事實(shí)上，考慮到“為什么要這樣做”的層面，就是考慮到了學(xué)生怎么學(xué)的問題，就會(huì)回到問題研究的起點(diǎn)。這個(gè)問題是值得教師思考的。例如，在新課程的實(shí)施中，不能把知識掌握作為目標(biāo)的教學(xué)模式習(xí)慣性地用到核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)中，而要思考如何通過知識教學(xué)達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)，于是要回到素養(yǎng)是怎么生成的這個(gè)邏輯起點(diǎn)上來。因此，加涅以學(xué)定教的思想具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

（三） 不同的學(xué)習(xí)結(jié)果對應(yīng)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)

加涅在提出學(xué)習(xí)結(jié)果的五種形式，并用信息加工心理學(xué)理論建立學(xué)與教的關(guān)系后，重點(diǎn)針對五種學(xué)習(xí)結(jié)果的教學(xué)設(shè)計(jì)開展研究。加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)原理主要考慮兩個(gè)問題：一是確定學(xué)習(xí)結(jié)果的類型；二是創(chuàng)設(shè)這種學(xué)習(xí)類型的內(nèi)部與外部條件。

基于這種思想，加涅對五種學(xué)習(xí)結(jié)果分別做了細(xì)致分析，給出處方式的教學(xué)建議和策略。例如，對智慧技能，分辨別學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)、問題解決（高級規(guī)則學(xué)習(xí)）四個(gè)方面進(jìn)行論述。辨別學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件是學(xué)生具備辨別所需的回憶或重現(xiàn)不同反應(yīng)連鎖的能力，外部條件則是教師對學(xué)生的反應(yīng)作出及時(shí)的反饋。概念學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件是學(xué)生已經(jīng)習(xí)得辨別能力，外部條件則是教師給學(xué)生呈現(xiàn)概念的正例和反例，強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解。

加涅的“不同的學(xué)習(xí)結(jié)果對應(yīng)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)”思想，對教學(xué)設(shè)計(jì)有重要的指導(dǎo)意義。但現(xiàn)實(shí)中的情況通常并非如此，而是推行某種教學(xué)模式或方法去應(yīng)對所有知識的教學(xué)，似乎存在可以進(jìn)行所有知識教學(xué)的萬能模式，一種“追求教學(xué)科學(xué)化”的傾向十分盛行。按照加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)觀，我們應(yīng)當(dāng)追求科學(xué)的教學(xué)，即以科學(xué)的態(tài)度和方式看待和處理教學(xué)?？茖W(xué)教學(xué)觀的理念是，著眼學(xué)生的素質(zhì)發(fā)展。其教學(xué)過程應(yīng)理解為：在順應(yīng)教學(xué)科學(xué)性的基礎(chǔ)上，融教學(xué)模式與教學(xué)智慧于一體，根據(jù)教學(xué)的具體內(nèi)容、具體情境，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平、情感態(tài)度，采用適宜的教學(xué)指導(dǎo)思想進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。［6］

在教學(xué)實(shí)踐中，要辯證地看待加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)思想。其一，加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)思想是針對所有學(xué)科提出的，具有通用性，但具體到每一門學(xué)科，應(yīng)當(dāng)考慮各自學(xué)科的特殊性，對加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)思想進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，特別是在考慮內(nèi)部條件和外部條件時(shí)，更應(yīng)如此。其二，加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)思想主要是針對知識學(xué)習(xí)的，雖然也考慮到了態(tài)度，但與當(dāng)前我國實(shí)施的新課程目標(biāo)還是有一定差異的，即隨著社會(huì)的發(fā)展，學(xué)習(xí)結(jié)果需要作出一些新的調(diào)整。

二、 對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

不同的歷史年代必然存在“斷代現(xiàn)象”，教學(xué)目標(biāo)會(huì)發(fā)生變遷，學(xué)習(xí)結(jié)果也會(huì)重新認(rèn)識，但思想?yún)s會(huì)源遠(yuǎn)流長。如前所述，用加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)思想指導(dǎo)當(dāng)前的教學(xué)，不是將他提出的一招一式用于具體的課堂教學(xué)，而是從思想中得到啟示。下面，重點(diǎn)談?wù)劇安煌膶W(xué)習(xí)結(jié)果對應(yīng)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)”思想對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。

