建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用
——以《圓柱和圓錐》為例

☉王紅軍

數(shù)學(xué)建模思想通過引領(lǐng)學(xué)生在實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，加深學(xué)生對模型的應(yīng)用能力和對其背后原理知識的深入理解。因此，教師要運用好建模思想，提高學(xué)生的建模意識，提高學(xué)生用建模思想解決日常生活中問題的能力。在建模思維的影響下，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)學(xué)的特點和知識內(nèi)容建立數(shù)學(xué)知識模型，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率。在開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動的過程中，教師應(yīng)注意對教學(xué)方法進行優(yōu)化創(chuàng)新，符合小學(xué)生當(dāng)前階段的學(xué)習(xí)特點，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，引領(lǐng)學(xué)生進入數(shù)學(xué)知識的殿堂［1］。

一、數(shù)學(xué)建模概述

數(shù)學(xué)建模思想是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠透過表象挖掘題目背后的本質(zhì)，并抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以解決實際問題的一種思想。數(shù)學(xué)模型是指提取事物的主要特性和相關(guān)數(shù)量關(guān)系，建立契合的數(shù)學(xué)表達框架。從一個較小的角度來看，數(shù)學(xué)模型反映著特定問題，代表了相關(guān)事物的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是系統(tǒng)中各種變量和關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，主要體現(xiàn)為系統(tǒng)的概念、算法、公式、定理等。

數(shù)學(xué)建模思維的內(nèi)涵特征主要表現(xiàn)在兩個方面：一是對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造建立；一是對數(shù)學(xué)模型的有效應(yīng)用。一般來說，數(shù)學(xué)建模意味著在一般數(shù)學(xué)概念中抽象實際問題，利用當(dāng)前數(shù)學(xué)知識理解數(shù)學(xué)變量和實際變量之間的關(guān)系，從而使用相關(guān)公式解決實際問題。除了基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)之外，教師還要注重培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和應(yīng)用能力，提升學(xué)生的空間思維、應(yīng)用能力和推理水平。通過建模思想引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會簡化數(shù)學(xué)問題，分析其本質(zhì)，總結(jié)其規(guī)律，充分把握數(shù)學(xué)建模的方式方法，以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)理解的熱情和積極性，使教師更好地開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動。

二、數(shù)學(xué)建模的重要意義

（一）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

為了培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，教師要有意識地將生活場景引入課堂，將數(shù)學(xué)知識與日常生活結(jié)合，將理論知識與實踐結(jié)合，幫助學(xué)生構(gòu)建應(yīng)用的思維體系，讓學(xué)生更好地對相關(guān)知識進行消化吸收，提升學(xué)生對枯燥數(shù)學(xué)知識的理解與吸收能力，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和歸納總結(jié)水平，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情與信心。通過對相關(guān)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，將抽象的知識具象為可供理解的數(shù)學(xué)模型，提升師生間溝通理解的效率，增強學(xué)生對知識的接受度。

（二）提升學(xué)生的綜合能力

過去，數(shù)學(xué)教學(xué)更側(cè)重于知識的傳授，對學(xué)生實踐技能的培養(yǎng)有所忽視，這導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展不完全，對信息的提取應(yīng)用能力較弱。在建模思維的影響下，學(xué)生要學(xué)會合理運用建模思想，提升思維的全面性，在面對問題時更加全面具體地思考，深入理解其中內(nèi)涵，充分利用好建模思想，學(xué)會利用模型構(gòu)建思考問題的方式方法，并將其綜合應(yīng)用到日常生活中，提升解決問題的能力。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

數(shù)學(xué)建模思想大大提高了學(xué)生的科學(xué)研究和創(chuàng)新能力，學(xué)生在解決問題的過程中努力思考解決方案，在既有理論的基礎(chǔ)上嘗試改革創(chuàng)新，探求全新的解決方法。充分利用發(fā)散思維，形成思考和嘗試問題的良好習(xí)慣，有助于學(xué)生未來的發(fā)展與研究。

