常微分方程建模案例在教學(xué)實(shí)踐中解決實(shí)際問題的探討與研究

吉莉霞，劉子輝

（鹽城幼兒師范高等專科學(xué)校，江蘇 鹽城 224000）

常微分方程在大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)中屬于基礎(chǔ)性課程，也是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的后繼課程[1].在學(xué)習(xí)常微分方程時(shí)，學(xué)生很難將其應(yīng)用在實(shí)際生活中，從而使得學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性不高.在這種背景下，須加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，這樣需將常微分方程教學(xué)和數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行結(jié)合，使學(xué)生通過計(jì)算機(jī)提高解決實(shí)際問題的能力[2]．常微分方程是研究自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的基本數(shù)學(xué)理論和方法，在航空航天、物理化學(xué)、金融經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，許多現(xiàn)象都能用微分方程對(duì)其規(guī)律或原理進(jìn)行描述[3-5]，例如牛頓萬有引力定律、運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、人口發(fā)展規(guī)律等[6].常微分方程與數(shù)學(xué)模型、高等代數(shù)等課程都有密切的相關(guān)性[7]，是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中重要組成部分，常微分方程理論體系嚴(yán)謹(jǐn)，其抽象程度比較高，在講授時(shí)要與實(shí)際應(yīng)用背景相結(jié)合，才能更好地實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)目標(biāo).

在教學(xué)中，選取基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，結(jié)合范例內(nèi)容舉一反三，可以幫助學(xué)生掌握知識(shí)規(guī)律.在實(shí)際應(yīng)用中，借助常微分方程范例教學(xué)解釋現(xiàn)實(shí)中的現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)未來的發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐、社會(huì)生活具有指導(dǎo)意義.

綜上所述，本文基于常微分方程數(shù)學(xué)模型，對(duì)其在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)解決實(shí)際問題進(jìn)行了研究.

1 常微分方程解決實(shí)際問題的建模案例

1.1 傳染病模型

傳染病在人類歷史上始終威脅人類的健康，盡管科技不斷發(fā)展，在一定程度上控制了肆虐全球傳染病，然而環(huán)境也隨著科技的發(fā)展而不斷惡化，出現(xiàn)一些變異的、新型的傳染病毒.傳染病的類型差異，會(huì)表現(xiàn)出不同的傳播過程，對(duì)于常微分方程課程教學(xué)時(shí)，基于一般傳播激勵(lì)構(gòu)建傳染病微分方程模型，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題得以解決.

假設(shè)Ⅰ：保持總?cè)藬?shù)不變，用N表示，構(gòu)建SIR 模型，即用病人、健康者、病愈具有免疫力移出者劃分不同的人群，t表示時(shí)間，分別用I(t)、S(t)、R(t)標(biāo)記三類人的比例；

假設(shè)Ⅱ：日治愈率用μ表示，病人日接觸率用β表示，傳染期平均接觸數(shù)用σ=βμ-1表示.

根據(jù)假設(shè)Ⅰ，有S(t) +I(t) +r(t) = 1；根據(jù)假設(shè)Ⅱ，分析移出者、病人改變量，則有，其中dI/dt 表示t 時(shí)刻的病人的微分方程，dR/dt 表示t 時(shí)刻的病愈者的微分方程，結(jié)合初始條件則有公式（1）：

公式（1）的模型為Mc Kendrick、Kermack 的SIR 模型，幫助學(xué)生用常微分方程轉(zhuǎn)化實(shí)際問題，充分發(fā)揮一元微分學(xué)知識(shí)的作用．通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica、Matlab 等進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、圖示、推理，從而將課堂教學(xué)效果提高．通過給學(xué)生布置一些相關(guān)作業(yè)，讓其通過數(shù)學(xué)軟件、計(jì)算機(jī)對(duì)微分方程進(jìn)行求解，并對(duì)解的實(shí)際意義進(jìn)行分析．例如對(duì)于公式（1），利用微積分知識(shí)無法將S(t)、I(t)的解析解求出．但可通過Matlab 將相軌線、數(shù)值解畫出，圖1 為SIR 模型的相軌線，圖2 為SIR 模型數(shù)值解.

