加強(qiáng)感悟訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的策略研究

【摘要】數(shù)學(xué)是一門充滿邏輯的理性學(xué)科，一些知識(shí)的學(xué)習(xí)如果僅靠簡(jiǎn)單的記憶是無(wú)法學(xué)好的，更應(yīng)該建立在對(duì)所學(xué)知識(shí)充分理解的基礎(chǔ)上，并從中獲得感悟，且不斷總結(jié)方法和積累經(jīng)驗(yàn)，才能達(dá)到融會(huì)貫通、觸類旁通的水平。本文將從動(dòng)手操作、錯(cuò)題糾正、題組辨析、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、實(shí)踐創(chuàng)新等五個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)感悟訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟水平，以促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

【關(guān)鍵詞】加強(qiáng)感悟? 學(xué)習(xí)能力? 策略研究

【中圖分類號(hào)】G623.5 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2023）08-0196-03

時(shí)常有聽(tīng)到學(xué)生在解題中發(fā)出“哦，原來(lái)如此！”的感嘆聲，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)中充分理解內(nèi)容、掌握方法后由衷發(fā)出的一種感悟，是學(xué)生在探索和體驗(yàn)中，不斷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)道理和規(guī)律的過(guò)程。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為半徑，在教學(xué)中善于創(chuàng)設(shè)豐富、有趣的學(xué)習(xí)情境，提出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、思辨、歸納、總結(jié)等基本活動(dòng)過(guò)程，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解和感悟，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

一、動(dòng)手操作，獲得感悟

俗話說(shuō)：聽(tīng)過(guò)的會(huì)忘記，看到的會(huì)記得，做過(guò)的才會(huì)理解。這是強(qiáng)調(diào)學(xué)數(shù)學(xué)“做”的重要性。動(dòng)手操作是兒童認(rèn)識(shí)事物的重要方式，在操作中多種感官充分參與，要求手、腦、眼、心并用，方能促進(jìn)新知的理解和掌握。蘇霍姆林斯基也曾說(shuō)過(guò)：“在手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更明智，腦使手得到發(fā)展，使它變成創(chuàng)造的、聰明的工具，變成思維的工具和鏡子[1]。”可見(jiàn)，增加體驗(yàn)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生“做”中學(xué)，從中獲取感悟，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)是至關(guān)重要的。例如：在教學(xué)“圓的面積”一課時(shí)，首先，讓學(xué)生用數(shù)方格的方法探究圓和外切正方形的關(guān)系，初步感知圓的面積大小與半徑的長(zhǎng)短有關(guān)，而且是半徑平方的3倍多一些；接著，教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)深入研究，將課本附頁(yè)的圓形紙片沿著半徑剪開(kāi)，平均分成16份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形；緊接著，教師又讓學(xué)生把附頁(yè)的另一個(gè)同樣大小的圓形紙片平均分成32份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，此時(shí)的長(zhǎng)方形更“像”了；最后，教師借助多媒體課件，向?qū)W生直觀展示將圓形紙片平均分成64份、128份等情況，從中發(fā)現(xiàn)：分得份數(shù)越多，拼成的長(zhǎng)方形越“像”，并組織學(xué)生交流討論：拼成的長(zhǎng)方形與原來(lái)的圓形有什么關(guān)系？學(xué)生在動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考中，體驗(yàn)并感悟出：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓形的周長(zhǎng)一半[2]，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積等于圓的面積。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬，所以圓的面積等于周長(zhǎng)的一半×半徑，用字母表示是πr×r=πr2。正是讓學(xué)生經(jīng)歷剪一剪、拼一拼等操作環(huán)節(jié)，才能充分理解“等積變形”的真正內(nèi)涵，深刻感悟圓面積公式推導(dǎo)的過(guò)程。同時(shí)，圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程與平行四邊形、三角形、梯形等多邊形的面積學(xué)習(xí)過(guò)程都是一脈相承的，都是充分利用圖形的轉(zhuǎn)化促成知識(shí)的不斷建構(gòu)，這不但是學(xué)法的提煉和遷移，更是探索新知經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與積累，也為后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱、圓錐等立體圖形的表面積、體積等新知奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