三、數(shù)學(xué)建模的基本過程

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，挖掘建模本質(zhì)

學(xué)生只有積極學(xué)習(xí)和探索，才能實現(xiàn)能力的發(fā)展和突破。教師主要引導(dǎo)學(xué)生從題目中提取出有效信息，抓住問題本質(zhì)，逐步培養(yǎng)學(xué)生從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力。同時，教師應(yīng)注重學(xué)習(xí)情境的構(gòu)建，使學(xué)生盡可能在開放、充滿活力的教育環(huán)境中，在快樂、輕松的氛圍中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展他們的視野。為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重沉浸式課堂的構(gòu)建，引領(lǐng)學(xué)生從日常生活中汲取數(shù)學(xué)養(yǎng)料，從問題情境中培養(yǎng)學(xué)生抽象概括一般數(shù)學(xué)模型的能力，同時，在熟悉的情境展開推理和抽象，便于學(xué)生吸收理解知識，在生活情境和數(shù)學(xué)模型之間形成有效的聯(lián)系，逐步提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力［2］。

【教學(xué)片段1】

學(xué)生在引導(dǎo)下提取出以下信息：

1．小麥堆是圓錐體

2．小麥堆底面周長18．84米，高1 米

3．糧囤是圓柱體，且底面直徑3 米

4．將小麥倒入糧囤，正好全部倒?jié)M

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)整合出了所有的已知條件，請同學(xué)們告訴我，你能組合出哪些問題呢？

生1：信息（1）和（2）結(jié)合起來，就可以求出小麥堆的全部信息了。

生2：第（4）條信息表達的意思其實是小麥的體積和糧囤的容積相等。將四條信息綜合起來，就可以求出圓柱的所有信息了。

師：那么，大家能進一步發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)嗎？

生1：圓錐的體積公式＝1/3底面積×高。我們不知道底面積，但我們有圓的周長。通過周長可以求出圓的半徑，進而求出圓的面積和圓錐的體積。

生2：圓錐和圓柱的體積相等，唯一的未知量是圓柱的高。上一個同學(xué)求出的圓錐的體積，直接除以圓柱的底面積就可以求得圓柱的高了。

教師引導(dǎo)學(xué)生提煉概括信息，把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，代入公式與符號，建立相關(guān)模型；把生活中的情境問題抽象成圓錐圓柱相關(guān)的體積、面積問題，讓學(xué)生在思考解題步驟的過程中發(fā)掘問題本質(zhì)，找出相關(guān)規(guī)律，提高建模能力。

（二）把握內(nèi)部規(guī)律，培養(yǎng)建模意識

對于呈現(xiàn)內(nèi)容較為零散和復(fù)雜的教科書，小學(xué)生較弱的抽象思維能力不足以支撐起他們根據(jù)教科書上的描述分析更深層次的信息，也無法有效調(diào)動他們的數(shù)學(xué)建模思維。因此，教師必須深入挖掘教材，合理組織教科書內(nèi)容，將知識以更有規(guī)律性的方式呈現(xiàn)出來，提高學(xué)習(xí)材料的邏輯性，以便學(xué)生能通過學(xué)習(xí)材料，分析建立起知識之間的聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)建模能力。鼓勵學(xué)生有意識地探索數(shù)學(xué)知識，學(xué)會從材料中抽象出實際的數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)片段2】

師：同學(xué)們，如果題目不告訴我們“將小麥倒入糧囤，正好全部倒?jié)M”這一條件，我們能求出圓柱體糧囤的高嗎？

生1：不可以，還缺少一個條件。

生2：想要求圓柱的高，需要圓柱的體積、底面積兩個條件。根據(jù)圓柱的直徑，可以推得圓柱的底面積。但是，由于不知道圓柱的體積，我們還是無法求出圓柱的高。

師：那么現(xiàn)在請同學(xué)們仔細想一想，我們只要知道哪些條件，就能求出圓柱和圓錐的相關(guān)信息呢？

生3：我明白了，對于圓柱和圓錐問題，只要知道底面積、高、體積三個中的任意兩個，就可以求出第三個未知量。其中，底面積可以用圓的半徑、直徑、周長任意一個信息替換，所表達的意思其實是一樣的。

