追根求源　讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤科學(xué)文化的底蘊

吳青

摘? ?要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到人為約定的情形。為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識這種人為約定的必要，更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識，教師需要和學(xué)生一起探究約定俗成背后的數(shù)學(xué)淵源，從歷史、人文、科學(xué)等多角度分析約定俗成的合理意義，溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤科學(xué)文化的底蘊。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；確定位置；科學(xué)文化

中圖分類號：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2023）19/22-0038-04

一、問題緣起

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第四單元 “確定位置”是讓學(xué)生用帶有角度的方向和距離，來描述平面上各點的準(zhǔn)確位置，比如書本例題中的燈塔在輪船的北偏東30°方向6千米處，這種表示物體位置的方法其實類似于極坐標(biāo)法。

本課教學(xué)有一個重點，就是要用“北偏東30°”這樣的方式來描述物體的準(zhǔn)確方向。在生活中我們經(jīng)常說“東北”這個方位詞，但是“東北”只是一個大概的方向，只要在東和北之間都可以叫做東北。要想準(zhǔn)確地指定東和北之間的某一個具體方向，就必須加上一個角度，比如說成“北偏東30°”。

但是，為什么要說成“北偏東”而不是“東偏北”，對學(xué)生來說有些難以理解，因為在他們看來這兩個詞語都可以表示東和北之間。

如果我們只是簡單地告訴學(xué)生，這是人們約定俗成的說法，一定要說成“北偏東”，而不能說成“東偏北”，那么經(jīng)過多次練習(xí)鞏固之后，他們會逐漸掌握正確的表述方式，但是并沒有真正理解其本質(zhì)，因為他們只是被簡單的“告知”與反復(fù)地機械訓(xùn)練。

其實采用“北偏東”這種說法，雖說是人為約定的，但卻有著極豐富的內(nèi)在的文化、科學(xué)等方面的歷史淵源。所以深入探究數(shù)學(xué)知識“約定俗成”背后的人文淵源，將有助于學(xué)生更好地理解并掌握這些數(shù)學(xué)知識。

二、追根求源

為什么東北要說成“北偏東”而不是“東偏北”，學(xué)生對此不易接受、容易混淆，但又很好奇、想要究其根源。這其中涉及到古人在認(rèn)識、探索宇宙過程中逐步積累起來的科學(xué)知識與生活經(jīng)驗，在課堂上，如果教師能夠幫助學(xué)生理解知識的來龍去脈，就可以順利地進行知識同化，在此基礎(chǔ)上的知識學(xué)習(xí)將會更加有效。

（一）中西方語言文化

在漢語中，“東北”這個詞語的構(gòu)成和紅花、大樹等詞語相同，后面的“北”是中心詞，而前面的“東”是形容詞，來修飾中心詞“北”，表示“東的北”“偏向東的北”。

而在英語中，“東北”有三種說法：north east， north by east， North easterly，它們都可以簡寫成“NE”。著重分析最后一個，我們知道“north”表示北，“east”表示東，那么加上后綴“erly”之后，“easterly”就表示“東的，向東的”。很顯然，“North easterly”表示向東的北，偏向東的北。

看來，不管是漢語還是英語，表示東北方向的詞組，都是以“北”為中心詞，表示“偏向東的北”或“從北偏向東”，因此可以簡短的說成“北偏東”。

類似的，西北方向也是以北為標(biāo)準(zhǔn)，要說成“北偏西”，而東南和西南方向則是以南為標(biāo)準(zhǔn)，要說成“南偏東”“南偏西”。

（二）北極星

在東、南、西、北這四個方向中，我們古人在確定方位時，都不約而同地選擇以北和南為坐標(biāo)，而不是以東和西為坐標(biāo)，這是為什么？

東、南、西、北這四個方向都是古人在認(rèn)識大自然的過程中形成的，然而它們之間卻是有差別的。幾千年前，古人就開始夜觀天象，經(jīng)過長期地觀察研究，他們發(fā)現(xiàn)日月星辰都在不停的運動，而只有一顆星在天空中的位置看起來幾乎不動，古人將之稱為“北極星”。

