立足新課標(biāo) 打造讓學(xué)生會(huì)說理的數(shù)學(xué)課堂

林玉芬

（福建省泉州市豐澤區(qū)豐盛實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)題和提出問題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。立足新課標(biāo)要求，教師要關(guān)注學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的發(fā)展，打造讓學(xué)生會(huì)說理的數(shù)學(xué)課堂。

一、讓學(xué)生有理有據(jù)地表達(dá)

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把自己能看到的、能想到的問題、思路和方法，借助文字或語言，有理有據(jù)地表達(dá)出來。教師應(yīng)要求學(xué)生“對(duì)自己表達(dá)的話負(fù)責(zé)任”，每位學(xué)生在表達(dá)之前要有問題，并把問題思考清楚，不要把自己不清楚或一知半解的問題、知識(shí)和想法講給其他同學(xué)聽；應(yīng)要求學(xué)生表達(dá)時(shí)“要說大家聽得懂的話”，不僅要準(zhǔn)確說出自己的結(jié)論、觀點(diǎn)，而且要圍繞所探究的核心問題，把握要點(diǎn)和本質(zhì)，說出自己對(duì)問題和相關(guān)觀點(diǎn)的思考，并且讓別人也能聽懂，同時(shí)關(guān)注別人的問題、想法。如教師提出問題：0為什么不能做除數(shù)？有的學(xué)生從除法的意義來說理。第一種是平均除：把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，每份是幾。假設(shè)把10 個(gè)蘋果平均分給5 個(gè)人，每個(gè)人可以分2 個(gè)，而把10 個(gè)蘋果分給0 個(gè)人是沒辦法分的，所以10÷0 算式不存在。第二種是包含除：一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)幾。指被除數(shù)里面有幾個(gè)除數(shù)，就是問這個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)0，如5÷0 就是問5 里面有幾個(gè)0。但是，不管5里面有幾個(gè)0，其相加還是等于0，而不可能等于5，所以不存在5÷0這個(gè)算式。第三種是倍數(shù)除：一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍。倍數(shù)除是指被除數(shù)里面有幾個(gè)除數(shù)，如20 除以4等于5，表示20是4 的5 倍，但是20 除以0，0 是表示什么都沒有，無法比較出20 是0 的幾倍，所以20÷0 算式不存在。也有的學(xué)生用反證法來分析第一種情況：假設(shè)除數(shù)可以為0，如被除數(shù)÷0=？6÷0=？→6=0×？根據(jù)被除數(shù)等于除數(shù)乘商得到6=0×？因?yàn)?乘任何數(shù)都等于0，不可能等于6，所以此時(shí)的商不存在。第二種情況：0÷0=？→0=0×？根據(jù)被除數(shù)等于除數(shù)乘商得到的是0=0×？因?yàn)? 乘任何數(shù)都得0，如0×1=0，0×15=0，0×180=0，0×3500=0……此時(shí)的商有無數(shù)個(gè)，也就是說，0÷0的商不是唯一的。

學(xué)生利用除法的三種意義來講理，還運(yùn)用反證法，推算假設(shè)除數(shù)為零的兩種情況，要么商不存在，要么商有無數(shù)個(gè)，都視為無意義。通過說理，學(xué)生得出：這些就是0 不能做除數(shù)的道理。學(xué)生通過這樣有條理、有理有據(jù)地講理，可以明理，并養(yǎng)成究理的習(xí)慣。

二、讓學(xué)生富有思辨地論證

學(xué)習(xí)是為理解而學(xué)，為思維而學(xué)，為發(fā)展而學(xué)。說理課堂中，學(xué)生的學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，意在通過對(duì)問題、知識(shí)、思想方法的深度理解來建構(gòu)良好的認(rèn)知方式，注重批判理解，強(qiáng)調(diào)信息整合，面向遷移應(yīng)用和問題解決。這就要求學(xué)生能將眾多學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)系起來，對(duì)新學(xué)的問題、知識(shí)和思想方法進(jìn)行批判性思考，多維度地理解知識(shí)內(nèi)涵，形成富有思辨性的個(gè)人理解。

例如，北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)乘法分配律的等式是（a+b）×c=a×c+b×c，那么，乘法分配律等式為什么成立？用什么方法來說明呢？有的學(xué)生用學(xué)過的列豎式計(jì)算來說明。

