初中解方程問題的障礙分析與對策探索

武言好

【摘 要】解方程問題是初中階段數(shù)學(xué)知識體系中的一大重點內(nèi)容，初中學(xué)生在解方程問題中容易遇到各種障礙。文章從各類型方程的典型題目著手，在具體解題實踐中分析中學(xué)生解方程問題過程中的障礙及成因，探究學(xué)生主要解題障礙類型，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議，以期為一線教師提供參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 解方程 障礙分析 改進策略

【中圖分類號】G623.5? ? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1002-3275（2023）10-42-05

方程問題是初中數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵類型之一，數(shù)學(xué)考試十分重視考查學(xué)生解決方程問題的能力。部分初中學(xué)生不擅長解決方程類的問題，認為這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)十分困難，在解方程問題過程中經(jīng)常遇到各種障礙。影響中學(xué)生掌握解方程方法的原因復(fù)雜多樣，如教師教授時問題講解不透徹、訓(xùn)練不夠等，學(xué)生對概念不理解、存在思維定式等。通過分析解方程案例，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中所遇到的障礙，并提出合理解決方案，更有助于教師把握問題所在，從而幫助學(xué)生突破障礙，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、初中解方程問題障礙分析研究的必要性

（一）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)解題障礙問題的研究受到較多關(guān)注

數(shù)學(xué)是一門高度抽象、邏輯嚴密、應(yīng)用廣泛的學(xué)科，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常會遇到障礙。國外對數(shù)學(xué)解題障礙的研究要追溯到20世紀。“在1925年，Buswell、Judd兩位學(xué)者基于已有的30多項研究對學(xué)生的算術(shù)錯誤進行了一次診斷分析。緊隨其后，德國和蘇聯(lián)等國家也相繼開展了學(xué)生算術(shù)錯誤的有關(guān)研究。后來，由于教學(xué)實際的需要，對數(shù)學(xué)解題錯誤的有關(guān)研究不再局限于計算錯誤，而是不斷將范圍擴大到代數(shù)、幾何等領(lǐng)域。”［1］在這種情況下，障礙歸因分析的重點從數(shù)學(xué)知識本身開始轉(zhuǎn)移到學(xué)習(xí)心理方面。20世紀80年代，國內(nèi)就有學(xué)者對中學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)解題障礙進行了研究，在分析數(shù)學(xué)解題錯誤成因時，從數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系角度去考慮，并逐漸涉及教育學(xué)和心理學(xué)方面。［2］

（二）解方程是初中階段非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容

解方程問題屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的一部分，而應(yīng)用數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)應(yīng)用的有效工具，也是反映學(xué)生基本技能發(fā)展的重要手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，教師常教導(dǎo)學(xué)生使用方程、不等式和函數(shù)來解決問題，這樣有助于學(xué)生形成相應(yīng)的解題應(yīng)用模式并加深對方程的理解，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能的發(fā)展，符合核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。此外，涉及方程的應(yīng)用問題也是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容。

例如人教版七年級上冊和下冊、八年級上冊、九年級上冊數(shù)學(xué)教材都有大量關(guān)于解方程問題的章節(jié)，具體分布情況如表1所示。

解方程問題是中學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，也是對教師教學(xué)具有挑戰(zhàn)性的部分。

（三）關(guān)于解方程障礙問題的研究相對較少

通過文獻檢索發(fā)現(xiàn)，關(guān)于方程的研究很多，但大多集中于比較教材或習(xí)題、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)策略上，而以解方程問題的障礙作為依據(jù)的研究相對較少，只有少數(shù)研究分析特定類型的方程或不等式解題錯誤。筆者通過對實際教學(xué)中的方程問題進行舉例分析，列出初中教材與方程問題有關(guān)的章節(jié)，分別對一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程的典型題目進行分析，根據(jù)具體的題目來分析學(xué)生在解方程問題中所遇到的障礙，并就此分析障礙成因，研究解決對策，從而提出相應(yīng)的教學(xué)建議，以期幫助教師解決教學(xué)難題。

二、初中學(xué)生解方程問題的主要障礙表現(xiàn)

（一）數(shù)學(xué)概念模糊

在數(shù)學(xué)解題過程中，部分學(xué)生對題目相關(guān)的基本概念性質(zhì)存在理解不清、掌握不到位的問題，或是不恰當?shù)剡\用與題目毫無關(guān)系的其他數(shù)學(xué)概念，從而使解題過程產(chǎn)生障礙，無法順利得出正確答案。上述問題在一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程等解題過程中都有所體現(xiàn)，現(xiàn)以一元二次方程問題為例說明。

例題：將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

障礙分析：一元二次方程是等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，其一般形式是[ax2+bx+c=0a≠0]。其中，[ax2]是二次項，a是二次項系數(shù)；[bx]是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。如果學(xué)生未能很好地掌握一元二次方程的概念及其一般形式，就很難作答上述方程概念類問題，不知以何種形式寫出一元二次方程的一般形式，也很難指出一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)等，甚至連項的系數(shù)都無法理解。

