高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧思考

沈子儒

(安徽省利辛縣第一中學(xué),安徽 亳州 236700)

不等式是用符號大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小關(guān)系的一類式子.在高中數(shù)學(xué)中,涉及題型比較廣泛,包括選擇題、填空題與計算題等,假如學(xué)生沒有透徹理解不等式知識,難以熟練掌握解題技巧,他們就無法很好地解題.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視不等式解題技巧的思考,利用各種常見的題型組織學(xué)生進行集中訓(xùn)練,使其結(jié)合具體題目使用相應(yīng)的技巧分析和解答,不斷提高他們的解題水平,反過來輔助對理論知識的深化理解.

1 不等式的反證解題技巧

不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的一部分內(nèi)容,通常以各種題型出現(xiàn)在平常練習(xí)與考試當(dāng)中.解答有關(guān)不等式的題目時往往要用到各種技巧,其中反證方式應(yīng)用的較為廣泛,這是以正難則反為基礎(chǔ)形成的,在證明類的問題中使用有著不錯的效果.對此,高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生在處理不等式證明類題目時采用反證法,使其將整個證明過程變得更為便捷與簡單,將不等式證明問題的解答變得更為高效,幫助他們掌握不等式證明題的解題技巧[1].

例1已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,請結(jié)合以上條件證明a>0,b>0,c>0.

解析根據(jù)題干中提供的條件abc>0,能夠得出a,b,c均不可能是0,這里要用到反證的方式.

假設(shè)a<0,則bc<0,又因為a+b+c>0,所以b+c>-a,由此可以得到a(b+c)<0.

所以a(b+c)+bc<0.

不過這一式子明顯同題干中提供的信息相沖突,所以說這個假設(shè)是無法成立的,也就是表明a>0,b>0,c>0.

2 不等式的換元解題技巧

處理部分?jǐn)?shù)學(xué)問題時,把其中一個式子當(dāng)作一個整體來看待,且運用一個變量進行替換,從而將問題變得更為簡單,這就是常用的換元法,廣泛適用于方程、函數(shù)、不等式等解題實踐中,根本思想是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵在于構(gòu)建“元”與設(shè)置“元”.在高中數(shù)學(xué)不等式解題訓(xùn)練中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元解題技巧,把研究對象進行變換,問題轉(zhuǎn)移至新對象上面,目的是讓非標(biāo)準(zhǔn)的問題變得標(biāo)準(zhǔn)化,復(fù)雜問題變得簡單化,最終讓他們輕松解答不等式問題[2].

例2 已知a,b,c∈R+,請證明abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

解析使用換元法假設(shè)x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,這時可以轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明

(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

由于x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

因為a,b,c∈R+,所以當(dāng)xyz<0時,可以得到(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

當(dāng)xyz>0時,有x,y,z∈R+,假如x,y,z三者當(dāng)中有任意兩個比0小,那么c≤0與c>0是相矛盾的,由此得到

則(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

首先檢測500條時態(tài)RDF數(shù)據(jù)的不一致性，首次計算節(jié)點的生命區(qū)間。左邊就是存在不一致性數(shù)據(jù)，右邊是修改后的一致性數(shù)據(jù)。

然后把x,y,z代入到原式中可以得到

abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

3 用不等式性質(zhì)解題技巧

在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中,教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對不等式基本性質(zhì)的合理運用,這是一項最基礎(chǔ)的解題方式與技巧,可以應(yīng)用至各種類型的不等式試題中,不少題目都要用到不等式的基本性質(zhì).如:不等式具有傳遞性,也就是如果a>b,b>c,則a>c;不等式還有可加性特點,假如a>b,就表明a+c>b+c,c>0時,ac>bc.所以,學(xué)生可以利用不等式的基本性質(zhì)進行解題,能夠快速找到解題的切入口,繼而提高他們解題的準(zhǔn)確率[3].

例3 平面上有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,每三個圓都不相交于同一個點,請證明n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

解析(1)歸納法,當(dāng)n=1時,一個圓可以把平面分成兩個部分,即f(1)=12-1+2=2,故命題成立.

(2)假設(shè)n=k,該命題成立,也就是說k個圓將平面分成f(k)=k2-k+2個部分,則設(shè)第k+1個圓的圓心為O,根據(jù)題意可知它與k個圓中每個圓相交于兩個點,又無三個圓相交于同一點,那么與其它k個圓相交于2k個點,以此結(jié)合題目中提供的條件有效證明出命題的結(jié)論,這是對不等式基本性質(zhì)的充分運用.