基于信息加工心理學(xué)的廣義知識分類和加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類，結(jié)合數(shù)學(xué)知識的特征，我們對數(shù)學(xué)知識作了一種分類。數(shù)學(xué)知識包括陳述性知識、程序性知識。其中，程序性知識分為智慧技能和認(rèn)知策略，智慧技能又分為簡單操作性技能、復(fù)雜操作性技能；認(rèn)知策略又分為策略性知識、反省認(rèn)知。［7］這個(gè)數(shù)學(xué)知識的分類也就是知識學(xué)習(xí)的結(jié)果。下面，從知識分類入手，討論如何通過知識教學(xué)實(shí)現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（一） 陳述性知識的教學(xué)策略

陳述性知識就是事實(shí)性知識，與加涅的言語信息對應(yīng)。數(shù)學(xué)教材中的概念、定理、公式、法則等都是陳述性知識。

加涅指出，言語信息學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件，一是學(xué)習(xí)者具備一些以某種方式相互聯(lián)系的知識。奧蘇伯爾將這種貯存在頭腦中的知識結(jié)構(gòu)，稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。也就是說，言語信息學(xué)習(xí)的一個(gè)前提是學(xué)習(xí)者具備先前知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。二是學(xué)習(xí)者對先前習(xí)得的知識有良好的表征。陳述性知識的表征是指在個(gè)體頭腦中的貯存形式。如果表征恰當(dāng)，在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，就利于信息的提取。言語信息學(xué)習(xí)的外部條件，是教師為學(xué)生提供有意義的情境、突出新舊材料的區(qū)別、加強(qiáng)復(fù)習(xí)。顯然，加涅關(guān)注的是知識學(xué)習(xí)效果的問題。

而我們更關(guān)注如何通過陳述性知識的學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。與陳述性知識學(xué)習(xí)高度相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)抽象（抽象能力）、邏輯推理（推理能力）、直觀想象（幾何直觀、空間觀念）。［8］因此，主要從三個(gè)方面思考教學(xué)策略：

1 多視角呈現(xiàn)內(nèi)容

內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化的目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。陳述性知識的呈現(xiàn)方式較多，可以從知識生成的來源考慮：從現(xiàn)實(shí)生活中生成，從先前知識的發(fā)展邏輯中生成，在解決問題中生成；也可以從知識引入的形式考慮：從特殊到一般地引入，從一般到特殊地引入……無論采用什么方式呈現(xiàn)知識，都蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象的因素，特別是從現(xiàn)實(shí)生活中生成、從特殊到一般地引入，與數(shù)學(xué)抽象關(guān)系更加密切。

例如，觀察一組函數(shù)：f（x）＝x2，f（x）＝x4＋x2，f（x）＝x2＋1，f（x）＝1x6＋5……代入一對相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)f（－1）＝f（1），f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3），f（－4）＝f（4）……于是通過數(shù)學(xué)抽象得到f（－x）＝f（x），x∈D，從而抽象出偶函數(shù)的概念。這是從特殊到一般的概念形成方式，直接指向?qū)W生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。

之所以強(qiáng)調(diào)內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化，是因?yàn)槊糠N呈現(xiàn)方式都與數(shù)學(xué)抽象有一定的關(guān)系，而數(shù)學(xué)抽象的方式也不是單一的。例如，在事物的具體背景中，從數(shù)量或圖形性質(zhì)的角度抽象出一般的規(guī)律或結(jié)構(gòu)；從一個(gè)概念或命題出發(fā)，采用減小內(nèi)涵的方式得到概括程度更高的概念或命題；對一個(gè)概念或命題，采用增大內(nèi)涵的方式得到一個(gè)新概念或命題；等等。因此，內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化，才能全方位地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