二、錯(cuò)題糾正，啟發(fā)感悟

華應(yīng)龍?jiān)f(shuō)：“課堂就是一個(gè)讓學(xué)生可以犯錯(cuò)的地方。”錯(cuò)誤生成是學(xué)生探求數(shù)學(xué)道理的印記，是教師開(kāi)展教學(xué)的寶貴資源，更是學(xué)生對(duì)教師教學(xué)行為的一種反饋，我們要善于抓住和利用這些錯(cuò)誤資源，分析錯(cuò)誤背后的原因，突破認(rèn)知障礙，尋找解決問(wèn)題的方法，“化腐朽為神奇”。因此，教師首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)允許學(xué)生出錯(cuò)的環(huán)境，讓他們沒(méi)有因?yàn)槌鲥e(cuò)而被批評(píng)的擔(dān)憂，也沒(méi)有因?yàn)殄e(cuò)誤而受他人嘲笑的苦惱，堅(jiān)持樹(shù)立以“學(xué)生的發(fā)展為教育的根本宗旨”的教學(xué)理念，理解和寬容學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤。

在教學(xué)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的整數(shù)除法”一課時(shí)，出現(xiàn)了如下錯(cuò)誤：

920÷50

=920÷5÷10

=184÷10

=18……4

學(xué)生利用除法的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，每一步看似沒(méi)有任何問(wèn)題，可是計(jì)算結(jié)果卻是錯(cuò)的。算式從920÷50變184÷10，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以5，也就是（920÷5）÷（50÷5），算式的商不變，余數(shù)卻隨著被除數(shù)和除數(shù)的變化而變化，因此，得到的余數(shù)是184÷10的余數(shù)，而不是920÷50的余數(shù)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。正確的做法是利用商不變性質(zhì)的末尾去“0”法豎式來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

部分學(xué)生不能靈活根據(jù)題目的特點(diǎn)采取不同方法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，將除法的性質(zhì)與商不變性質(zhì)混淆應(yīng)用。訂正時(shí)，教師不急于要求把錯(cuò)誤答案擦除，可以先通過(guò)重新審題、獨(dú)立思考、教師點(diǎn)撥等方式，引導(dǎo)學(xué)生寫出正確的計(jì)算過(guò)程，并與錯(cuò)誤做法比較，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)不同，并從中感悟出：當(dāng)算式有余數(shù)時(shí)，只能利用商不變性質(zhì)，而不能利用除法的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。因?yàn)殄e(cuò)誤生成使得學(xué)生對(duì)兩種運(yùn)算性質(zhì)的計(jì)算道理感悟程度得到提升，也促使學(xué)生能及時(shí)自我糾正錯(cuò)誤，歸納解題方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)。

三、題組辨析，促進(jìn)感悟

多亞里士多德曾說(shuō)過(guò)：思維從驚奇和疑問(wèn)開(kāi)始，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維的碰撞和沖突，精心設(shè)計(jì)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)，必能打開(kāi)思維的閥門，通過(guò)辨析，澄清新舊知識(shí)之間本質(zhì)的矛盾，從而促進(jìn)新知的理解。然而學(xué)生對(duì)形式和結(jié)構(gòu)上相似的題目，經(jīng)常缺乏理性的分辨能力，常出現(xiàn)“張冠李戴”的情況。因此，教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)一定數(shù)量的“形似質(zhì)異”的題組練習(xí)，加強(qiáng)訓(xùn)練、提升辨析能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)之間的對(duì)比，看清“廬山真面目”，凸顯兩者的本質(zhì)差異，感悟不同解法背后隱藏的數(shù)學(xué)道理。例如，在復(fù)習(xí)“圖形的周長(zhǎng)和面積”一課時(shí)，可以設(shè)計(jì)如下題組，加強(qiáng)學(xué)生的辨析能力的訓(xùn)練，從而提高學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積和周長(zhǎng)本質(zhì)的理解和應(yīng)用水平。問(wèn)題1：用24根1米長(zhǎng)的籬笆，圍一個(gè)長(zhǎng)方形羊圈，有多少種不同的圍法？哪種圍法的面積最大？問(wèn)題2：用24個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形地毯鋪一個(gè)長(zhǎng)方形地塊，有多少種不同的鋪法？哪種鋪法的周長(zhǎng)最長(zhǎng)？問(wèn)題3：用24根1米長(zhǎng)的籬笆，一面靠墻圍一個(gè)長(zhǎng)方形羊圈，怎么圍面積最大？

