化歸思想在高中數(shù)學解題中的應用研究

摘 要：化歸思想是一種常用的數(shù)學學習思想，借助該思想，學生能夠快速找到題目的本質，借助有效解題方式，提高數(shù)學學習效率.高中數(shù)學解題中滲透化歸思想，可以讓數(shù)學問題之間產生相互轉化的效果，從而降低問題的求解難度，這對于學生解題能力的提升有著非常重要的作用.基于此，本文就從不同角度詳細闡述了化歸思想在高中數(shù)學解題中的具體應用措施，希望能夠為相關教師帶來幫助.

關鍵詞：化歸思想；高中數(shù)學；解題教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）24-0008-03

收稿日期：2023-05-25

作者簡介：郭瓊梅（1978.6-），女，福建省泉州人，本科，中學一級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

高中教師應當根據(jù)每個學生的不同情況，為學生詳細講解各種數(shù)學思想，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通、融會貫通的能力，借助化歸思想，學生會養(yǎng)成不斷反思、善于總結的學習習慣，且教師也會在該思想的引導下持續(xù)關注學生的學習過程，有助于調整教學模式.

1 化歸思想的原則

1.1 熟悉化原則

在實際的解題中，運用化歸思想，應該是根據(jù)以往解題經(jīng)驗為基礎，與同種類型的數(shù)學題相結合，將其轉化成已知量，找到問題的解答思路，教師都應當引導學生通過總結和反思找到應用的優(yōu)勢，并讓學生將這些優(yōu)勢內化于心，外化于行.

1.2 簡單化原則

在高中數(shù)學解題過程中，應用化歸思想，其目的是簡化數(shù)學題目，將數(shù)學題目相關的信息進行提煉，實現(xiàn)數(shù)學題目的簡化，將無價值或者干擾信息剔除，避免解題環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤.

1.3 逆反性原則

化歸思想的應用不僅可以單獨進行，也可以與其他方法融合使用，如逆向思維，教師讓學生根據(jù)問題向前推導，總結已知信息之間的關系，也可以達到快速解答問題的目的.

2 化歸思想在高中數(shù)學解題中的應用措施

2.1 實現(xiàn)動和靜之間的轉化

化歸思想的主要內容就是動和靜之間的關系，通常在函數(shù)解題中就要借助化歸思想，找到各種變量之間的關系，并構建正確的數(shù)學模型.在該數(shù)學模型中，學生也會對某一數(shù)值的運動以及變化規(guī)律進行深度探究，再借助相關的函數(shù)知識，提煉出各種變量之間的關系，最終把各種靜態(tài)問題直接轉化成動態(tài)關系，站在不同的角度，找到函數(shù)問題的解答方法^［1］.

例如，在以下例題中，試著比較log₃1/2和log₃5的大小，教師就可以引導學生使用化歸思想.首先，把靜態(tài)的知識轉化成動態(tài)的函數(shù)，讓學生了解兩個數(shù)學式的靜止狀態(tài)，然后通過使用化歸思想，轉化成對數(shù)函數(shù)f（x）=log₃x，這樣，學生將兩個數(shù)學式視為函數(shù)自變量對應的函數(shù)值，完成數(shù)值之間的轉換，學生再根據(jù)對數(shù)函數(shù)f（x）=log₃x在定義域（0，+∞）上單調遞增的特點，就可以對兩個數(shù)值做出正確的判斷.

2.2 實現(xiàn)數(shù)與形之間的轉化

數(shù)學知識的學習通常會涉及到數(shù)字和圖形之間的轉化，化歸思想中的特別形式也是指代數(shù)和圖形之間的巧妙轉化和結合，這樣能夠讓學生把各種抽象的問題轉化為直觀形象的問題，便于學生的理解和掌握^［2］.

例如，在學習函數(shù)y=3sinx和函數(shù)y=12-x中，當x的取值范圍在［-1，5］，那么兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標和是.

