基于線性矩陣不等式的水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)滑模容錯控制

胡志平，鄒屹東，陳金保，鄭 陽，肖志懷

（1. 湖北白蓮河抽水蓄能有限公司，湖北 黃岡 438600； 2. 武漢大學(xué)動力與機(jī)械學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引 言

在國家“雙碳”背景下，光伏與風(fēng)電在電網(wǎng)中的裝機(jī)容量不斷擴(kuò)大。為了加強(qiáng)電網(wǎng)的安全與穩(wěn)定性，水電能源作為一種優(yōu)質(zhì)的調(diào)峰調(diào)頻電源，將更加頻繁地參與電網(wǎng)功率調(diào)節(jié)，對水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。調(diào)節(jié)系統(tǒng)是水電站系統(tǒng)的重要組成部分，影響著機(jī)組乃至互聯(lián)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。針對上述問題，在過去的十年中，水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制技術(shù)已得到廣泛研究，極大提高了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的運(yùn)行可靠性、可用性和安全性。

PID 控制是一種經(jīng)典的、廣泛使用的工業(yè)控制方法，在水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)［1］提出了光伏功率擾動環(huán)境下的水電機(jī)組模糊PID 控制研究。黃金龍等人［2］研究了一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與智能算法的自適應(yīng)PID 控制器，以有效提高調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制質(zhì)量。文獻(xiàn)［3］提出了一種基于迭代學(xué)習(xí)的用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)在線參數(shù)優(yōu)化方法，用以提高風(fēng)電功率波動環(huán)境下水電機(jī)組穩(wěn)定性能。盡管PID控制具有在線計(jì)算量小、易于程序?qū)崿F(xiàn)、實(shí)時性好等優(yōu)點(diǎn)，但其控制參數(shù)的設(shè)定通常只針對幾組固定工況。在“雙碳”背景下，電網(wǎng)靈活運(yùn)行要求越來越高，水電機(jī)組運(yùn)行工況常發(fā)生大范圍變動，固定的PID 參數(shù)可能導(dǎo)致控制器性能下降。隨著控制理論與應(yīng)用的研究不斷發(fā)展，一些新穎的控制理論被應(yīng)用到水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，如自適應(yīng)控制［4］、魯棒控制［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［6］等，但上述大多數(shù)控制方案都是基于控制器不會失效的假設(shè)而提出。

容錯控制可以消除或抑制機(jī)電系統(tǒng)控制信號的不確定性與擾動影響［7］。文獻(xiàn)［8］提出了基于模糊觀測器的容錯控制方案，并對故障影響執(zhí)行機(jī)構(gòu)的風(fēng)機(jī)進(jìn)行控制，從而確保轉(zhuǎn)速跟蹤給定參考轉(zhuǎn)速少受執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障影響。文獻(xiàn)［9］使用自適應(yīng)時間延遲控制對具有同時執(zhí)行器和傳感器故障的風(fēng)力渦輪機(jī)進(jìn)行容錯控制。上述文獻(xiàn)均針對風(fēng)電機(jī)組進(jìn)行容錯控制研究，但目前關(guān)于水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)容錯控制的研究較少。作為優(yōu)質(zhì)的調(diào)峰調(diào)頻電源，水電機(jī)組的調(diào)節(jié)系統(tǒng)能夠在部件或子系統(tǒng)發(fā)生故障的情況下，仍然保持較好的性能十分重要。此外，由于機(jī)組過渡過程可能會對水電站系統(tǒng)造成較大損害［10］，而滑?？刂瓶梢员ＷC系統(tǒng)在較短時間內(nèi)穩(wěn)定，具有改善系統(tǒng)過渡過程的優(yōu)點(diǎn)［11］，因此，本文將容錯控制與滑模控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了基于線性矩陣不等式的水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)滑模容錯控制策略，包含等效滑?？刂坪洼o助反饋控制分析兩個子模塊。相較于現(xiàn)有的控制策略，本文所提控制策略能夠有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)容錯控制能力。