前兩題題干文字表述極其相似，解法上很容易發(fā)生“張冠李戴”的錯(cuò)誤。教學(xué)時(shí)，應(yīng)該針對(duì)容易混淆的內(nèi)容，設(shè)計(jì)“形似質(zhì)異”的題組訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)辨析，發(fā)現(xiàn)不同，尋求正確的解題方法，從而提高解決問(wèn)題的能力和思維的靈活性。然而小學(xué)生的抽象思維不發(fā)達(dá)，仍以具體形象思維為主，因此，直觀化輔助教學(xué)是必不可少的環(huán)節(jié)。教學(xué)時(shí)可以借助擺小棒、畫(huà)示意圖、鋪小正方形等方式，讓學(xué)生從體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)出兩道題的區(qū)別所在：第1題“用24根1米長(zhǎng)的籬笆，圍一個(gè)長(zhǎng)方形”表示無(wú)論怎么圍，圍成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等，都是24米，而第2題“用24個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形地毯鋪一個(gè)長(zhǎng)方形地塊”表示無(wú)論怎么鋪，鋪成的長(zhǎng)方形的面積相等，都是24平方米；最后，從一一列舉的數(shù)據(jù)中感悟并歸納出：當(dāng)周長(zhǎng)相等時(shí)，長(zhǎng)與寬的數(shù)字越接近面積越大，當(dāng)圍成是正方形形狀時(shí)面積最大；當(dāng)面積相等時(shí)，長(zhǎng)與寬數(shù)字相差最大，周長(zhǎng)也最長(zhǎng)。同時(shí)在題組的辨析中總結(jié)出雖然兩題題干的內(nèi)容相似，但本質(zhì)卻是不同的，不但對(duì)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積的意義有了更深入的理解，還能提醒自己解題時(shí)應(yīng)養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，避免錯(cuò)誤再次發(fā)生。第3題讓學(xué)生進(jìn)一步拓展，要想完成“用24根1米長(zhǎng)的籬笆，一面靠墻圍一個(gè)長(zhǎng)方形，怎么圍面積最大？”既要利用第1題得出的結(jié)論“長(zhǎng)與寬數(shù)字越接近，圖形面積越大”，同時(shí)又要考慮由于長(zhǎng)方形是靠墻圍成的，因此三邊之和應(yīng)為24米，進(jìn)而算出每條邊長(zhǎng)是8米，得出的最大面積是64平方米。通過(guò)形似質(zhì)異的題組的訓(xùn)練，學(xué)生在比較中，不斷促進(jìn)感悟，并逐步歸納解題方法，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力和解決問(wèn)題的水平。

四、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)感悟

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升。然而問(wèn)題又是思維的心臟，數(shù)學(xué)教師要善于根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容提煉核心問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)的方式激發(fā)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，感悟知識(shí)的來(lái)龍去脈，從本質(zhì)上理解知識(shí)的內(nèi)涵，從而不斷建構(gòu)有意義的學(xué)習(xí)體系。例如，在教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”一課時(shí)，教師可以提出以下核心問(wèn)題引領(lǐng)教學(xué)。問(wèn)題1：小數(shù)乘整數(shù)你是怎么算的？為什么這么算？問(wèn)題2：整數(shù)乘法、小數(shù)加法、小數(shù)乘法的計(jì)算道理一樣嗎？

問(wèn)題1旨在引導(dǎo)學(xué)生思考小數(shù)乘整數(shù)的算法和算理，要讓學(xué)生知其然，也知其所以然。算法講清怎么計(jì)算的法則，算理弄懂為什么這樣算的道理，它們是計(jì)算教學(xué)的兩翼，兩者相輔相成，缺一不可。小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算法則是先將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，接著按照整數(shù)乘法的法則算出積是多少，最后根據(jù)積的變化規(guī)律確定積的小數(shù)點(diǎn)位置。例如要算：3.25×3，先算325×3=975；再把975的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位即是9.75。同時(shí)還要讓學(xué)生明白在豎式計(jì)算時(shí)，乘數(shù)3的位置為什么要與3.25百分位上的“5”對(duì)齊，那是因?yàn)榘?.25看成325個(gè)百分之一，算式變成325個(gè)百分之一與3相乘，得到975個(gè)百分之一，因此，3.25乘3的積就是9.75。通過(guò)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生積極思考，并通過(guò)教師引導(dǎo)、同伴互助等方式，學(xué)生自然就明白小數(shù)乘整數(shù)豎式計(jì)算時(shí)為什么要末尾對(duì)齊，而不是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的道理，同時(shí)也理清了小數(shù)乘整數(shù)的基本算理，從而提高學(xué)生筆算能力和計(jì)算品質(zhì)。

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》提出的重要理念，它能將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)形成串聯(lián)，組建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)“既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林”。問(wèn)題2旨在將整數(shù)乘法、小數(shù)加法、小數(shù)乘法等運(yùn)算道理進(jìn)行整體建構(gòu)，溝通不同計(jì)算法則之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在探求筆算方法的同時(shí)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)的方式啟發(fā)學(xué)生去探尋計(jì)算的本源，并能引導(dǎo)歸納出計(jì)算的本質(zhì)都是數(shù)一數(shù)、算一算有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，讓學(xué)習(xí)融會(huì)貫通。因此，教學(xué)時(shí)讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)，在尊重、平等、合作、交流的課堂環(huán)境中，學(xué)生循著核心問(wèn)題線索，通過(guò)對(duì)相關(guān)問(wèn)題的探究、思考，借助教師的引導(dǎo)和同伴的幫助，逐步揭示問(wèn)題本質(zhì)、形成思路方法、抵達(dá)知識(shí)要津、窺探整體面貌，在漸入佳境的過(guò)程中悟得數(shù)學(xué)思維方法，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和能力[3]。

