論旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

林艷娜

(福建省福州英才中學(xué),福建 福州 350026)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師需指引學(xué)生結(jié)合具體題目巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想,使其盡快找到解題的切入點(diǎn),簡(jiǎn)化解題過(guò)程,使學(xué)生高效解答試題.

1 合理運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想,解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題

教師在平常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生合理運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想,對(duì)題目中的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和變形,使其明確旋轉(zhuǎn)后的變化情況,讓他們快速確定解題方案,解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題[1].

例1如圖1所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD

圖1 例1題圖

分析利用旋轉(zhuǎn)思想,把△BCE圍繞點(diǎn)B進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,剛好可以得到一個(gè)正方形,如圖2所示,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系,即可求出CE的長(zhǎng)度.

圖2 例1題圖

解將△BCE圍繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGM,這兩個(gè)直角三角形是全等關(guān)系,C、E兩點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至G、M點(diǎn)處,BC、CE、BE分別旋轉(zhuǎn)至BG、GM、BM,∠CBG=∠BGD=90°,由此得到正方形BCDG,∠ABE=∠ABM=45°,△ABE≌△ABM,那么AM=AE=10,設(shè)CE是x,則有AG=10-x,AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x在直角三角形ADE中,AE2=AD2+DE2,代入相關(guān)數(shù)據(jù)后得到102=(2+x)2+(12-x)2,解之得x1=4,x2=6,故CE的長(zhǎng)度是4或6.

2 利用旋轉(zhuǎn)思想,解決線段最值問(wèn)題

通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)計(jì)算線段最值類問(wèn)題的研究與梳理,發(fā)現(xiàn)利用旋轉(zhuǎn)思想往往能夠起到意想不到的效果,學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想以后找到點(diǎn)的特殊位置,根據(jù)圖形形式與勾股定理進(jìn)行求解,讓他們順利解決線段最值問(wèn)題[2].

例2如圖3所示,以邊長(zhǎng)是4的正方形ABCD的C點(diǎn)為圓心,半徑是2畫(huà)圓,點(diǎn)P是圓C上面的任意一點(diǎn),讓點(diǎn)P圍繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q,把BQ連接起來(lái),那么BQ的最大值是什么?

圖3 例2題圖

分析在本題中,線段圍繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,根據(jù)圖形可知∠CDP=∠ADQ,可得出△AQD≌△CPD,把CP與AQ連接起來(lái),可得AQ的長(zhǎng)是定值2,點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)圓,即可求出BQ的最大值.

解將CP與AQ連接起來(lái),根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知∠QDP=∠QDC+∠CDP=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC,∠ADQ+∠QDC=90°,則∠CDP=∠ADQ,△AQD≌△CPD,AQ=CP=2,點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)也會(huì)隨之運(yùn)動(dòng),不過(guò)AQ保持2的定值始終不變,據(jù)此可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心的圓,當(dāng)BQ有最大值時(shí),點(diǎn)Q、A、B共線,且點(diǎn)A位于點(diǎn)B與Q之間,這時(shí)BQ=AB+AQ=4+2=6.

3 利用旋轉(zhuǎn)思想,解決線段比值問(wèn)題

處理一些涉及圖形旋轉(zhuǎn)類的初中數(shù)學(xué)題目時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)思想,找到旋轉(zhuǎn)前后圖形線段、角度之間的內(nèi)在聯(lián)系,以此確定解題思路,從而求出線段比值[3].

例3 如圖4所示,四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形,已知一個(gè)內(nèi)角是72°,該菱形圍繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到菱形A′B′C′D′,AB與B′C′相交于點(diǎn)P,把BB′連接起來(lái),當(dāng)五邊形A′B′BCD′是正五邊形時(shí),求BP:AP的值.

圖4 例3題圖

分析因?yàn)樾D(zhuǎn)以后得到的是一個(gè)正五邊形,可知內(nèi)角是108°,旋轉(zhuǎn)后線段長(zhǎng)度與首尾順序均不發(fā)生變化,結(jié)合菱形、等腰三角形以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題.

4 利用旋轉(zhuǎn)思想,解決角度計(jì)算問(wèn)題

針對(duì)角度計(jì)算類試題,初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生巧用旋轉(zhuǎn)思想,通過(guò)對(duì)原圖形的旋轉(zhuǎn)與變化把一些條件整合到一起,分析圖形的特殊角度及位置,使學(xué)生結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算,從而把復(fù)雜、陌生的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單與熟悉[4].

例4 如圖5所示,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的值.

圖5 例4題圖

分析當(dāng)學(xué)生看到題目中出現(xiàn)3、4、5的數(shù)據(jù)時(shí),很容易想到勾股定理,是同一個(gè)直角三角形的三條邊,但是在本題中并沒(méi)有位于同一個(gè)直角三角形內(nèi),此時(shí)他們可想到應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想,把這三條邊集中到同一個(gè)直角三角形里面.

解先讓△APB圍繞點(diǎn)A按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ADC,連接PD,如圖6所示,則有AD=PA=3,DC=PB=4,∠PAD=60°,得到一個(gè)等邊三角形PAD,則PD=PA=3,∠ADP=60°,在△PDC中有PD2+DC2=PC2,這表明△PDC是一個(gè)直角三角形,且∠PDC=90°,由此得到∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

圖6 例4題圖

5 利用旋轉(zhuǎn)思想,解決面積計(jì)算問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,求解圖形面積類的試題離不開(kāi)旋轉(zhuǎn)思想的輔助與支持,可以把零散的圖形集中起來(lái).處理這類試題的關(guān)鍵在于確定好旋轉(zhuǎn)對(duì)象與角度,教師在平常的解題訓(xùn)練中需加強(qiáng)指導(dǎo),讓學(xué)生準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)對(duì)象和角度,幫助他們輕松解決面積計(jì)算問(wèn)題[5].

圖7 例5題圖

分析本題可使用旋轉(zhuǎn)思想,將△AED圍繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,然后把兩個(gè)三角形拼接起來(lái),根據(jù)題意能夠判定出拼接的三角形又由兩個(gè)直角三角形構(gòu)成,結(jié)合正方形的性質(zhì)用勾股定理等即可完成解題.

圖8 例5題圖

旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中可謂是有著極為廣泛的應(yīng)用空間,是一種極為重要與常用的數(shù)學(xué)思想方法,教師應(yīng)圍繞旋轉(zhuǎn)思想專門(mén)開(kāi)設(shè)習(xí)題訓(xùn)練活動(dòng),指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何妙用旋轉(zhuǎn)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,使其充分感受到旋轉(zhuǎn)思想在解題中的妙用,繼而提高他們的解題水平[6].