尋結構之表 育素養(yǎng)之里
——以蘇科版數(shù)學九（上）“二次函數(shù)”章首課教學設計為例

■楊麗華

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，不僅要整體把握教學內(nèi)容之間的關聯(lián)，還要把握教學內(nèi)容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關聯(lián)。”教師要注重教學內(nèi)容的結構化，重視單元整體教學設計，改變過去以課時為單位的教學設計，促進學生對數(shù)學教學內(nèi)容的整體理解與把握。鑒于此，筆者以蘇科版九（上）“二次函數(shù)”章首課為例，以促進學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的培育和發(fā)展為目的，進行了單元整體教學的設計和實踐。

一、學情分析

一次函數(shù)、反比例函數(shù)分別是八（上）第六章、八（下）第十二章的教學內(nèi)容，通過一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學習，學生積累了豐富的函數(shù)學習經(jīng)驗，具備了一定的函數(shù)學習的基本能力，對初中函數(shù)“變量說”“建模意識”有了一定的認知，為“二次函數(shù)”的學習奠定了基礎。

二、教學目標

通過實際情境，直觀地感知并抽象出量與量之間的函數(shù)關系，理解二次函數(shù)的概念及一般形式；通過類比已學函數(shù)的研究方法和經(jīng)驗，學習二次函數(shù)，整體建構本單元的知識脈絡和研究方法。

三、教學過程

1.立足教材，重構情境

問題學校打算用16 米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大？

預設1請找出問題中蘊含的量以及量與量之間的關系。

設計意圖：學生容易感知已知量、長與寬的和為8、面積等于長乘寬，但較難感知量與量之間的關系，尤其看不出面積與邊長的函數(shù)關系，需要教師加以引導。本問題從學生熟悉的情境引入，貼合學生的心理需求，能激發(fā)學生的好奇心，讓學生帶著懷疑的眼光，重新審視教師的意圖。結構不良型問題有利于拓展學生的思維寬度，結合教師的啟發(fā)和引導，能幫助學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達式，并通過設未知數(shù)來簡化文字表述，從而幫助學生用數(shù)學的眼光來看待實際問題。

預設2請用列表的方式，列舉出整數(shù)解的情況，并進行觀察、發(fā)現(xiàn)。

學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)，得到初步結論：當一邊長為4時，面積的最大值為16。但所列舉的數(shù)據(jù)沒有包含全部數(shù)據(jù)。教師追問，如果把“16米長的籬笆”改成“18米長的籬笆”，情況又會是什么樣的呢？

設計意圖：學生再次列表（如表1），發(fā)現(xiàn)表格中的最大數(shù)值20 不是正確答案，從而體會列舉法的局限性。于是，教師引導學生尋找量與量之間的變化規(guī)律，帶領學生回想哪個知識是刻畫量與量之間關系的。學生容易想到是函數(shù)，通過設一邊為x，面積為y，得到函數(shù)關系y=x（9-x）。由此，體現(xiàn)了學習二次函數(shù)的必要性，解決了“為什么學”的問題。

表1

2.異中求同，形成概念

在學生明確了“為什么學”的基礎上，需要讓學生明白“學什么”，也就是學習二次函數(shù)的概念。而概念教學離不開現(xiàn)實情境，通過不斷抽象變量與變量之間的關系，將實際問題抽象成數(shù)學問題，并通過比較、類比加以解決。

預設3請寫出以下實際問題中量與量之間的函數(shù)表達式。

（1）南京到上海全程約300km，一輛汽車從南京出發(fā)，勻速駛向上海。a.寫出汽車全程所用時間t（h）與勻速行駛速度v（km/h）之間的函數(shù)表達式；b.若汽車勻速行駛的速度為100 km/h，寫出汽車距離上海的路程S（km）與行駛的時間t（h）之間的函數(shù)表達式。

（2）水滴激起的波紋不斷向外擴展，寫出所形成的面積S與半徑r之間的函數(shù)表達式。

（3）一面長與寬之比為2∶1 的矩形鏡子，四邊鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120 元，邊框的價格為每米30 元，加工費為45 元，寫出總價y（元）與鏡面寬x（m）之間的函數(shù)表達式。

（4）正方形包裝盒的棱長為a（cm），寫出正方體包裝盒的體積v（cm3）與棱長a（cm）之間的函數(shù)表達式。

設計意圖：借助等量關系，學生可以寫出相應表達式。在此基礎上，學生通過分類、辨析，找出哪些是熟悉的函數(shù)，哪些是陌生的函數(shù)。當學生將這些不同的函數(shù)進行分類后，心里自然有了一個標準，再類比一次函數(shù)的命名方式，得出二次函數(shù)的定義。