圖1 SIR 模型的相軌線圖

圖2 SIR 模型的數(shù)值解

通過圖形可視化，可將數(shù)學(xué)問題翻譯成實(shí)際問題，由圖2 知，，即全部病入最終會(huì)治愈；時(shí)，I(t) 先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減為零；若，I(t) 則單調(diào)遞減為零．所以將會(huì)出現(xiàn)閾值，為一個(gè)閾值．由σ-1意義知，將衛(wèi)生醫(yī)療水平提高，可使傳染病蔓延得到延緩.

1.2 經(jīng)濟(jì)調(diào)整問題

在數(shù)學(xué)專業(yè)中，高校普遍將金融數(shù)學(xué)作為重要培養(yǎng)方向．所以，數(shù)學(xué)建模與金融和經(jīng)濟(jì)之間的關(guān)聯(lián)是非常緊密的，且受到社會(huì)各界的廣泛關(guān)注.在研究經(jīng)濟(jì)調(diào)整問題模型的過程中，要深入討論經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定條件與消費(fèi)、產(chǎn)值、誘發(fā)投資的關(guān)聯(lián)．由于假設(shè)投資函數(shù)為線性增長(zhǎng)函數(shù)，因此一般會(huì)將線性微分方程模型作為經(jīng)濟(jì)調(diào)整微分方程模型．但由于實(shí)際資源的限制，需修正原有模型，模型修正后為非線性微分方程，此時(shí)要基于微分方程穩(wěn)定性討論經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定條件，模擬修正微分方程的數(shù)值[8]．從模型建立、模型修正到理論分析，再進(jìn)行數(shù)值仿真與模擬[9]，激發(fā)并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想．對(duì)于三部門經(jīng)濟(jì)體模型的建立過程中，產(chǎn)值構(gòu)成為投資、消費(fèi)、政府購(gòu)買總和，設(shè)定消費(fèi)為C(t)，實(shí)際發(fā)生產(chǎn)值為x1(t)，誘發(fā)投資為I(t)，政府購(gòu)買用A表示，通常情況下，政府購(gòu)買比較穩(wěn)定，具體見公式（2）：

公式中，投資系數(shù)用v表示；k、λ為常數(shù)，均大于零．用實(shí)際產(chǎn)值增長(zhǎng)的線性函數(shù)來表示計(jì)劃誘發(fā)投資函數(shù)，即計(jì)劃誘發(fā)投資將隨著實(shí)際產(chǎn)值的增加而增加，這屬于線性系統(tǒng)，借助常微分方程知識(shí)，可讓學(xué)生求出產(chǎn)值x1(t)，進(jìn)一步深入的討論相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)意義．但由于實(shí)際資源的限制，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生修正模型（3），假設(shè)計(jì)劃誘發(fā)投資項(xiàng)為飽和非線性函數(shù)，見公式（4）所示：

其中：a為正常數(shù)．這時(shí)對(duì)應(yīng)的模型變成非線性模型：

采用初等積分法不能直接將解式求出，可引導(dǎo)學(xué)生使用穩(wěn)定性工具、微分方程進(jìn)行定性分析，通過這個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)案例，會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)這部分理論的積極性．對(duì)公式（5）中的第二個(gè)方程兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，并將第一個(gè)方程代入，得到公式（6）：

公式（6）是二階常系數(shù)非線性常微分方程，基于常微分方程的可轉(zhuǎn)化性，能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為一階微分方程組，詳見公式（7）所示：

在求解方程組（7）時(shí)不適用特征值方法，引導(dǎo)學(xué)生在分析平衡點(diǎn)性態(tài)時(shí)充分融合微分方程定性和穩(wěn)定性，求出平衡點(diǎn)為系統(tǒng)（7）的唯一解，在處得到一階近似系統(tǒng)如下：

將系統(tǒng)（8）的對(duì)應(yīng)特征方程的特征根求出，如下所示：

根據(jù)常微分方程定性理論，在σ=k+λs-(kλ v a)≥ 0 時(shí)，平衡點(diǎn)穩(wěn)定，因而，當(dāng)σ2- 4 Δ ＜0，σ＞0 時(shí)，穩(wěn)定焦點(diǎn)為；當(dāng)σ2- 4Δ ≥ 0，σ＞0 時(shí)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為；當(dāng)σ= 0 時(shí)，，穩(wěn)定中心為E( A s , 0 ).