2 多形式訓(xùn)練思維

思維訓(xùn)練方式多樣化的目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。邏輯推理的形式有演繹推理和合情推理，教學(xué)中不可揚(yáng)此抑彼。當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)過分偏重演繹推理而忽視合情推理，證實(shí)性思維占上風(fēng)甚至完全消解證偽思想，讓學(xué)生相信真理、無條件地接受真理，而產(chǎn)生這些真理所經(jīng)歷的無數(shù)證偽的思想被消解。這種局面不利于學(xué)生邏輯推理能力的全面發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)將合情推理納入其中，使演繹推理與合情推理有機(jī)融合，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的全面發(fā)展。比如，這樣的題：

（1） 用計(jì)算器計(jì)算，得到算式的結(jié)果：34×34＝，334×334＝，3334×3334＝。

（2） 從上面的算式和結(jié)果中，你得到了什么規(guī)律？

（3） 利用上面得到的規(guī)律，不用計(jì)算器計(jì)算，直接寫出算式的結(jié)果：33334×33334＝，333334×333334＝。

這組題要求學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算得到算式的結(jié)果，并利用得到的規(guī)律直接寫出算式的結(jié)果，所以不是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。第（1）問到第（2）問考查學(xué)生的歸納推理能力，第（2）問到第（3）問考查學(xué)生的演繹推理能力。因此，這道題很好地融合了合情推理與演繹推理，體現(xiàn)了多形式訓(xùn)練思維的功能。

3 多元化表征知識

知識表征方式多樣化的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。陳述性知識學(xué)習(xí)的基本目的是理解知識，理解的前提是表征。命題表征和表象表征是陳述性知識的基本表征方式。命題表征指由某些關(guān)系將基本命題聯(lián)系起來，在頭腦中形成網(wǎng)絡(luò)；表象表征指借助于對事物的知覺表象來記憶陳述性知識。表象指人在知覺事物時(shí)，一般會(huì)在頭腦中形成該事物的形象，而在回憶事物時(shí)，會(huì)以形象的方式呈現(xiàn)出來。顯然，表象表征與學(xué)習(xí)者的直觀想象直接相關(guān)。直觀想象指借助圖形感知對象的形態(tài)，由此理解問題和解決問題。許多數(shù)學(xué)問題需要借助圖形來描述，往往通過建立形與數(shù)的聯(lián)系去理解，通過構(gòu)建直觀模型去探索解決的思路。毫無疑問，理解幾何概念、命題時(shí)，表象表征是主要形式。

理解知識，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)采用多元表征的方式，這樣才能達(dá)到深度理解。例如，偶函數(shù)概念的定義是：如果對于任意的x∈D（D為定義域），都有f（－x）＝f（x）成立，那么稱函數(shù)f（x）是偶函數(shù)。當(dāng)學(xué)習(xí)者以這個(gè)定義方式來記憶時(shí)，就是命題表征。但是，要對偶函數(shù)概念有更深入的理解，就還應(yīng)知道“偶函數(shù)y＝f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱”。這個(gè)命題就說明了偶函數(shù)的圖像特征，而將直觀的圖像貯存于頭腦中，就是表象表征。比如，這樣的題：

圖3是兩個(gè)函數(shù)的圖像。請你根據(jù)這兩個(gè)圖像，解決兩個(gè)問題：

（1） 分別寫出兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2） 就給定圖像想象出一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。

函數(shù)的表達(dá)方式有解析式、圖像、表格等，學(xué)生能在多種表達(dá)方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化就體現(xiàn)了多元表征。第（1）問可以用分段函數(shù)解析式進(jìn)行表達(dá)。第（2）問的設(shè)計(jì)思路是，給出一個(gè)數(shù)學(xué)問題，要求學(xué)生想象相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境。它可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維能力。一個(gè)合適的現(xiàn)實(shí)情境是：小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原來的速度返回，如圖（a）所示；父親在報(bào)亭看報(bào)10分鐘，然后用15分鐘返回，如圖（b）所示。

（二） 程序性知識的教學(xué)策略

程序性知識是關(guān)于人們怎么做事的知識，即做一件事情的程序的知識。程序性知識是動(dòng)態(tài)的形式，陳述性知識是靜態(tài)的形式，這是兩者的區(qū)別。從兩類知識的表征來看，其實(shí)沒有嚴(yán)格的分界。如果把一個(gè)概念或規(guī)則作為一種靜態(tài)的知識看待，它就是陳述性知識；如果把這個(gè)概念或規(guī)則用于解決問題，它就成為一種程序性知識。換句話說，程序性知識是由陳述性知識轉(zhuǎn)化而來的。