豎式計(jì)算時(shí)，先用第二個(gè)乘數(shù)82 的個(gè)位2 去乘87 得到174，再用80 去乘87 得到6960，最后用174+6960=7134。通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)豎式計(jì)算其實(shí)就是先將82 分為80 加2，分別與87 相乘，然后再把它們的積相加，這就可以證明（a+b）×c=a×c+b×c乘法分配律等式是成立的。有的學(xué)生用畫圖法來證明，如求長方形的面積，已經(jīng)知道長方形面積等于長×寬，當(dāng)長方形的長為a，寬為c，長方形的面積等于a×c。當(dāng)把這個(gè)長方形的長增加b，寬不變時(shí)，怎樣求大長方形的面積？學(xué)生有兩種方法來解決問題：第一種是先求出大長方形的長是a+b，再來計(jì)算大長方形的面積，也就是大長方形的面積=長×寬=（a+b）×c。第二種是用長方形1 的面積+長方形2 的面積來計(jì)算大長方形的面積，這樣可以得出大長方形的面積=a×c+b×c。由于這兩種計(jì)算方式都是求同一個(gè)大長方形的面積，因其結(jié)果是一樣的，這也就可以證明（a+b）×c=a×c+b×c，說明乘法分配律等式是成立的。有的學(xué)生用推理法來驗(yàn)證，在等式（a+b）×c中，當(dāng)c等于具體數(shù)值為0，1，2，3……時(shí)，可以得到下列等式：

以此類推，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（a+b）×c=（a+b）+（a+b）+（a+b）+……=a×c+b×c，再次可以證明（a+b）×c=a×c+b×c，說明乘法分配律等式是成立的。

通過這樣富有思辨的論證方式，能夠促進(jìn)學(xué)生深度思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

三、讓學(xué)生層層深入地證明

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，課不要反復(fù)講，而要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)該把理給講出來。這里的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)道理，也就是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生知道是什么，而且還要知道為什么。為此，說理課堂不僅要使學(xué)生明曉道理，還應(yīng)通過講理，激發(fā)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的愿望，促進(jìn)其更具深度、廣度地進(jìn)行思考與學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

例如，針對(duì)“三角形任意兩邊之和為什么總會(huì)大于第三邊”這個(gè)問題，有的學(xué)生用畫圖法進(jìn)行說明，先根據(jù)三角形的定義，隨意在紙上畫幾個(gè)三角形，并測(cè)量出各個(gè)三角形每條邊的長度。接著，用表格來比較三邊關(guān)系，如一號(hào)三角形三邊分別長3，4，5厘米，3+4大于5，3+5大于4，4+5大于3。學(xué)生通過比較說明了一號(hào)三角形任意兩邊之和大于第三邊，其他三角形也是如此。所以，三角形任意兩邊之和總會(huì)大于第三邊。有的學(xué)生運(yùn)用推理法來說明：在圖上隨意點(diǎn)上三個(gè)點(diǎn)，并設(shè)為點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C，再連接這三個(gè)點(diǎn)。由“兩點(diǎn)之間線段最短”的數(shù)學(xué)理論可以得到，點(diǎn)A和點(diǎn)C之間線段AC最短，所以AB+CB＞AC。換成點(diǎn)A和點(diǎn)B 來看，點(diǎn)A 和點(diǎn)B 之間線段AB 最短，所以AC+BC＞AB。從點(diǎn)B 和點(diǎn)C 來看，點(diǎn)B 和點(diǎn)C 之間線段BC 最短，所以AC+AB＞BC。經(jīng)過剛才的推理，學(xué)生可以顯而易見地知道“三角形任意兩邊之和一定大于第三邊”的說法是正確的。有的學(xué)生用反證法進(jìn)行論證，將這個(gè)三角形的邊長分別設(shè)為a，b，c。假設(shè)三角形的兩邊之和小于或等于第三邊，可以得到：a+b≤c，a+c≤b，b+c≤a（由于a，b，c是三角形的邊長，所以a，b，c＞0；將兩邊相加得到：2（a+b+c）的和≤a+b+c；將兩邊都除以a+b+c得到2≤1。這是不存在的，即假設(shè)不成立，所以三角形任意兩邊之和一定大于第三邊。