在λ≥ 0 時(shí)，需通過政策鼓勵(lì)將市場(chǎng)邊際儲(chǔ)蓄傾向s 提高，或?qū)⒖刂仆顿Y系數(shù)v、邊際消費(fèi)傾向c 減小，這樣可確保市場(chǎng)穩(wěn)定．通過進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)整微分方程模型理論分析，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件模擬進(jìn)行數(shù)值仿真，激發(fā)學(xué)生的綜合能力，如A=1，k=1/3，a =2，s=1/3，λ= 1/2，v=1/4，此時(shí)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)為圖3所示的E( 3, 0 ) ；A = 1，k =1/3，λ= 1/2，a = 1/3，v = 1/3，s = 1/3，此時(shí)穩(wěn)定焦點(diǎn)為圖4 所示的E( 3,0 )；A = 1，k = 1/3，λ= 1，a = 1，v = 2，s = 1/3，此時(shí)穩(wěn)定中心為圖5 所示的E( 3,0 ).

圖3 穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)數(shù)值模擬結(jié)果

圖4 穩(wěn)定焦點(diǎn)數(shù)值模擬結(jié)果

圖5 穩(wěn)定中心數(shù)值模擬結(jié)果

1.3 廢物處理中碰撞問題

在教學(xué)中，常微分方程滲透數(shù)學(xué)建?？赏ㄟ^運(yùn)用常微分方程基本理論、基本概念、基本方法等體現(xiàn)出來，并用現(xiàn)象解釋理論.在進(jìn)行一些常見微分模型的建構(gòu)時(shí)，可對(duì)這些微分模型物理實(shí)際進(jìn)行挖掘[10]，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有關(guān)微分模型的建構(gòu)．在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合當(dāng)今時(shí)代發(fā)展，選擇一些激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的新穎案例，例如在講授一階微分方程應(yīng)用時(shí)，可通過放射性廢物處理問題進(jìn)行分析，美國(guó)在進(jìn)行濃縮放射性廢物的處理時(shí)，將廢物裝入密封圓桶，然后放入300 ft 深海里，圓桶雖然非常堅(jiān)固，但在碰撞海底時(shí)可能有破裂發(fā)生．圓桶能承受的速度碰撞是問題核心，通過破壞性實(shí)驗(yàn)，工程師發(fā)現(xiàn)圓桶會(huì)在沖撞為40 ft/s 的條件下破裂，隨后計(jì)算圓桶沉入300 ft 的海底時(shí)的末速度．圓桶裝滿55 加侖放射性廢物后，其重量達(dá)到W = 538.45 磅，此時(shí)其在海水中會(huì)受到B = 478.33 磅浮力．海水阻力會(huì)在圓桶下沉?xí)r發(fā)揮作用，大小為D = Cv，C 為常數(shù)．相關(guān)實(shí)驗(yàn)表明C = 0.08.假設(shè)垂直向下坐標(biāo)，以海平面為坐標(biāo)原點(diǎn)(y = 0)，可得微分方程，其中，D=Cv，dy dt=v，可將上式改寫為公式（10）：

公式（10）為一階線性方程，滿足初值條件v(0)=0，其解如下：

計(jì)算得到圓桶極限速度如下：

該速度遠(yuǎn)大于40 ft/s，在進(jìn)行海底和圓桶碰撞速度v(t)時(shí)，須將圓桶下沉?xí)r間t求出，但這一點(diǎn)很難做到.因此，下沉深度y的函數(shù)用速度v表示，即v(t)=v(y(t))．按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得，將y滿足的二階常微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榛?，且v(0) = 0，y(0) = 0，對(duì)兩邊積分獲得公式（12）：