后來人們知道，因為地球在不停地自轉(zhuǎn)，就造成了日月星辰看起來在不停地繞著地球轉(zhuǎn)動；而地球自轉(zhuǎn)軸所指的方向正好對著北極星附近，因此北極星在天空的位置看起來就幾乎不變。人們把北極星所指的方向定為北，那么相反的方向就是南，有了北和南，就可以確定東和西這兩個方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉時，總是通過北極星來指示方向。

可能有人會認(rèn)為，我們可以把早晨太陽升起的方向定為東，晚上太陽落下的方向定為西。有了東和西，然后再確定南和北，不是也可以嗎？

由于地球在繞太陽公轉(zhuǎn)的同時，是傾斜著身子在進行自轉(zhuǎn)，這就造成每天太陽日出的位置都在不停地變化。通過長時間的觀察可以發(fā)現(xiàn)，冬天日出的方向在正東偏南，夏天日出的方向在正東偏北。而且處于不同地理緯度上的地區(qū)，日出位置也不相同。因此用這種方法得到的東和西，存在著很大的不確定性，所以不適合用來較準(zhǔn)確地確定位置。因此我們是以南北方向為標(biāo)準(zhǔn)。

（三）指南針

我們出門在外，除了可以根據(jù)北極星來確定方向之外，還可以通過指南針來指示南北方向。指南針為什么能夠指出南北方向？因為地球內(nèi)部有一個巨大的磁場，可以根據(jù)磁鐵同極相斥、異極相吸的特點，用指南針上的磁鐵指出南北方向。

其實指南針指示的只是地磁場的南極和北極，而非真正的地理南極和北極，但是地磁場的兩極位于地理兩極附近，差距不大，所以我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^指南針來指示南北方向。

從上面的分析中我們可以看出，中西方語言都是以南和北為坐標(biāo)，而地球自轉(zhuǎn)和地球磁場也都決定了南北方向的重要性，所以我們在確定方向時，是以南和北為坐標(biāo)，所以要說成“北偏東”，而不能說成“東偏北”。

在課堂上，我們和學(xué)生簡要地從這三個方面進行分析，明確了“北偏東”這種說法的根源。和原先直接告訴學(xué)生的教學(xué)方式相比，這樣的教學(xué)過程把枯燥的說教變?yōu)樯鷦拥奶骄?，能夠激發(fā)學(xué)生強烈的學(xué)習(xí)熱情，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的探究精神，更加有助于學(xué)生對知識的理解和掌握。

三、縱向比較

對小學(xué)生來說，確定位置的學(xué)習(xí)貫穿了整個小學(xué)階段，對學(xué)生的要求逐步提高，描述物體位置的方法 也越來越精確。

一年級第一學(xué)期，剛剛跨入小學(xué)大門的孩子就認(rèn)識了前、后、左、右，這是最基礎(chǔ)的確定位置的方法，只能確定以觀測者為中心的前后、左右這兩條直線上的方向，這也相當(dāng)于是以觀測者為原點的直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸上的方向。這時的方向，與觀測者的朝向有關(guān)，因此具有不確定性，一旦觀測者的朝向發(fā)生了變化，那么前、后、左、右這四個方向也隨之變化。

二年級第二學(xué)期，學(xué)生通過早晨面向太陽時的前、后、左、右，認(rèn)識了東、南、西、北四個方向，并在此基礎(chǔ)上又進一步認(rèn)識了東北、東南、西北、西南這四個方向，此時四面八方中的這八個方向不再受觀測者朝向的影響，而是完全依賴于地球的自轉(zhuǎn)與太陽的東升西落，此時描述的方向更加準(zhǔn)確。

四年級第二學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)對來確定位置，這其實相當(dāng)于平面直角坐標(biāo)系中用一個有序數(shù)對（x，y）來確定平面上的點的位置，物體的位置更加精確，根據(jù)這個有序數(shù)對，我們就可以方便地找到平面上的點。只是這時的數(shù)對還是會受到觀測者朝向與位置的影響。

