關(guān)于龐卡萊映射逼近的一個反例

溫泳銘,張霞娟,胡建鈞,丁昌明

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江杭州310053)

關(guān)于龐卡萊映射逼近的一個反例

溫泳銘1*,張霞娟1,胡建鈞2,丁昌明1

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江杭州310053)

在Wiggins S.所著的書《Global Bifurcations and Chaos》的第三章中分別討論了在雙曲奇點附近龐加萊映射與其線性逼近的誤差,以及它們的導(dǎo)數(shù)之間的誤差,即其證明了.針對該本書中提出來的龐卡萊映射線性逼近理論,構(gòu)造出一個反例,通過利用等價關(guān)系和不等式等一些技巧,不僅說明了書中的上述兩個逼近誤差是錯誤的,而且指出了書中用來證明該線性逼近理論的引理都是不正確的.

龐卡萊映射;線性系統(tǒng)逼近;不變流形

1 龐加萊映射的逼近

本文討論歐氏空間Rn中由常微分方程定義的動力系統(tǒng).設(shè)S為動力系統(tǒng)的一個不變集合,p為系統(tǒng)相空間中的一點.過p點的軌線稱為同宿軌線,如果該點同時處于S的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形中.為了研究同宿軌線附近的軌線結(jié)構(gòu),常常需要在同宿軌線附近建立一個龐卡萊映射[1-2].本文的討論集中在雙曲平衡點附近系統(tǒng)軌線的性質(zhì).

設(shè)方程.z=F(z),z∈Rs+u,其中F:U→Rs+u,F在U上是Cr(r≥2)且U為開集,方程的不動點是z=z0,方程存在一個軌線φ(t),且解φ(t)滿足有s個特征值具有負(fù)實部,u個特征值具有正實部.

為方便起見,通過坐標(biāo)變換w=zˉz0將不動點變換到w=0,方程變?yōu)?w=G(w).由假設(shè)知DG(0)有s個特征值有負(fù)實部,u個特征值有正實部.由線性代數(shù)知識,我們知道存在一個線性變換使得DG(0)=,其中A是對角線元素具有負(fù)實部的s ×s若當(dāng)塊,B是對角線元素具有正實部的u×u若當(dāng)塊.再通過同樣的線性變換將前面的微分方程G(w)變?yōu)樵谶@里(ξ,η)∈Rs×Ru,F1和F2是Crˉ1的且F1,F2=O(|ξ|2+|η|2).

將上述方程線性化,則給定η=0,存在s維線性子空間Es;給定ξ=0,存在u維線性子空間Eu.由文獻(xiàn)[3],知存在相交于原點的Cr穩(wěn)定流形Ws和不穩(wěn)定流形Wu分別相切于Es和Eu.在局部范圍內(nèi),用及分別代表φs(ξ)和φu(η)的圖像,其中為 Ns→Ru的Cr映射,φu(η)為Nu→Rs的Cr映射(Ns與Nu各自為相應(yīng)空間中原點的充分小鄰域).再通過以下坐標(biāo)變換作為坐標(biāo)系,則η)變?yōu)?

其中f1,f2=O(|ξ|2+|η|2)且有f1(0,y)=f2(x,0) =0.

設(shè)φ(t,x0,y0)=(x(t,x0,y0),y(t,x0,y0))是方

注意到構(gòu)造的上述映射P0需要知道.x=Ax+ f1(x,y),.y=By+f2(x,y)的解,但是對于大多數(shù)非線性微分方程,解一般是無法求出的,所以希望用一個映射去逼近它,在文獻(xiàn)[1]中的構(gòu)造是如下進(jìn)行的:

其中T滿足|eBTy0|=ε.

為了更好說明此逼近映射,令x=εˉx,y=εˉy,其中0＜ε?1,則式(1)變換為:

2 主要結(jié)論

將其線性化后變?yōu)?/p>

下面說明證明這2個結(jié)論的引理3.2.3是錯誤的,引理證明了DεT(ˉx0,yˉ0,0)在Cs1ˉSs1上有界,但是根據(jù)前面得到

于是將ε=0代入得到其無界.在引理證明中證明的一個式子3.2.46b也是錯誤的,導(dǎo)致該引理錯誤,3.2.46b是說是有界的,我們還是用該反例來說明,首先于是Dεˉy=則Dεˉy(TL,ˉx0,,這個式子用到了eTL yˉ0=1,但是并不是有界的.

[1] Wiggins S.Global bifurcations and chaos[M].New York: Springer,1988.

[2] Ovsyannikov I M,Shil′nikov L P.On systems with saddle-focus homoclinic curve,math[J].USSR Sbornik, 1987,58:557-574.

[3] Hirsch M W,Pugh C C,Shub M.Invariant manifolds,lecture notes in math,v.583[M].New York: Springer,1977.

A Counterexample of the Approximate PoincaréMap

WEN Yong-ming1*,ZHANG Xia-juan1,HU Jian-jun2,DING Chang-ming1
(1.School of Mathematical Science,Xiamen University,Xiamen 361005,China; 2.Zhejiang Business College,Hangzhou 310053,China)

:Wiggins S.,in his book“Global Bifurcations and Chaos“,discussed the error between the Poincarémap and its linear approximation,and also the error between the derivations of those maps near the hyperbolic singular point in Chapter 3,respectively.In other words,he proved the conclusions:.In this paper,we present a counterexample in allusion to the linear approximation of Poincarémap in this book.Through utilizing some skills of the equivalence relation and some inequalities,not only do we illustrate the two approximation errors mentioned above are incorrect,but also the lemma,which is used to prove the theory of linear approximation,appears invalid.

Poincarémap;approximation with linear system;invariant manifold

O 175.1

A

0438-0479(2015)03-0369-03

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.014

2014-04-17 錄用日期:2015-01-27

*通信作者:787053198@qq.com

溫泳銘,張霞娟,胡建鈞,等.關(guān)于龐卡萊映射逼近的一個反例[J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,54(3):369-371.

:Wen Yongming,Zhang Xiajuan,Hu Jianjun,et al.A counterexample of the approximate Poincarémap[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):369-371.(in Chinese)