通過數(shù)值方法可將v ( 300 )的近似值求出，計(jì)算表明，v ( 300 )≈43.2ft/s ＞ 40ft/s，因此，在海中丟放射性廢料不安全．目前，美國(guó)已改變放射性廢料處理方法，禁止在海中拋入放射性廢料.在常微分方程課程教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想可達(dá)到事半功倍效果.

1.4 計(jì)算機(jī)病毒傳播

計(jì)算機(jī)病毒成為當(dāng)今互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域巨大安全信息隱患，世界各國(guó)都非常重視計(jì)算機(jī)病毒傳播的相關(guān)問題，由于會(huì)有很多因素對(duì)其產(chǎn)生影響、制約，在建立計(jì)算機(jī)病毒傳播數(shù)學(xué)模型的過程中，需要借助構(gòu)建微分方程，并進(jìn)一步分析其傳播規(guī)律．計(jì)算機(jī)病毒傳播特點(diǎn)類似于生物學(xué)中傳染病傳播過程．計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)模、速度非常驚人，在分析計(jì)算機(jī)病毒傳播問題時(shí)，在網(wǎng)絡(luò)中假設(shè)只有一種病毒傳播，若系統(tǒng)文件已感染，則其具有免疫力，也就是不會(huì)再次被感染；基于上述內(nèi)容劃分網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)程序：第一類，用S(t)表示并未感染病毒可執(zhí)行程度，但懷疑計(jì)算機(jī)感染病毒的數(shù)目；第二類，用I(t)表示病毒已經(jīng)感染計(jì)算機(jī)的數(shù)目；第三類，用R(t)表示病毒對(duì)計(jì)算機(jī)進(jìn)行感染后，計(jì)算機(jī)通過殺毒軟件程度能偶不再被感染的數(shù)目.假設(shè)可執(zhí)行程序的總數(shù)在計(jì)算機(jī)病毒傳播期間時(shí)穩(wěn)定的，且為常數(shù)N，也就是S(t) +I(t)=N，設(shè)定計(jì)算機(jī)病毒傳染率為α，恢復(fù)率為β，從而可得到如下微分方程組：

方程組中R(t)和第一個(gè)、第二個(gè)方程之間沒有關(guān)聯(lián)，因而由，可獲得，也就是，這屬于簡(jiǎn)單變量分離方程，解為，設(shè)定t=t0時(shí)，，為初始條件，即，將其代入上式可獲得C=I0+S0-ρInS0，方程滿足初始條件特解如下：

2 結(jié) 語(yǔ)

本文基于常微分方程數(shù)學(xué)模型，對(duì)其在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)解決實(shí)際問題進(jìn)行了研究，得出如下結(jié)論：

（1）分析了常微分方程數(shù)學(xué)模型在解決傳染病模型問題、經(jīng)濟(jì)調(diào)整問題、廢物處理中碰撞問題、計(jì)算機(jī)病毒傳播問題中的應(yīng)用.

（2）常微分課程教學(xué)在選擇微分方程建模案例時(shí)，會(huì)選擇與學(xué)生實(shí)際相結(jié)合的方式進(jìn)行，基于相關(guān)常微分方程的知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行預(yù)測(cè)或解釋.

（3）在教學(xué)過程中采取提出問題、分析問題、模型建立、模型求解的案例教學(xué)模式，向?qū)W生講清微分方程實(shí)際背景，列出微分方程并求解，然后實(shí)際現(xiàn)象對(duì)生活中的實(shí)際問題進(jìn)行解釋，將數(shù)學(xué)建模思想與常微分方程教學(xué)相結(jié)合，能夠促進(jìn)學(xué)生提高解決實(shí)際問題的綜合能力，并以更積極的態(tài)度探索問題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.