1 水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型描述

水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個水力、機(jī)械以及電氣多物理場強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)。本文重點(diǎn)研究水輪發(fā)電機(jī)組及其輸水流道的動態(tài)過程，因此在建模過程中，將負(fù)荷在系統(tǒng)中的作用以負(fù)荷自調(diào)節(jié)系數(shù)的方式加以簡化。水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的被控對象可如圖1所示。

圖1 調(diào)節(jié)系統(tǒng)被控對象框圖Fig.1 Turbine regulation system control block diagram

1.1 接力器數(shù)學(xué)模型

控制器給出的控制律，接力器對控制信號進(jìn)行放大和變換，以獲得足夠的功率來驅(qū)動水輪機(jī)導(dǎo)葉，其數(shù)學(xué)模型Gg(s)可以表示為：

式中：Ty為水輪發(fā)電機(jī)接力器時間常數(shù)。

1.2 水輪機(jī)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，水輪機(jī)及其有壓引水系統(tǒng)的剛性水擊傳遞函數(shù)Gt(s)為：

式中：Tw為引水系統(tǒng)的水流慣性時間常數(shù)；ey為水輪機(jī)主動力矩與其導(dǎo)葉開度之間的傳遞系數(shù)；ex為水輪機(jī)力矩與其轉(zhuǎn)速之間的傳遞系數(shù)；eh為水輪機(jī)力矩與其水頭之間的傳遞系數(shù)；eqy為水輪機(jī)流量與其導(dǎo)葉開度之間的傳遞系數(shù)；eqx為水輪機(jī)流量與其轉(zhuǎn)速之間的傳遞系數(shù)；eqh為水輪機(jī)流量與其之間水頭傳遞系數(shù)。

1.3 發(fā)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

發(fā)電機(jī)模型采用傳遞函數(shù)型發(fā)電機(jī)負(fù)荷動態(tài)方程，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可描述為：

式中：Ta為水輪發(fā)電機(jī)慣性時間常數(shù)；xe為機(jī)組轉(zhuǎn)速偏差；en為發(fā)電機(jī)（負(fù)荷）力矩對轉(zhuǎn)速傳遞系數(shù)；mg0(s)表示外負(fù)荷對調(diào)節(jié)系統(tǒng)的擾動。

1.4 調(diào)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

在不考慮負(fù)載擾動的狀態(tài)下，該水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可以描述為：

其中狀態(tài)矩陣A與B，系統(tǒng)輸出矩陣C與D，以及狀態(tài)向量x(t)定義如下：

式中：y表示主接力器行程相對值；h表示蝸殼水壓相對值；u表示控制輸入。

參考文獻(xiàn)［12］的思想，對水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出變量xe后添加一積分環(huán)節(jié)，即xi=Ki∫xedt（Ki為積分系數(shù)），以消除機(jī)組轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差。那么，含積分環(huán)節(jié)的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)狀態(tài)方程可表示為：

其中：

2 容錯滑模控制器設(shè)計(jì)

水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻繁調(diào)節(jié)會導(dǎo)致其出現(xiàn)不同程度的老化。在這種非極端故障出現(xiàn)的情況下，調(diào)節(jié)系統(tǒng)表現(xiàn)出控制信號的調(diào)節(jié)不足，即控制器的輸出信號存在不確定與干擾。在式（5）所描述的理想調(diào)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，此時系統(tǒng)用狀態(tài)空間微分方程可描述為：

其中：不確定與干擾項(xiàng)|Θ(x，t)|≤δf；δf為系統(tǒng)反映出的控制故障上限。

針對式（6）所描述的考慮調(diào)節(jié)系統(tǒng)不確定性與干擾的模型，本文結(jié)合基于等效的滑?？刂评碚摵突谳o助反饋的滑模控制分析，設(shè)計(jì)水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的滑模容錯控制律。