【教學(xué)片段3】

師：那么，如果把條件更換為圓柱和圓錐的底面積相同，其他條件不變，根據(jù)我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可以求出圓柱的高嗎？

生：可以。

師：不用筆計算，有沒有同學(xué)能在1 秒鐘之內(nèi)給我答案？不要覺得這不可能，仔細觀察一下圓錐與圓柱的體積公式，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：我知道了！圓柱與圓柱等底面積等體積時，圓錐的高是圓柱的3 倍，只需要將圓錐的高除以3，就是題目的答案。

通過引導(dǎo)學(xué)生分析條件背后隱藏的規(guī)律，學(xué)生經(jīng)由自己的思考和努力挖掘出了同類型題目的做題方法和圓錐、圓柱關(guān)系轉(zhuǎn)換的幾個重要結(jié)論，不僅對知識的記憶更加牢靠，對知識的理解程度也會更加深刻。在一步一步抽絲剝繭的過程中理清思路，在腦海中建立清晰的數(shù)學(xué)模型，這樣，無論題目如何變化，學(xué)生都能夠迅速切中其要害，完成解題過程。

（三）引入實踐活動，探索建模過程

素質(zhì)教育要求教育以學(xué)生為中心。教師作為學(xué)生教學(xué)活動的引領(lǐng)導(dǎo)師和知心助手，應(yīng)充分發(fā)揮其作用，優(yōu)化教學(xué)方式方法，幫助學(xué)生建立建模思想，引導(dǎo)學(xué)生在實踐中仔細觀察，積極發(fā)掘其中問題，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題的能力和意識，讓學(xué)生面對難題勇于嘗試，耐心思考，不畏困難；與老師和同學(xué)大膽討論，積極交流，通過自己的實踐建立模型，充分理解一般與特殊的關(guān)系并將其內(nèi)化，真正學(xué)會用模型解決實際問題，形成終身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【教學(xué)片段4】

師：要把一塊長5 厘米、寬3厘米、高4 厘米的鐵塊，熔鑄成底面積為6 平方厘米的圓柱體。那么，圓柱體的高是多少？

生1：這個題和上題的思路一樣，熔鑄就說明兩者的體積是一樣的。知道了體積和底面積，可以完成高的求解。

生2：先求長方形的體積＝長×寬×高，再除以題目給出的底面積，就可以得到答案，圓柱的高：（5×3×4）÷6 ＝10（厘米）。

師：如果是求圓錐的高呢？

生1：根據(jù)公式列式子，圓錐的高：（5×3×4）÷6×3 ＝30（厘米）。

生2：也可以直接運用結(jié)論，將圓柱的高乘以3，快速得到答案。

師：同學(xué)們說得都對。如果將題目變化一下，想要將鐵塊熔鑄成等高的圓柱和圓錐，那么，它們的底面積會有什么關(guān)系呢？

生3：體積依然相等，高不變，根據(jù)公式，圓錐的底面積是圓柱的3 倍。

師：我相信，一定有同學(xué)被這些數(shù)量關(guān)系弄迷糊了?，F(xiàn)在請同學(xué)們拿出一張紙，親自動手折一折，感受一下其中的奧秘。