而六年級第二學(xué)期最后一次學(xué)習(xí)確定位置，則是用帶有角度的方向和距離來確定位置，這相當(dāng)于極坐標(biāo)系中用有序數(shù)對（ρ，θ）來確定平面上的點的位置。因為這時的角度是以南北方向為基準(zhǔn)的，所以不再受到觀測者朝向與位置的影響。

可以看出，小學(xué)階段前兩次學(xué)習(xí)的只是確定方向，而后兩次則是確定平面上一個點的位置；四年級時的數(shù)對會受到觀測者朝向與位置的影響，而六年級的方向和距離則不再受觀測者朝向與位置的影響，描述上更加準(zhǔn)確。

所以小學(xué)階段四次學(xué)習(xí)確定位置的方法，是在螺旋中不斷提高要求，使得確定位置的方法越來越精確。我們在教學(xué)時，可以和學(xué)生一起回顧前面幾次確定位置的方法，分析它們之間的區(qū)別，明確表示方法的不同要求，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識用方向和距離確定位置的方法，加深理解并鞏固應(yīng)用。

四、橫向拓展

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到類似的具有“約定俗成”的情形，如果我們能夠和學(xué)生探究“約定俗成”背后的豐富內(nèi)涵，則會讓學(xué)生對這一數(shù)學(xué)知識有一個更加全面、深刻的認(rèn)識，從而更好地理解掌握。

（一）分?jǐn)?shù)分成真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)兩大類

在認(rèn)識了分?jǐn)?shù)的意義之后，我們根據(jù)分子和分母的大小關(guān)系，將分?jǐn)?shù)進行分類，一般分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)兩大類。

在通過實踐操作得出許多具體的分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，我們讓學(xué)生獨立進行分類。多數(shù)學(xué)生是將這些分?jǐn)?shù)分成三類，即分子小于分母、分子等于分母和分子大于分母這三類。隨后教師會告訴學(xué)生，我們一般把分子等于分母和分子大于分母的分?jǐn)?shù)合并在一起作為一類，從而將全體分?jǐn)?shù)分為兩大類：分子小于分母的分?jǐn)?shù)稱為真分?jǐn)?shù)，而分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)稱為假分?jǐn)?shù)。

對于這樣的“約定”分類，學(xué)生能夠接受，但不知其所以然，不知道為什么要把“分子等于分母和分子大于分母”這兩類合并在一起統(tǒng)稱為假分?jǐn)?shù)。以后在遇到“假分?jǐn)?shù)”的有關(guān)命題時，也總是會忽略掉“分子等于分母（即分?jǐn)?shù)值等于1）”的這種假分?jǐn)?shù)，而總是認(rèn)為假分?jǐn)?shù)就是“分子大于分母（即分?jǐn)?shù)值大于1）”的分?jǐn)?shù)，所以經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。

事實上，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念是人們在認(rèn)識自然的過程中逐漸形成的，而并非是生硬地“人為約定”的。最開始，當(dāng)需要把一些物體平均分給幾個人，而每人得到的數(shù)量小于1個時，就涉及到要平均分成若干份，每人取出其中的幾份，這就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。比如一大塊肉的３/5，就表示把這塊肉平均分成5份，從中取出了3份。這時出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)都是分子小于分母的分?jǐn)?shù)，而對于5/5、7/5之類的分?jǐn)?shù)是不可能出現(xiàn)的，因為把物體平均分成5份，然后把這5份都取走，也就沒有分的必要；而平均分成5份之后，更加不可能取走其中的7份，因此這些分?jǐn)?shù)是毫無意義的，是不可能真實存在的，是虛假的。

所以當(dāng)時的人們才把分物體的過程中自然形成的分子小于分母的分?jǐn)?shù)稱為“真分?jǐn)?shù)”（所謂真正的分?jǐn)?shù)），而把分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)稱為“假分?jǐn)?shù)”（即虛假的、沒有意義的分?jǐn)?shù)）。當(dāng)然，后來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了假分?jǐn)?shù)的實際應(yīng)用價值，但是這個名稱已經(jīng)根深蒂固了，就一直延續(xù)至今。