4 線性規(guī)劃題的解題技巧

例4已知a>0,參數(shù)x,y會滿足以下三個條件,x+y≤3,x≥1,y≥a(x-3),如果z=2x+y的最小值為1,那么a的值是什么?

圖1 坐標(biāo)軸示意圖

5 用數(shù)形結(jié)合解不等式題

數(shù)形結(jié)合指的是“數(shù)”與“形”之間的有機結(jié)合,這是數(shù)學(xué)思想方法中最為常用的一種,不僅可以用來解答不等式相關(guān)的試題,還能夠運用至其它數(shù)學(xué)試題的解答中,與其它解題技巧相比,數(shù)形結(jié)合能夠?qū)㈩}目變得更為形象與直觀,有助于學(xué)生快速找到解題思路,讓他們高效解題.當(dāng)運用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式類題目時,高中生要注重“以形助數(shù)”的應(yīng)用,將“數(shù)”由“形”的形式呈現(xiàn)出來,使其找到更簡便的解題方法,鍛煉他們的解題技巧[6].

例5 已知關(guān)于x的不等式x2≤4-|2x+m|,如果至少存在一個x≥0使得該不等式成立,那么m的取值范圍是什么?

解析對原不等式進行整理后得到|2x+m|≤-x2+4,將不等式的左右兩邊均看作成函數(shù),即為y=|2x+m|與y=-x2+4,這里要從反面思考問題,即:如果對于任意的x≥0,均有|2x+m|>-x2+4,在同一個平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)圖象,如圖2所示,根據(jù)圖片信息能發(fā)現(xiàn)當(dāng)m的值發(fā)生變化時,函數(shù)y=|2x+m|的圖象將會沿著x軸進行運動,圖2中兩個臨界條件,分別對應(yīng)于m>4,或者m<-5,由此表明要想滿足題意m的取值范圍應(yīng)該是[-5,4].

圖2 函數(shù)圖象示意圖

6 不等式高次題解題技巧

在高中數(shù)學(xué)不等式相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中,高次不等式問題不僅屬于一項重要教學(xué)內(nèi)容,還是一大難點,處理此類不等式問題時,最經(jīng)常出現(xiàn)錯誤的地方就是劃分區(qū)域時容易混亂,無法準(zhǔn)確判斷出特殊的區(qū)域或者特殊點.對此,高中數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合高次不等式開展專題訓(xùn)練,指引學(xué)生采用因式分解的方法進行解題,借此把高次不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛尾坏仁?復(fù)雜問題作簡化處理,將問題變得更為清晰明了,使其極易找到解題的切入點,繼而掌握解題技巧[7].

例6 求解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.

解析結(jié)合題目中給出的三次不等式方式能夠畫出如圖3所示的圖象,第一步,畫出一個坐標(biāo)軸,在坐標(biāo)軸上面標(biāo)出1,2,3三個點的位置,由此將坐標(biāo)軸劃分為4個區(qū)間;第二步,把靠近右邊區(qū)間看作為正,其它的看作為正負(fù)相間,在各個區(qū)間內(nèi)標(biāo)出正負(fù)號;第三步,用“+”表示不等式大于0,用“-”表示不等式小于0,這樣能更為形象地觀察到不等式的區(qū)域,可明顯得出x的取值范圍是13.

圖3 不等式曲線圖

使用“穿根法”進行解題時,應(yīng)先畫出一個坐標(biāo)軸,再在坐標(biāo)軸上面繪制出不等式的情況,結(jié)合所畫坐標(biāo)軸及穿線順序判斷不等式的大小情況,這一解題技巧顯得簡單、直觀,解題難度有所降低.

總而言之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,解題訓(xùn)練是相當(dāng)關(guān)鍵的構(gòu)成部分,是學(xué)生運用所學(xué)知識處理問題的主要途徑與渠道,尤其是在不等式教學(xué)實踐中,教師要充分考慮到不等式知識的廣泛運用,精心設(shè)計多種多樣的題型展開不等式解題訓(xùn)練,使其通過親身實踐掌握大量的不等式解題技巧,逐漸樹立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,全面提升他們的數(shù)學(xué)解題水平.