整體思想在解高考題中綻放
——以2022年浙江高考解答題為例

洪昌強(qiáng)

(臺州市第一中學(xué),浙江 臺州 318000)

很多學(xué)生認(rèn)為2022年浙江高考試題運(yùn)算量較大,直接影響了高考得分.試題的運(yùn)算量大在何處?造成運(yùn)算困難的原因又在何處?筆者對各個(gè)試題的解題思維過程進(jìn)行分析,不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生在處理問題時(shí),缺乏整體思想.下面對浙江卷的5道解答題進(jìn)行剖析.

1 善用關(guān)系,化繁為簡

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面積．

圖1 2022年浙江數(shù)學(xué)高考18題圖

評注此題多數(shù)學(xué)生直接利用正弦、余弦定理進(jìn)行求解,若從幾何圖形的整體性出發(fā),根據(jù)條件所提供的信息,從整體上把握三角形邊、角之間的內(nèi)在關(guān)系,就能輕松、簡捷地得到結(jié)果.

例2 (2022年浙江省數(shù)學(xué)高考第20題第(2)問)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-1,公差d>1．記{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)．若對于每個(gè)n∈N*,存在實(shí)數(shù)cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列,求d的取值范圍．

分析從條件知{an}是等差數(shù)列,且a1=-1,公差d>1,多數(shù)人受此影響,將an,an+1,an+2用n,d進(jìn)行表示,即

an=-1+(n-1)d,

an+1=-1+nd,

an+2=-1+(n+1)d.

代入(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),展開后發(fā)現(xiàn)等式中項(xiàng)數(shù)較多,運(yùn)算量較大.對于運(yùn)算能力薄弱的學(xué)生,很難完成接下去的推理過程. 若從整體思想考慮,先直接將(an+1+4cn)2=(an+cn)·(an+2+15cn)展開,整理成

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),對局部先進(jìn)行化簡,即

8an+1-15an-an+2=6d-8an.

因?yàn)閍1=-1,公差d>1,

故n≥3時(shí),an≥d都成立.

對于n=1時(shí),△≥0顯然成立.

當(dāng)n=2時(shí),由△≥0,解得1

所以d的取值范圍為(1,2].

評注本題充分利用an,an+1,an+2三者之間的特殊關(guān)系,對“an,an+1,an+2”先采用按兵不動(dòng)的方法,保持“原貌”的整體性,這樣在等式變形時(shí),擺脫局部細(xì)節(jié)中一時(shí)難以弄清的數(shù)量關(guān)系的糾纏,避免了因項(xiàng)數(shù)多所帶來的不必要的繁瑣運(yùn)算.

2 會(huì)用補(bǔ)形,化丑為美

例3 (2022年浙江省數(shù)學(xué)高考第19題第(2)問)如圖2,已知四邊形ABCD和四邊形CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°．設(shè)M,N分別為AE,BC的中點(diǎn),求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．

圖2 2022年浙江高考19題圖 圖3 補(bǔ)形圖

分析本題的幾何體是一個(gè)五面體,多數(shù)學(xué)生使用向量坐標(biāo)法進(jìn)行處理,此法思路比較簡單,但需要建立空間直角坐標(biāo)系,并求平面ADE的法向量坐標(biāo)和直線BM的向量坐標(biāo),有一定的運(yùn)算量.對于運(yùn)算能力較弱的學(xué)生,容易造成失分.此題若用幾何綜合法進(jìn)行處理,關(guān)鍵是找平面ADE的垂線所在的位置.由于題目的背景是一個(gè)五面體,形狀有點(diǎn)“丑”,致使直線BM與平面ADE所成角被“丑”化,若通過補(bǔ)形的方法,過點(diǎn)A作AC1∥CB,AF1∥BF,CF∥C1F1,如圖3,將原來的五面體補(bǔ)成一個(gè)完美的三棱柱BCF-AC1F1,易證這是一個(gè)正三棱柱.

又因AD=DE,M為AE的中點(diǎn),根據(jù)幾何體的對稱性,易證DM⊥平面ABFE,即平面ADE⊥平面ABFE.

過點(diǎn)B作BH⊥AE,點(diǎn)H為垂足,則BH⊥平面ADE,∠BMH就是直線BM與平面ADE所成角.

在直角梯形ABFE中,

評注在研究不規(guī)則的幾何體時(shí),幾何體的一些重要幾何特征被遮掩,導(dǎo)致解題思路受阻.若通過補(bǔ)形方法,將幾何體從“非常規(guī)形”轉(zhuǎn)化為“常規(guī)形”,幾何體的性質(zhì)往往會(huì)突顯出來,從中可以獲得有價(jià)值的重要解題信息.

3巧用對稱,以一當(dāng)二

圖4 2022年浙江高考第21題圖

分析本題涉及重要的點(diǎn)有A,B,C,D,P,Q,其中A,B,C,D是動(dòng)點(diǎn).根據(jù)條件可知,A與C,B與D分別關(guān)于點(diǎn)P“對稱”,同時(shí),A與C之間的關(guān)系和B與D之間的關(guān)系又具有類同性.

評注一個(gè)數(shù)學(xué)問題中的所有信息都是一個(gè)有機(jī)整體,它們之間有千絲萬縷的聯(lián)系,而各部分信息之間的精彩配合往往是解題成功的必要前提,因此解題時(shí)要從整體的視角去審視問題,充分挖掘題目中有價(jià)值的信息,并發(fā)揮這些信息在解題中的作用,這樣常常收到事半功倍之功效.

4 活用代換,化難為易

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

由于方程結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,要了解這三個(gè)根的分布情況,需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行處理,設(shè)

因?yàn)?

又因?yàn)閤1

所以0

由g(x1)=g(x3)=0,得

①

②

③

④

⑤

根據(jù)⑤式是齊次式的特征,再設(shè)

則⑤式又變形為

有大格局的胸懷是一個(gè)人的重要品質(zhì).因此,在認(rèn)識數(shù)學(xué)問題時(shí),要重視從整體上把握題目的條件、結(jié)論及數(shù)量關(guān)系,認(rèn)清整體與局部之間的關(guān)系,把握問題的本質(zhì).在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),應(yīng)注重從數(shù)學(xué)問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征上進(jìn)行處理.