現(xiàn)在我們能夠知道，不管是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)，其實都是真正的分?jǐn)?shù)，名稱只能表明遠(yuǎn)古先人遇到這些數(shù)時的最初態(tài)度而已。一旦學(xué)生了解了分?jǐn)?shù)發(fā)展的完整過程，就會對分?jǐn)?shù)（尤其是假分?jǐn)?shù)）有一個更深刻的認(rèn)識，也就能夠充分理解并接受分?jǐn)?shù)的這種分類方法了。

（二）非零自然數(shù)分成1、素數(shù)與合數(shù)三大類

在學(xué)習(xí)了因數(shù)和倍數(shù)的知識之后，我們把非零自然數(shù)按照因數(shù)的個數(shù)進行分類，一般是分成1、素數(shù)和合數(shù)三大類。

我們先寫出1～12各數(shù)的因數(shù)，并統(tǒng)計其因數(shù)的個數(shù)，然后讓學(xué)生思考怎么進行分類，分成哪幾類。多數(shù)學(xué)生會想到根據(jù)因數(shù)的個數(shù)來進行分類，比如只有一個因數(shù)的為第一類，只有兩個因數(shù)的為第二類，只有三個因數(shù)的為第三類……這時我們會告訴學(xué)生，根據(jù)剛才的分類方法，需要把全體非零自然數(shù)分成非常多的類型（其實應(yīng)該是無限多類），所以人們一般把因數(shù)個數(shù)多于兩個的非零自然數(shù)全部合并成一大類，稱為合數(shù)；而把因數(shù)只有兩個的自然數(shù)作為一類，稱為素數(shù)；最后，1作為單獨的一類。這樣，非零自然數(shù)就分成1、素數(shù)與合數(shù)三大類。

在這里，學(xué)生同樣會產(chǎn)生疑問，為什么要把因數(shù)個數(shù)多于兩個的那么多非零自然數(shù)全部合并成一類，而因數(shù)只有兩個的自然數(shù)單獨作為一類，這樣的分類似乎有些不對等，有什么特殊用意？這個疑問會影響學(xué)生對素數(shù)和合數(shù)這兩個概念的正確理解與運用。

事實上，“素數(shù)”這個名稱表示不可分的數(shù)，它是組成其他整數(shù)的基礎(chǔ)，類似于物質(zhì)世界中的原子。任何一個合數(shù)都可以寫成若干個比它本身小的整數(shù)相乘的形式，而素數(shù)卻不能這樣表示，而只能寫成1和它自身相乘的形式。同時，用若干個同樣大小的小正方形拼成長方形，如果小正方形的個數(shù)是合數(shù)，那么拼成的長方形的形狀是不唯一的，存在至少兩種不同的拼法；而當(dāng)小正方形的個數(shù)是素數(shù)，那么拼成的長方形的形狀是唯一的。其中的關(guān)鍵就在于，素數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，因此只能寫成1與它本身相乘的形式；而合數(shù)除了1和它本身這兩個因數(shù)以外，還有別的因數(shù)，因此因數(shù)的個數(shù)多于兩個，這是它們的本質(zhì)區(qū)別。所以區(qū)分素數(shù)和合數(shù)，其出發(fā)點并不是看因數(shù)有多少個，而關(guān)鍵是看除了1和它本身以外，有沒有別的因數(shù)，能不能進行“分解”，這是分類的關(guān)鍵所在。

當(dāng)學(xué)生知道了這一點，對于素數(shù)和合數(shù)分類的問題也就有了更深刻的認(rèn)識。

類似于這樣的問題還有很多，我們在遇到這些“約定俗成”的情形時，要盡量拓展相關(guān)的教學(xué)信息，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)聯(lián)系，和學(xué)生一起探究“約定俗成”背后的人文、科學(xué)因素，探尋數(shù)學(xué)的文化淵源，幫助學(xué)生充分理解并接受數(shù)學(xué)知識的形成過程，這樣定會演繹出課堂的別樣精彩。

【責(zé)任編輯 王? ?悅】