鍋爐熱效率加權(quán)平均及其不確定度評定的方法

齊國利 張松松 笪耀東

（1.國家市場監(jiān)管重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（特種設(shè)備安全與節(jié)能)，中國特種設(shè)備檢測研究院 北京 100029）

（2.中特檢驗(yàn)集團(tuán)有限公司 北京 100029）

對于鍋爐熱效率的測量，實(shí)際上需要測量溫度、壓力、質(zhì)量和質(zhì)量流率等參數(shù)，按照能量平衡原理（鍋爐熱工性能試驗(yàn)，也稱作熱平衡原理），實(shí)際上就是把整個熱力系統(tǒng)作為一個平衡系統(tǒng)，不用考慮進(jìn)出口阻力損失等，只考慮熱量平衡[1]。鍋爐產(chǎn)品驗(yàn)收或鑒定試驗(yàn)時(shí)，熱效率測試可以進(jìn)行2 個或多個工況，在用定期能效測試時(shí)一般可以是1 個工況，無論是1 個或多個工況的試驗(yàn)，熱效率計(jì)算所用的溫度、壓力、流量等參數(shù)都要進(jìn)行若干次的測量，以減少測量不確定的影響[2-3]。對于鍋爐產(chǎn)品能效測試，其熱效率應(yīng)進(jìn)行2 個工況（或2 組）的測試，鍋爐熱效率取2 個工況熱效率的算數(shù)平均值[4]。ASME PTC 4：2013《鍋爐性能試驗(yàn)規(guī)程》規(guī)定，為了減少試驗(yàn)不確定度，可進(jìn)行多組試驗(yàn)，滿足重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)的多組試驗(yàn)結(jié)果取平均值得到平均試驗(yàn)結(jié)果，沒有給出平均試驗(yàn)結(jié)果的不確定度計(jì)算方法。EN 12952-15：2003《水管鍋爐和輔助設(shè)備 第15 部分：性能驗(yàn)收》規(guī)定，熱效率試驗(yàn)結(jié)果乘以熱效率的相對不確定度獲得熱效率的絕對不確定度，測量效率加上熱效率的絕對不確定度應(yīng)當(dāng)大于保證或者設(shè)計(jì)效率[5-6]。但遺憾的是，ASME PTC 4：2013和EN 12952-15：2003 都沒有能夠給出熱效率平均值的計(jì)算方法及其熱效率平均值的不確定度。

如果鍋爐熱效率測試結(jié)果進(jìn)行了不確定度的評定，則不能使用算數(shù)平均值作為熱效率測試結(jié)果，因?yàn)?個工況的熱效率測試不確定度不同[7]，因此需要用更為科學(xué)的不確定度評定方法對熱效率平均值進(jìn)行不確定度的評定。

鍋爐熱效率測試中溫度、壓力、熱值、質(zhì)量和質(zhì)量流率等參數(shù)的測量[8-9]，都是基于高斯（正態(tài)）分布，比如給水質(zhì)量流量通過大量測量，給水質(zhì)量流量分布應(yīng)符合高斯分布，但由于時(shí)間等成本問題，質(zhì)量流量測量不可能是無限次的測量，一定是有限次的測量，各類測量標(biāo)準(zhǔn)一般都給出最小的測量次數(shù)，可以通過平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差判斷測量結(jié)果的質(zhì)量[10]。

本文基于試驗(yàn)結(jié)果應(yīng)符合高斯分布的基本原理，推導(dǎo)了鍋爐熱效率及其不確定度加權(quán)公式，獲得了鍋爐性能試驗(yàn)結(jié)果及其不確定度的表征方法。

1 熱效率的加權(quán)平均值

如果2 組熱效率測試結(jié)果都服從高斯分布[11]，第1 組熱效率試驗(yàn)得到的熱效率值ηA的概率見式（1）。

式中：

Pη（ηA)——第1 組試驗(yàn)獲得的熱效率值ηA的概率；

η——熱效率的未知真值；

σA——第1 組試驗(yàn)獲得的熱效率標(biāo)準(zhǔn)差。

第2 組熱效率試驗(yàn)得到的熱效率值ηB的概率見式（2）。

假設(shè)同樣條件下，進(jìn)行一次完整的試驗(yàn)，包括第1 組熱效率試驗(yàn)獲得ηA的概率與第2 組試驗(yàn)獲得ηB的概率，2 次概率相乘，可以寫成式（3）。

式中：

從最大似然原理可以看出，對未知真值η的最佳估計(jì)是實(shí)際測量熱效率ηA和ηB的最可能的值。即η的最佳估計(jì)值是使式（3）的概率取得最大的那個值[12-13]。利用最小二乘法原理，把式（4）對η求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)等于0，見式（5）。

用第1 組和第2 組試驗(yàn)的熱效率標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行表示，見式（6）。