程序性知識的表征方式是產(chǎn)生式。產(chǎn)生式是一條有邏輯關(guān)系的因果鏈，表現(xiàn)為“如果……那么……”的指令。例如，三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。這條定理由條件和結(jié)論組成，是一條典型的產(chǎn)生式。而把第一條產(chǎn)生式中的“那么”作為第二條產(chǎn)生式的“如果”，則形成一條“重疊產(chǎn)生式”；一系列“重疊產(chǎn)生式”就組成一個(gè)所謂的產(chǎn)生式系統(tǒng)。

我們認(rèn)為，概念、規(guī)則的學(xué)習(xí)在理解階段可視為陳述性知識，在應(yīng)用（解決問題）階段可視為程序性知識，包括智慧技能和認(rèn)知策略。這樣的認(rèn)識，既符合知識分類，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性。而與程序性知識學(xué)習(xí)高度相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析。［9］基于此，提出程序性教學(xué)的三種策略：

1 注重規(guī)則的遷移

規(guī)則遷移有兩種情形。一是一個(gè)規(guī)則在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)不同知識結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，即一個(gè)結(jié)構(gòu)中的規(guī)則用于解決另一個(gè)結(jié)構(gòu)中的問題，這是學(xué)科內(nèi)部的知識遷移；二是數(shù)學(xué)學(xué)科中的規(guī)則用于解決其他領(lǐng)域的問題，這是跨學(xué)科的知識遷移。顯然，規(guī)則的遷移運(yùn)用與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都密切關(guān)聯(lián)。

學(xué)習(xí)了一個(gè)規(guī)則之后，一般是先在一個(gè)相對狹窄的領(lǐng)域應(yīng)用。隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，不同知識體系的問題相繼出現(xiàn)。一般來說，新的問題需要用新的規(guī)則來解決；但從思想方法的層面看，由前后知識引出的問題又可能是一脈相承的，在這種情形下，原來的規(guī)則就可能用于解決新知識結(jié)構(gòu)中的問題，產(chǎn)生知識在學(xué)科內(nèi)部遷移的情形。事實(shí)上，這也就是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的“通性通法”。

例如，在初中一元二次方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，使用韋達(dá)定理可以解決許多問題，如：（1） 不解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，求兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c相聯(lián)系的代數(shù)表達(dá)式；（2） 不解一元二次方程，求以兩根的代數(shù)式為根的另一個(gè)一元二次方程；（3） 已知一元二次方程的一根，不解方程，求另一根；（4） 已知一元二次方程的兩根，求此方程；（5） 利用方程兩根之間的關(guān)系，求一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系……到高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了解析幾何之后，韋達(dá)定理還可以用于解決相關(guān)知識結(jié)構(gòu)中的一些問題，如：（1） 求解二次曲線的中點(diǎn)弦；（2） 求解二次曲線一組平行弦的中點(diǎn)軌跡；（3） 求二次曲線的弦長……這就是學(xué)科內(nèi)部不同知識結(jié)構(gòu)之間的規(guī)則遷移。

2 注重規(guī)則的設(shè)計(jì)

使用規(guī)則是指根據(jù)已有的公式、法則進(jìn)行運(yùn)算，根據(jù)已有的定理進(jìn)行推理。而設(shè)計(jì)規(guī)則有兩層含義：一是在多種規(guī)則中選擇恰當(dāng)?shù)囊?guī)則進(jìn)行運(yùn)算和推理，也可能是運(yùn)算和推理涉及多個(gè)規(guī)則，需要對這些規(guī)則的使用進(jìn)行排序、組合，從而設(shè)計(jì)運(yùn)算與推理程序；二是面對一個(gè)問題，沒有現(xiàn)成的規(guī)則可以使用，需要設(shè)計(jì)新的算法或找到中間的過渡命題，達(dá)到解決問題的目的。比如，這樣的題：

有一塊長4米、寬3米的園地?，F(xiàn)要在園地上開辟一個(gè)花園，使花園的面積是原來園地面積的一半，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？盡可能對你設(shè)計(jì)的圖案，通過有關(guān)計(jì)算說明面積的關(guān)系。