分析該題可發(fā)現(xiàn)，該題需要求出兩個函數(shù)在特定區(qū)間的交點.教師也會發(fā)現(xiàn)，如果只采用傳統(tǒng)的教學方式，如利用兩個函數(shù)相等構建相應的方程、分式和三角函數(shù)形式，會加大學生的運算量，甚至還會讓部分學生出現(xiàn)難以正確解答的問題.此時，教師可以發(fā)揮化歸思想的優(yōu)勢，再融合數(shù)形結合思想，借助圖形分析數(shù)量關系，并畫出具體的函數(shù)圖象，如下圖1所示.學生通過觀察區(qū)間［-1，5］上的圖象會發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)圖象一共有6個交點，并關于（2，0）成三組對稱關系，因此可得出，（2，0）是每組對稱點的中點，學生就可輕松求出橫坐標.

2.3 實現(xiàn)等價和非等價之間的轉化

化歸思想中等價轉化和非等價轉化也屬于常見的形式，使用等價轉化時，需要對題目中的各種因素進行了解，這樣才能夠保證轉化的正確性.通常情況下，學生在解決翻折、對稱的題型時，需要借助曲直轉化思想，通過將立體圖形轉換成平面圖形，降低解題難度.

例如，在以下例題中，在直三角柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA是直角，M是A₁B₁的中點，N是A₁C₁的中點，若CC₁=CA=BC，求BM和AN所成角的余弦值是.

在解答該道題目時，學生首先會對題目中的已知條件進行分析，然后再使用化歸思想進行轉化.首先將整個直三棱柱補充為正方體，然后借助向量法求出異面直線的夾角.再根據(jù)∠BCA為直角這一特點得出，該三棱柱為直三棱柱，且滿足CC₁=CA=BC的關系，接著繼續(xù)構建空間直角坐標系，如下圖2所示.為了讓計算更加方便，可假設正方體的棱長是2，此時得出點A，B，M，N的坐標，然后再根據(jù)坐標寫出向量BM和向量AN的坐標，這樣就會順利求解BM和AN夾角的余弦值.

需要注意的是，整個過程中雖然有教師的引領，學生順利利用化歸思想進行等價轉化，但教師依舊要向學生強調邏輯準確的重要性，必要的時候結合相關概念，將其轉化并順利求解.

2.4 實現(xiàn)一般和特殊之間的轉化

高中數(shù)學解題過程中，通常會遇到很多有難度的題，在這樣的題目解答中，學生需要使用化歸思想，從特殊向一般轉化，如特殊值，特殊情況等，再根據(jù)題目中的各種已知條件找到特殊值存在的情境^［3］.

在解答該題目的過程中，學生要仔細分析題目中所包含的已知條件，然后可得出，坐標系所圍成的圖形面積是確定的，因此該圖形的面積和點P位置沒有任何關系，這樣就可以在解題過程中把P點看做是任意值，然后確定P點的特殊位置，最后根據(jù)函數(shù)式中a和b的值，求出圖形的面積.

2.5 化虛為實，強化學生的化歸思想

化歸思想的正確運用離不開學生的正確解讀，如果學生對化歸思想的內涵無法做到深度了解，在具體使用中，也會出現(xiàn)各種問題.為此，課堂上教師就應當為學生多多展示使用化歸思想的各種案例，讓學生通過不斷訓練，達到強化理解的目的.

綜上所述，在教育改革力度不斷加大的當下，培養(yǎng)學生的綜合能力已經(jīng)成為高中數(shù)學教學中的基本目標.高中數(shù)學教師首先應當意識到課堂上為學生講授化歸思想的重要性，然后要借助各種各樣的例題，使學生在不斷變化的訓練中，強化對化歸思想的理解，實現(xiàn)綜合能力的發(fā)展.

參考文獻：

［1］ 趙建方.化歸思想在高中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)學教學通訊，2020（21）：72-73.

［2］ 蔡娟蘭.淺議化歸思想在高中數(shù)學解題過程中的應用［J］.黑河教育，2020（7）：18-20.

［3］ 任思強.化歸思想在高中數(shù)學解題過程中的應用分析［J］.魅力中國，2020（5）：262-263.

［責任編輯：李 璟］