如果只是讓學(xué)生單純記背相關(guān)結(jié)論，學(xué)生印象不深，而且極其容易記混記錯，一旦出現(xiàn)問題很難糾正。教師要引領(lǐng)學(xué)生理清做題思路，通過多次的數(shù)據(jù)變換加深練習(xí)，幫助學(xué)生形成直接經(jīng)驗，完成初步的模型構(gòu)建。隨后，引領(lǐng)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)問題進行總結(jié)分析，通過進一步的實踐，完善模型的構(gòu)建。除了直接套用公式做題以外，學(xué)生還可以在實際動手操作的過程中這樣理解：圓錐比較瘦小，如果想和圓柱在等體積的情況下等底面積，就需要長個“高個子”；如果想和圓柱在等體積的情況下等高，作為支撐的底面積就要大一些。如果條件允許，教師還可以在多媒體上演示圓柱和圓錐的變化過程，以更直觀的演示加深學(xué)生對知識的理解吸收。通過對實際的數(shù)學(xué)模型進行合理構(gòu)建，能夠加深學(xué)生的印象，讓學(xué)生在實踐過程中親身感受數(shù)學(xué)建模思維的方便與快捷，感受數(shù)學(xué)建模的魅力。

（四）拓展提升能力，提煉建模思想

隨著年級的提高，對數(shù)學(xué)建模思維的要求也越來越嚴格。因此，在學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題后，教師要注重回顧反思的重要意義，指導(dǎo)學(xué)生概括提煉解題思路，探索其中內(nèi)在規(guī)律，總結(jié)做題方式方法，促進學(xué)生深度思考，進一步提升學(xué)生建模能力。

【教學(xué)片段5】

師：現(xiàn)在難度升級，請同學(xué)們聽題：有一個圓錐形的小玩具，需要放進圓柱形水池中清洗，水面升高了4 厘米，水池的底面積是30 平方厘米。那么，玩具的體積是多少？

師：這道題目涉及圓柱和圓錐，看似只給了兩個不知如何下手的數(shù)據(jù)，但其實，題目中隱藏了許多有效信息。請同學(xué)們結(jié)合生活實際，揣摩一下題目的意思，告訴我你的解題思路。

生1：水溢出的部分應(yīng)該就是玩具的體積，但題目只給了水升高的數(shù)據(jù)。

生2：其實，問題應(yīng)該轉(zhuǎn)化為求升高部分圓柱的體積。水升高的4 厘米就是圓柱的高，底面積題目已經(jīng)告知，應(yīng)用體積公式就可以輕松計算出來了。

師：題目看似復(fù)雜，只要讀明白題意，所有的問題就都迎刃而解。對于數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，同學(xué)們有什么心得體會？

生：我發(fā)現(xiàn)，不管題目條件怎么變，問法怎么變，就是幾個模型來來回回換不同的“新衣服”而已。只要把握住模型，萬變不離其宗，再難的題目都有法可解。

師：是的，看來同學(xué)們已經(jīng)理解了建模思想的內(nèi)涵。在今后的學(xué)習(xí)生活中，也要注重建模思想的應(yīng)用，簡化數(shù)學(xué)問題，提高解題能力。

通過練習(xí)，學(xué)生充分感悟到數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用的便利之處，切實體會到建模思想的獨特優(yōu)勢。無論是公式推導(dǎo)、數(shù)學(xué)計算的應(yīng)用，還是小學(xué)數(shù)學(xué)的實踐，數(shù)學(xué)建模的理念都是不可分割的。將數(shù)學(xué)建模理念融入教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量，通過培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，讓學(xué)生充分意識到建模思想的簡單性和實用性，使學(xué)生養(yǎng)成使用數(shù)學(xué)建模來進行問題解決的良好習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)效率［3］。

四、總結(jié)

為了進一步激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模技能，教師要著力展開培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，抓住典型例題，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象概括出一般模型，提升學(xué)生觀察分析問題的能力，總體規(guī)劃學(xué)生的發(fā)展路徑，喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機。教育工作者要改變傳統(tǒng)觀念，不僅要重視學(xué)生的理論知識學(xué)習(xí)，還要注重在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對學(xué)生展開數(shù)學(xué)建模思想的貫徹與滲透，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，構(gòu)建完善的知識體系框架和結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)建模能力。