2.1 基于等效的滑?？刂评碚?/h3>

定義與狀態(tài)相關(guān)的滑模面S(t)如式（7）所示：

其中，矩陣P為一個正定矩陣；通過矩陣P的合理設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)S(t) →0。

對于水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)，本文所設(shè)計(jì)的容錯滑?？刂破鞯臄?shù)學(xué)表達(dá)式可描述為：

根據(jù)滑?？刂评碚撝械牡刃г恚〈藭r的控制不確定與干擾函數(shù)Θ(x，t)為0。由式（5）描述的調(diào)節(jié)系統(tǒng)線性系統(tǒng)的理想數(shù)學(xué)模型，可以推導(dǎo)出：

進(jìn)而，可得到容錯滑?？刂破鞯牡刃Э刂坡蓇eq(t)部分的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，ε0＞0；sgn(*)為符號函數(shù)。

選取Lyapunov函數(shù)為：

其中的S(t)的導(dǎo)數(shù)有以下推導(dǎo)結(jié)果：

因此，可以推導(dǎo)求得Lyapunov函數(shù)V(t)的導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)，Lyapunov 穩(wěn)定性定理，當(dāng)(S) ≤-ε0|S(t)|時，當(dāng)t→∞，可以使得S(t) →0；但是，由于式（7）中對于S(t)的定義，當(dāng)式（11）的一階導(dǎo)數(shù)滿足(S) ≤-ε0|S(t)|并不能保證水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的狀態(tài)x(t) →0。對此，需要進(jìn)一步詳細(xì)分析。

采用線性矩陣不等式來設(shè)計(jì)的正定矩陣P，為了求解控制律當(dāng)中的矩陣P，參考文獻(xiàn)［13］，將文本所設(shè)計(jì)的控制律（8）改成為：

其中，v(t) =Kx(t) +ueq(t) +un(t)。

代入式（14）所描述的控制律，此時水電機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為：

其中，=A′-B′K，通過設(shè)計(jì)K使得為Hurwitz 矩陣（多項(xiàng)式的所有根都有負(fù)實(shí)部），這樣可以確保閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

通過這個矩陣P的設(shè)計(jì)可以有效地調(diào)節(jié)x的收斂過程，并有利于線性矩陣不等式的求解。定義Lyapunov函數(shù)V(t)為：

對式（15）求一階導(dǎo)數(shù)可以得到：

其中，Q1=P(A′+B′K)；Q=QT1+Q1。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)x指數(shù)收斂，即Lyapunov 函數(shù)V(t)的導(dǎo)數(shù)能夠滿足：

可以定義如下的式子：

取式（17）中的αP+Q＜0，α＞0，能夠滿足：

由此可以解得：

如果t→∞，那么V(t) →0，從而有x→0 是以指數(shù)收斂的。

線性矩陣不等式（17）中，矩陣Q中包含有矩陣P和矩陣K，那么通過公式（17）中的Q進(jìn)行展開可以得到：

對式（20）左右同乘P-1，那么可以得到：

令F=KP-1以及N=P-1，則P-1KT=FT，由式（21）可以得到一個線性矩陣不等式為：

根據(jù)P的定義，可以設(shè)計(jì)另一個線性矩陣不等式為：

通過聯(lián)立式（22）和（23），并且設(shè)置合適的指數(shù)大小α數(shù)值，就可以求得有效的反饋矩陣K。

4 仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

基于MATLAB/Simulink 仿真環(huán)境，搭建了如圖1 所示的混流式機(jī)組調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，從而驗(yàn)證所提控制器的有效性。并選取機(jī)組實(shí)際運(yùn)行工況進(jìn)行仿真，機(jī)組相關(guān)仿真參數(shù)如表1所示。其中，接力器時間常數(shù)Ty= 0.2，機(jī)組慣性時間常數(shù)Ta= 9.06。