在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，有概念性質(zhì)類做題障礙的學(xué)生，大多無法在課堂上集中注意力聽講，容易出現(xiàn)概念性質(zhì)理解錯誤，或者課后未能夠及時地進行學(xué)習(xí)鞏固，從而對概念理解不全面，產(chǎn)生做題障礙。

（二）運算錯誤

部分學(xué)生對運算法則掌握不牢，不清楚運算的數(shù)值，混淆運算的過程規(guī)則，從而出現(xiàn)運算錯誤。

學(xué)生按照規(guī)范的解題步驟運算，這樣的解題格式簡潔美觀，思路清晰，不容易造成計算結(jié)果錯誤。

另外，教師還需強調(diào)在解二元一次方程時注意“代入消元法”和“加減消元法”過程中的符號變化，解分式方程和一元二次方程時，注意檢驗最后的計算結(jié)果是否符合題意。同時在平時的運算練習(xí)過程中，教師要提醒學(xué)生注意運算順序，先乘除后加減，有括號先算括號里的數(shù)。注意運算過程中不要漏寫、抄錯數(shù)字，以及注意計算結(jié)果中小數(shù)點的位數(shù)是否正確，這樣一來就能有效減少由運算障礙導(dǎo)致的解題錯誤。

（三）注重解題步驟，化繁為簡

這一障礙主要是針對一題多解的情況，一題多解的題目往往較復(fù)雜，且包含較多等量關(guān)系，學(xué)生解這類題時應(yīng)嚴格按照解方程問題的一般步驟進行。中學(xué)階段解方程問題的一般步驟包括7個，如圖1所示。

教師應(yīng)在解題指導(dǎo)課以及平時的課堂解題演示中，嚴格遵循解題一般步驟，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好習(xí)慣，讓學(xué)生能輕松地將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程表達式，從而便于學(xué)生找到最優(yōu)解題方法。

（四）合理把控審題速度，抓取關(guān)鍵詞

學(xué)生在審題時應(yīng)學(xué)會通過抓取關(guān)鍵詞來尋找解題思路和方法，可以用筆將關(guān)鍵詞勾畫出來，再聯(lián)系生活實際去理解題目。在課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目時要合理把控速度，不能一味追求解題速度，并通過個人示范和實例有效地引導(dǎo)學(xué)生。如果學(xué)生在讀完題目后仍然很糾結(jié)，可以引導(dǎo)他們關(guān)注實際生活中與之相關(guān)的問題，找到相應(yīng)條件，再回到問題本身，解決問題。此外，教師還可以嘗試開展情境化教學(xué)，即創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活實際貼近的情境，讓學(xué)生在情境中解方程，理解更抽象的含義。在這個過程中，學(xué)生可以從自己的生活中找到參照物，將抽象的概念形象化，充分理解問題的含義。

例如“一個圓的面積是[2πm2]，求它的直徑”，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在審題過程中抓取關(guān)鍵詞“求直徑”。長此以往，引導(dǎo)學(xué)生形成抓取關(guān)鍵信息審題的習(xí)慣，更好地把握題目的數(shù)量關(guān)系和降低審題的難度，從而順利地解題。

（五）鼓勵啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生保持積極的解題情緒

教師在教學(xué)中要以啟發(fā)和鼓勵教育為導(dǎo)向，幫助對做題有心理障礙的學(xué)生走出困境。例如在課堂上開展解題互動，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題障礙，適時為學(xué)生提供支架，引導(dǎo)學(xué)生思考，并向?qū)W生仔細講解解題方法，鼓勵學(xué)生嘗試運用正確方法解題，這樣能有效緩解學(xué)生的畏難情緒。同時讓學(xué)生在解題中發(fā)現(xiàn)運用數(shù)學(xué)知識的樂趣，從而調(diào)動學(xué)生的積極情緒，提升學(xué)生的解題能力。此外，教師需要長期關(guān)注學(xué)生的解題情緒，改進教學(xué)方法，對解題心理障礙較嚴重的學(xué)生，可以遞進式地引導(dǎo)其消除心理障礙，日積月累，讓他們真正成為學(xué)習(xí)的主人。

本文以教材中的方程題目為案例，呈現(xiàn)初中學(xué)生解方程問題時障礙的具體表現(xiàn)，并對其進行成因分析，提出相應(yīng)的改進策略。希望本文中的一些策略和方法能為教師的實際教學(xué)提供參考。

【參考文獻】

［1］李蓉．初中生“方程與不等式”解題中的錯誤分析及對策研究：以甘肅省慶城縣兩所中學(xué)為例［D］．蘭州：西北師范大學(xué)，2020：7.

［2］同［1］8.