教師通過這樣促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，使他們學(xué)會(huì)認(rèn)知、學(xué)會(huì)表達(dá)、學(xué)會(huì)與他人共處，以及學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)從知識(shí)向經(jīng)驗(yàn)、思想、能力的深度轉(zhuǎn)化。學(xué)生層層深入地理解三角形任意兩邊大于第三邊的道理，做到知其然也知其所以然。

四、讓學(xué)生獨(dú)到見解的表述

教師構(gòu)建說理課堂，既可以幫助學(xué)生打通知識(shí)的前后聯(lián)系，建立完善的知識(shí)體系，也能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。教師要引導(dǎo)學(xué)生在說理課堂上多說、多想、多實(shí)踐，讓其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成深度認(rèn)知，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的、體現(xiàn)個(gè)性思維的課堂。

北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第一單元，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了小數(shù)加減法，知道列豎式計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊，相同數(shù)位要對(duì)齊，因?yàn)橛?jì)數(shù)單位相同才能直接相加減。那么，筆算小數(shù)乘法時(shí)，為何小數(shù)點(diǎn)不對(duì)齊，而是像整數(shù)乘法一樣末位對(duì)齊呢？

教師先引導(dǎo)學(xué)生筆算小數(shù)乘法，看看能否把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊和相同數(shù)位對(duì)齊進(jìn)行計(jì)算，如2.4×0.85，學(xué)生先把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊和相同數(shù)位對(duì)齊后進(jìn)行計(jì)算。再把第二個(gè)乘數(shù)百分位上的5×2.4，用0.05乘十分位上的4，0.05×0.4=0.02。最后，用0.05 乘個(gè)位上的2，0.05×2=0.1，把它們加起來就是0.05×2.4=0.12。

教師引導(dǎo)學(xué)生用同樣的方法計(jì)算十分位的8×2.4，先用0.8 乘十分位上的4，0.8×0.4=0.32，再用0.8乘個(gè)位上的2，0.8×2=1.6，并把它們加起來，結(jié)果是1.92。0×2.4這步可以省略，因?yàn)?乘任何數(shù)都得0。

學(xué)生把各個(gè)數(shù)位的得數(shù)加起來，得到結(jié)果2.04，這是經(jīng)過四次乘、三次加得到的計(jì)算結(jié)果，說明小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的計(jì)算方法也是可以的。此時(shí)，教師提出核心問題：為什么不選擇把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊進(jìn)行計(jì)算呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察小數(shù)點(diǎn)不對(duì)齊情況，如2.4×0.85 可以把2.4 擴(kuò)大10 倍變成24，把0.85 擴(kuò)大100 倍變成85，這樣兩個(gè)乘數(shù)一共擴(kuò)大了1000倍，把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法24×85，再按照整數(shù)乘法的計(jì)算方法來算，最后把乘積縮小到原來的一千分之一，也就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，得到2.04。如此，經(jīng)過兩次乘、一次加、一次轉(zhuǎn)化，在計(jì)算時(shí)無需用到小數(shù)點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比這兩種方法，學(xué)生總結(jié)出：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊方法用了四次乘法運(yùn)算、三次加法運(yùn)算；而小數(shù)點(diǎn)不對(duì)齊，末位對(duì)齊的方法，進(jìn)行了兩次乘法運(yùn)算、一次加法運(yùn)算。因此，乘法豎式計(jì)算不是不能小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，只是如此一來，簡單的問題過程復(fù)雜化了，而且對(duì)于多位小數(shù)相乘，相應(yīng)的過程會(huì)更加復(fù)雜。

通過上面的例子，學(xué)生可以觀察到，筆算小數(shù)乘法小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的方法過程比較復(fù)雜，而末位對(duì)齊的計(jì)算方法過程更簡單。所以在筆算小數(shù)乘法時(shí)，小數(shù)點(diǎn)一般不對(duì)齊，而是像整數(shù)乘法一樣遵循末位對(duì)齊。

總之，隨著新課改的不斷深入，說理教學(xué)手段逐漸涌現(xiàn)，由于數(shù)學(xué)具有特殊性，說理教學(xué)手段的科學(xué)運(yùn)用對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助說理教學(xué)手段，幫助學(xué)生加深數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)以及內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)和理解，并熟練掌握數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而條理清晰地闡述數(shù)學(xué)道理，強(qiáng)化學(xué)生的綜合能力，從而促進(jìn)學(xué)生的持續(xù)發(fā)展，為學(xué)生未來奠定基礎(chǔ)。