對此，可以給出一些設(shè)計(jì)方案（如圖4所示），然后計(jì)算分出的面積，看其是否為原來長方形面積的一半。這里，每個(gè)圖形面積的算法都沒有給出，需要解題者自己設(shè)計(jì)。這就是規(guī)則的設(shè)計(jì)。

其實(shí)，數(shù)學(xué)建模就是典型的規(guī)則設(shè)計(jì)問題。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。在分析問題、建立模型、確定參數(shù)的階段，解題者需要選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，比較各種算法的優(yōu)劣，確定最優(yōu)算法。這就是規(guī)則設(shè)計(jì)的過程。

3 注重規(guī)則的推廣

規(guī)則推廣是指將已有規(guī)則推廣到一個(gè)更大的范圍內(nèi)去使用。例如，勾股定理是余弦定理的特例，由勾股定理發(fā)展到余弦定理就是規(guī)則的推廣。簡單地說，數(shù)學(xué)命題的一般化過程就是規(guī)則的推廣過程。規(guī)則推廣是數(shù)學(xué)研究常用的思維方式，推廣的過程是數(shù)學(xué)抽象的過程，是歸納推理或類比推理的過程，與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直接相關(guān)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)把規(guī)則的推廣納入其中。

例如，將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母乘以同一個(gè)不為零的數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)的值不會(huì)改變，那么，將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母加上同一個(gè)數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生什么情況呢？此時(shí)，分?jǐn)?shù)的值發(fā)生了變化，所得到的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)不再相等。進(jìn)一步思考：這種不等關(guān)系是否存在一定的規(guī)律？

考察分?jǐn)?shù)32，將分子和分母同時(shí)加1，得到3＋12＋1＝43＜32。進(jìn)一步舉例，將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母上同時(shí)加上2、3……得到3＋22＋2＝54＜32、3＋32＋3＝65＜32……于是得出猜想1：a、b、m是正整數(shù)，則a＋mb＋m＜ab。

再舉反例駁斥這個(gè)猜想：對于分?jǐn)?shù)12來說，1＋22＋2＝34＞12。分析不能成立的原因，發(fā)現(xiàn)必須對分子和分母加以限制，于是得到猜想2：a、b、m是正整數(shù)，且a＞b，則a＋mb＋m＜ab。

容易證明這個(gè)猜想是成立的。在證明過程中發(fā)現(xiàn)，“a、b、m是正整數(shù)”這個(gè)條件太強(qiáng)，可以弱化，得到猜想3：a、b、m是正實(shí)數(shù)，且a＞b，則a＋mb＋m＜ab。

上述猜想得到證明后，便成為一個(gè)定理。對這個(gè)定理進(jìn)行推廣，可以得到一系列結(jié)論：（1） 已知a、b是正實(shí)數(shù)，x1、x2是非負(fù)實(shí)數(shù)，且a＞b，x2＞x1，則a＋x2b＋x2＜a＋x1b＋x1；

（2） 已知a1、a2、b1、b2是正實(shí)數(shù)，且a1b1＜a2b2，則a1b1＜a1＋a2b1＋b2＜a2b2；

（3） 已知ai、bi是正實(shí)數(shù)（i＝1，2，…，n），且a1b1＜a2b2＜…＜anbn，

則a1b1＜∑ni=1ai∑ni=1bi＜anbn。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李樂天.加涅的教學(xué)模式研究［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），1985（4）：1125.

［2］［3］［4］ R.M.加涅.學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論［M］.皮連生，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，1999：5556，5963，80.

［5］ 盛群力.“為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)”——加涅教學(xué)設(shè)計(jì)觀述評［J］.外國教育資料，1993（1）：1524.

［6］ 喻平.教學(xué)科學(xué)觀與科學(xué)教學(xué)觀：兩種不同信念的教學(xué)追求［J］.湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)報(bào)，2015（1）：5864.

［7］ 喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（第三版）［M］.南寧：廣西教育出版社，2015：66.

［8］［9］ 喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)：知識分類視角［J］.教育理論與實(shí)踐，2018（17）：3，4.