式中：

uA——第1 組試驗(yàn)獲得的熱效率標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

uB——第2 組試驗(yàn)獲得的熱效率標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

N——試驗(yàn)次數(shù)。

式（6）進(jìn)一步整理得式（7）。

式（7）進(jìn)一步整理得式（8）。

定義權(quán)見式（9）。

式（8）可以進(jìn)一步寫為式（10）。

如果2 組試驗(yàn)的熱效率不確定度相等，那么熱效率最佳估計(jì)值就是算術(shù)平均值，若2 組試驗(yàn)的熱效率不確定度不一致，則不能使用算數(shù)平均值進(jìn)行平均。從式（9）和式（10）可知，標(biāo)準(zhǔn)不確定度越小，權(quán)值越大，熱效率測試結(jié)果越接近熱效率的最佳估計(jì)值。

當(dāng)然，式（10）也可以推廣到多組試驗(yàn)情況，見式（11）。

2 熱效率平均值的不確定度

式（9）可以推廣到多組試驗(yàn)的情況，見式（12）。

式（12）變形整理，見式（13）。

平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差見式（14）。

則熱效率平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差見式（15）。

進(jìn)一步整理得式（16）。

這是由于加權(quán)平均值ηwav是原測得值η1，η2，……，ηn的函數(shù)，因此ηwav的不確定度可以通過誤差傳播的方法計(jì)算出來[13]。

3 熱效率不確定度的典型計(jì)算示例

以NB／T 47066—2018《冷凝鍋爐熱工性能試驗(yàn)方法》的附錄中F.10 的冷凝鍋爐反平衡熱效率相關(guān)數(shù)據(jù)作為第1 組數(shù)據(jù)，假設(shè)該臺鍋爐的另一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和比較，具體見表1。

表1 鍋爐熱效率平均值的計(jì)算

從表1 可以看出，熱效率的算數(shù)平均值為99.28%，熱效率的加權(quán)平均值為99.21%，由于第2 組的權(quán)重更高，因此熱效率的加權(quán)平均值更接近第2 組熱效率。由于2 組熱效率的權(quán)重差異不是特別大，因此熱效率的加權(quán)平均值雖然更接近第2 組，但仍然有第1 組的影響存在。如果做另外一個假設(shè)，第1 組測試的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是第2 組的4 倍，具體數(shù)值見表2。

表2 鍋爐熱效率平均值的計(jì)算（假設(shè)）

從表2 可以看出，當(dāng)?shù)? 組測試的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是第2 組的4 倍時(shí)，第2 組的權(quán)重幾乎是第1 組權(quán)重的16 倍，即平方關(guān)系。2 組熱效率的加權(quán)平均值為99.13%，與第2 組熱效率基本一致，也就是說，當(dāng)2組測試的標(biāo)準(zhǔn)不確定度相差3 倍以上時(shí)，可以不考慮不確定較大的測試組，熱效率的加權(quán)平均值就是熱效率測試不確定度權(quán)重較高的實(shí)測熱效率。

較高的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是較低的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)關(guān)系符合什么條件才可以考慮較高組的測量數(shù)值，或者忽略較高組的測量數(shù)值。把不同組的標(biāo)準(zhǔn)不確定度與熱效率加權(quán)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的關(guān)系作成圖1。從圖1中可以看出，當(dāng)兩者的倍數(shù)關(guān)系符合3倍以上時(shí)，可以考慮忽略較高組的數(shù)值影響。從2 組熱效率測量質(zhì)量方面考慮，2 組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度越接近越好，當(dāng)其相等時(shí)，2 組熱效率可以取算數(shù)平均值，這是一種極端情況，GB／T 10180—2017《工業(yè)鍋爐熱工性能試驗(yàn)規(guī)程》的2 組熱效率取算數(shù)平均值就是假設(shè)這種極端情況，顯然，這是不合理的，因此在進(jìn)行2 組熱效率取平均值時(shí)，應(yīng)采用加權(quán)平均值。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)與熱效率加權(quán)值的不確定度的關(guān)系

4 結(jié)論

鍋爐熱效率測試是評價(jià)鍋爐能效狀況的主要手段，因此TSG 91—2021《鍋爐節(jié)能環(huán)保技術(shù)規(guī)程》規(guī)定了鍋爐熱效率限定值的要求。從常用的測試標(biāo)準(zhǔn)可知，鍋爐產(chǎn)品熱效率測試數(shù)據(jù)取2 次熱效率測試的算數(shù)平均值，如果從不確定度的角度分析這是不科學(xué)的。因此，本文從理論上分析了熱效率測試結(jié)果應(yīng)是2 組測量的加權(quán)平均的可行性，并提出了2 組測量加權(quán)平均的計(jì)算方法和加權(quán)平均值的不確定度計(jì)算方法。另外，通過示例分析了2 組測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度差異對加權(quán)平均值不確定度的影響規(guī)律，提出一般2 組標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)超過3 倍，則可以忽略較高不確定度的測量熱效率，在測量中應(yīng)盡量減少2 組測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的差值。