表1 機(jī)組運(yùn)行參數(shù)Tab.1 Operating parameters of the unit

為了通過對比突出所提控制策略的優(yōu)異性能，使用文獻(xiàn)［14］中的智能優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的 PID 控制器最佳參數(shù)為Kp= 10，Ki= 0.6，Kd= 0.02；最佳PI 控制器參數(shù)為Kp= 20，Ki= 0.663 2。采用的滑模容錯控制器如式（8）所示，定義δf= 0.3，ε0= 0.15，α= 3。并采用飽和函數(shù)sat(*)代替切換函數(shù)sgn(*)，sat(*)中的邊界層厚度為Δ= 0.05。

機(jī)組所在某個工況的運(yùn)行參數(shù)如表1 所示。根據(jù)這些參數(shù)，聯(lián)立矩陣A′與矩陣B′，并結(jié)合式（22）和（23）。利用MATLAB 中的線性矩陣不等式求解工具箱（LMI Toolbox）［13］。經(jīng)求解可得到矩陣F和P的具體數(shù)值。

那么，狀態(tài)反饋矩陣K由K=FP可以解得：

4.1 仿 真

本節(jié)仿真水電機(jī)組處于表1 參數(shù)所描述的工況。同時，考慮引入控制的不確定性與干擾大小為：Θ(t) = 0.3sint，該函數(shù)用于描述系統(tǒng)時間變化的隨機(jī)故障。

機(jī)組甩75%負(fù)荷擾動后的響應(yīng)曲線如圖2 所示。從圖2 中可以看出，對于機(jī)組甩75%負(fù)荷擾動，PI、PID、滑模容錯控制（SMC）都可以穩(wěn)定下來。但是，由于引入了控制不確定性與擾動，PI與PID控制并不能很好地使得系統(tǒng)完全穩(wěn)定下來。此外，PID 與PI 控制下的機(jī)組在該工況下蝸殼水壓相對值升上值較大，而SMC 控制下的機(jī)組能夠維持機(jī)組的蝸殼水壓相對值值保持在合適的范圍內(nèi)。

圖2 甩75%負(fù)荷擾動仿真響應(yīng)曲線Fig.2 Simulation response curve of 75% load dumping disturbance

如圖3 所示，該圖仿真了機(jī)組增加10%負(fù)荷時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。從該圖3（a）可以發(fā)現(xiàn)，滑模容錯控制下的機(jī)組轉(zhuǎn)速響應(yīng)穩(wěn)定較為迅速，能夠在不到5 s 時間內(nèi)達(dá)到基本穩(wěn)定狀態(tài)。同時，從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，由于引入了控制的不確定性與干擾，傳統(tǒng)的最優(yōu)PID 與PI 控制無法做到有效的調(diào)節(jié)，此時機(jī)組接力器行程以及蝸殼水壓相對值出現(xiàn)了反復(fù)的振蕩，這對機(jī)組的安全與穩(wěn)定性帶來極大的危險(xiǎn)。而滑模容錯控制作用下的機(jī)組能夠使得這部分振蕩量維持在極小的范圍內(nèi)。

圖3 增加10%負(fù)荷擾動仿真響應(yīng)曲線Fig.3 Simulation response curve of 10% load increase perturbation

5 結(jié) 論

本文針對的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的控制不確定與干擾，提出了一種基于線性矩陣不等式的狀態(tài)反饋滑模容錯控制器。該控制器利用等效滑模以及輔助反饋滑模控制分析設(shè)計(jì)。并分別基于線性矩陣不等式和Lyapunov 穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)了控制律調(diào)整和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。結(jié)果表明，在考慮控制不確定性與干擾時， 所提控制方法能夠有效提高機(jī)組穩(wěn)定性，并且減少機(jī)組蝸殼水壓波動，該方法對于提高機(jī)組運(yùn)行穩(wěn)定與安全具有重要意義。