預設4（1）請判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)。如果是，寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：y=x2-x+1，y=3x-1，y=

（2）寫出一個二次函數(shù)的表達式，讓同桌判斷其是否是二次函數(shù)，并指出哪些是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

設計意圖：再次辨析二次函數(shù)，加強對二次函數(shù)概念、各項系數(shù)的理解。學生通過自己出題，同伴解答，鞏固對概念的掌握，明確二次函數(shù)定義的組成要素；體會引入二次函數(shù)的實際背景，探索實際問題中兩個變量之間的數(shù)量關系，通過寫函數(shù)表達式的過程，感受將實際問題數(shù)學化的基本方法。

3.類比提煉，形成框架

單元教學設計關鍵在于讓學生形成知識框架，而知識框架的形成來源于同一類知識研究的路徑與研究方法。對二次函數(shù)而言，它的前置知識是一次函數(shù)和反比例函數(shù)。學生對此有了一定經(jīng)驗，可以通過類比教學，形成知識框架。

預設5與一次函數(shù)一樣，研究了二次函數(shù)的定義之后，我們還要研究二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及應用。請利用表1 的數(shù)據(jù)，通過描點的方式，嘗試畫出函數(shù)圖像。

設計意圖：利用所畫圖像的性質(zhì)，很好地解決了課前提出的問題。問題始終圍繞一個情境展開，貫穿整個教學過程。知識主線將知識體系串成一線，方法主線使學生形成一般經(jīng)驗。

4.立足本質(zhì)，尋根溯源

對于函數(shù)而言，列表、函數(shù)表達式、函數(shù)圖像都能客觀反映同一個函數(shù)，都刻畫了量與量之間的對應關系。

預設6對于以下三種形式：列表（表格略）、表達式y(tǒng)=x（9-x）、圖像（圖像略），你能看出每種形式中變量的對應關系嗎？

預設7尋找其中兩種形式間的相互關系。

表格與函數(shù)表達式的相互關系，主要是待定系數(shù)法的相關應用；表格與圖像之間的關系，主要是“點”與“形”的相互轉化；函數(shù)表達式與函數(shù)圖像是研究的重點，圖像可以說明函數(shù)的性質(zhì)特征，函數(shù)表達式的不同形式可表征圖像的具體特點。

設計意圖：二次函數(shù)作為初中階段代數(shù)部分的最后一個環(huán)節(jié)，與數(shù)、式、方程、不等式之間都有關聯(lián)，更加深刻地刻畫了量與量之間的對應關系、數(shù)與形之間的內(nèi)在關系，對學生的思維寬度和廣度提出了更高的要求。根據(jù)三種函數(shù)的表示方式，提煉函數(shù)的本質(zhì)特征，讓學生逐步學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。

四、教學思考

1.結構化導圖是建構知識整體性的有效手段

“建構”指建立和構造關于新知識認知結構的過程?！敖ⅰ币话阒笍臒o到有的興建，“構造”則指對已有的材料、結構、框架加以調(diào)整、整合或者重新組合。主體對新知識的學習，同時包括建立和構造兩個方面，既要建立對新知識的理解，將新知識與已有知識建立恰當?shù)穆?lián)系，又要將新知識與原有的認知結構相互結合，構造新的認知結構。

從知識結構上看，結構化導圖能直觀展示知識間的相互關聯(lián)；從路徑結構上看，結構化導圖能客觀地厘清知識的研究方法與研究路徑，基于初中各階段函數(shù)的學習，形成一般觀念。教師有意識地進行結構化系列性滲透，在知識體系和數(shù)學體驗中，更有利于學生拓展思維水平，提高數(shù)學核心能力，形成對客觀世界認識的一般觀念。

2.單元化教學是提升學生核心素養(yǎng)的有效途徑

單元教學是對內(nèi)容及其反映思想的進一步提煉和概括，是研究對象的方法論，以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目標，以“大概念”為引領，用全局的觀點優(yōu)化知識結構，鼓勵學生充分表達與交流，幫助學生獲得“四基”，發(fā)展“四能”，從而形成核心能力。

在實際單元教學中，首先要避免單元概念的泛化，避免將非主干的知識技能、解題技巧作為學習單元，避免過度總結解題模型，要有“破”模型的意識?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》中提到的建模意識，是思考問題、解決未知世界的一種思維方式，但教師不應以解題模型固化思維，阻礙學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成。其次，單元教學除了知識的結構化、研究方法的結構化，更需要思維的結構化，因為思維的結構化才是單元教學的精髓。“單元”是落實素養(yǎng)目標的錨點，更是撬動課堂轉型的支點，進而實現(xiàn)為素養(yǎng)而教。