五、實(shí)踐創(chuàng)新，形成感悟

創(chuàng)新是一個(gè)民族生生不息的動(dòng)力，社會(huì)的進(jìn)步也源于一切的創(chuàng)新，從小培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力是至關(guān)重要的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)主要讓學(xué)生從自然現(xiàn)象、科學(xué)情境、實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)具體實(shí)例，運(yùn)用歸納、類比等數(shù)學(xué)方法從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，加以驗(yàn)證；要引導(dǎo)學(xué)生勇于探索一些非常規(guī)的、具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。同時(shí)創(chuàng)新意識(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的理性品質(zhì)和科學(xué)態(tài)度[4]。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適合于學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展的環(huán)境，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新潛能，并在創(chuàng)新活動(dòng)中，形成感悟，不斷總結(jié)學(xué)習(xí)方法，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。例如：在教完“圓的認(rèn)識(shí)”一課后，教師可以布置“另類畫(huà)圓法”的實(shí)踐作業(yè)，要求學(xué)生在不使用圓規(guī)的前提下利用繩子到操場(chǎng)上畫(huà)“大圓”。學(xué)習(xí)的場(chǎng)所從教室到操場(chǎng)，操作的載體從書(shū)面到地板，圓的大小從小變大，工具從圓規(guī)到繩子等，一系列的變化都是對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)。面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，能充分激發(fā)學(xué)生參與欲望，個(gè)個(gè)情緒高漲、躍躍欲試，都想大顯身手。在操場(chǎng)上利用繩子畫(huà)圓，學(xué)生明白繩子的長(zhǎng)度相當(dāng)于圓規(guī)兩腳張開(kāi)的距離，就是圓的半徑，只要圓心固定就能畫(huà)出規(guī)定大小的圓。除此之外，還可讓學(xué)生徒手用粉筆在黑板上畫(huà)圓；利用兩腳在地板上畫(huà)圓；甩手臂在空中畫(huà)圓等，這些畫(huà)圓的方法和形式都是創(chuàng)新。這種不拘泥于常規(guī)的畫(huà)法，不但將圓的基本特征通過(guò)變式的方式，在具體的非常規(guī)畫(huà)圓中得到理解和內(nèi)化，而且學(xué)生在“創(chuàng)造”中，感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣和奧妙，無(wú)限激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能。

同時(shí)教師還可以利用圓規(guī)作出更多的“文章”，例如可以組織學(xué)生開(kāi)展“美麗圖案”創(chuàng)作大賽，要求學(xué)生利用圓規(guī)設(shè)計(jì)出各種美麗圖案，大家通過(guò)投票的方式評(píng)出“創(chuàng)意獎(jiǎng)”“最美圖案獎(jiǎng)”等，將優(yōu)秀作品給予裝裱展示，并將圖片發(fā)于家長(zhǎng)群中。當(dāng)學(xué)生自己利用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)出各種美麗圖案時(shí)，自豪感和成就感油然而生，這不但培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，而且由衷感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，也實(shí)現(xiàn)了發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的具體目標(biāo)。同時(shí)學(xué)生在創(chuàng)作圖案的過(guò)程中必須經(jīng)歷構(gòu)思、設(shè)計(jì)、操作、比較、概括、表達(dá)等步驟，在經(jīng)過(guò)不斷地想象、嘗試、調(diào)整等方能完成作品，不但發(fā)展了學(xué)生幾何直觀、推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，而且培養(yǎng)學(xué)生從始而終的優(yōu)秀精神品質(zhì)。

一個(gè)雞蛋從外打破，最大的價(jià)值僅是人類餐桌上的食物；如果從內(nèi)破殼而出，那將是一個(gè)生命，這其中的道理不言而喻。同樣，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程，應(yīng)摒棄違背兒童身心發(fā)展特點(diǎn)的“填鴨式”教育模式；倡導(dǎo)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的啟發(fā)式教學(xué)方式，注重對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的體驗(yàn)和感悟，并逐步總結(jié)和積累經(jīng)驗(yàn)，且不斷建構(gòu)自己的認(rèn)知系統(tǒng)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：

林庚祿，一級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。