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    經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較與選擇

    2023-08-27 15:41:53慕平慕星
    人民黃河 2023年7期
    關(guān)鍵詞:誤差

    慕平 慕星

    摘 要:20 世紀(jì)初學(xué)者們研究提出了不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式,目前世界各國(guó)提出的經(jīng)驗(yàn)頻率公式多達(dá)數(shù)十種。采用不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式,直接影響后續(xù)的分析、計(jì)算及參數(shù)擬定等,這對(duì)設(shè)計(jì)洪水的估算結(jié)果有明顯影響。通過(guò)對(duì)各類(lèi)經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較,分析各經(jīng)驗(yàn)頻率公式的相對(duì)偏差,并用實(shí)測(cè)暴雨洪水系列初步驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)頻率公式的差別大小,得出洪水系列的最大洪水重現(xiàn)期誤差最大,20 a 一遇以下洪水重現(xiàn)期誤差相對(duì)較小。為了盡可能地減小在設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差,以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差,在實(shí)際應(yīng)用時(shí),需采用便于計(jì)算并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式。對(duì)相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列,推薦選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式的中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率(或重現(xiàn)期) 估計(jì),建議將第一項(xiàng)(第二項(xiàng))、末項(xiàng)的頻率(或重現(xiàn)期)作為參考值。

    關(guān)鍵詞:設(shè)計(jì)洪水;經(jīng)驗(yàn)頻率;誤差;中值公式;數(shù)學(xué)期望公式

    中圖分類(lèi)號(hào):P338 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A doi:10.3969/ j.issn.1000-1379.2023.07.009

    引用格式:慕平,慕星.經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較與選擇[J].人民黃河,2023,45(7):48-51,67.

    水文站的實(shí)測(cè)年最大暴雨洪水,每年必定會(huì)發(fā)生并且呈忽大忽小變化,該洪水大小值為隨機(jī)變量。當(dāng)實(shí)測(cè)洪水系列較長(zhǎng)時(shí),這些看似偶然的洪水呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)加以分析。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法估算設(shè)計(jì)洪水存在3 種誤差,即原始資料誤差、理論方法誤差及運(yùn)算誤差[1] 。原始資料誤差主要表現(xiàn)為偶然誤差及系列代表性問(wèn)題;理論方法誤差由理論研究不完善導(dǎo)致,目前只能列出有限的經(jīng)驗(yàn)頻率公式、頻率曲線(xiàn)線(xiàn)型、參數(shù)估計(jì)、適線(xiàn)準(zhǔn)則等供學(xué)者選用,但如何確切選用,國(guó)內(nèi)外尚無(wú)明確定論;運(yùn)算誤差由解算方法不完善導(dǎo)致,可造成系統(tǒng)偏差。上述3種誤差的大小直接影響設(shè)計(jì)洪水成果的可信度。目前,在任何科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,設(shè)計(jì)洪水的誤差及不確定性問(wèn)題是獨(dú)一無(wú)二的[2] 。

    目前,世界各國(guó)提出的經(jīng)驗(yàn)頻率公式多達(dá)數(shù)十種,有的理論研究看似嚴(yán)密,實(shí)際應(yīng)用卻很難達(dá)到基本要求或假定,使問(wèn)題更加復(fù)雜化,如資料系列較短而導(dǎo)致系列的代表性差或系列的均勻性差,極易在運(yùn)算中將誤差放大、傳播,出現(xiàn)更大的系統(tǒng)偏差。采用不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式,直接影響后續(xù)的分析、計(jì)算及參數(shù)擬定等,這對(duì)設(shè)計(jì)洪水的估算結(jié)果有明顯影響。為了盡可能地減小在設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差,以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差,本文重點(diǎn)探討如何選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式及有效減小誤差。

    1.2 各經(jīng)驗(yàn)頻率公式的相對(duì)偏差

    由式(5)可以看出,當(dāng)a 值為0~0.5 時(shí),其修正的經(jīng)驗(yàn)頻率值對(duì)系列的第一項(xiàng)、末項(xiàng)的頻率值影響極大,雖可有效地避免較短系列末項(xiàng)出現(xiàn)頻率為100%的情況,但對(duì)第一項(xiàng)(即m =1 時(shí))的頻率值影響最大,之后隨著m 值的增大,其影響逐漸減小。

    由于實(shí)測(cè)洪水系列長(zhǎng)度較短(多數(shù)n 小于100),因此采用不同的修正經(jīng)驗(yàn)頻率公式對(duì)頻率適線(xiàn)結(jié)果有相對(duì)偏大或偏小的影響?,F(xiàn)列出了n = 60、n = 100 系列及a 取0、0.3、0.5 時(shí)的系列重現(xiàn)期(見(jiàn)表2 和表3)??梢钥闯?,a 取0、0.3、0.5 時(shí)系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期相對(duì)偏差最大。以n =100 為例,a 取0、0.3、0.5 時(shí),系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期分別約為101、143、200 a,第二項(xiàng)重現(xiàn)期相差略大,第二項(xiàng)之后相互間差別迅速減小,到中值項(xiàng)時(shí)的重現(xiàn)期相等,中值項(xiàng)以后a = 0 的重現(xiàn)期較大,a = 0.5的重現(xiàn)期較小。

    當(dāng)n =100 時(shí),a =0.5 與a =0 對(duì)比,第五項(xiàng)以后其重現(xiàn)期相差在10%以下,a =0 時(shí)頻率適線(xiàn)結(jié)果上端偏大、下端偏小,對(duì)洪水適線(xiàn)偏于安全;a = 0.5 時(shí)第一項(xiàng)的重現(xiàn)期是系列長(zhǎng)度的2 倍,適線(xiàn)結(jié)果相對(duì)偏小。當(dāng)n =60 時(shí),a =0.3 與a = 0 以及a = 0.3 與a = 0.5 對(duì)比,第三項(xiàng)以后其重現(xiàn)期相差均在10%以下,這一情況表明,在20 a 一遇以下,各經(jīng)驗(yàn)頻率公式得出的重現(xiàn)期的相對(duì)偏差很小,即在20 a 一遇以下選哪種經(jīng)驗(yàn)頻率公式都可以,選a =0.3 的頻率適線(xiàn)結(jié)果介于取a =0和a =0.5 之間。

    1.3 用實(shí)測(cè)系列初步驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)頻率公式的差別大小

    1)系列的最大及次大洪水重現(xiàn)期。以上提到的各修正后的經(jīng)驗(yàn)頻率公式均依據(jù)相應(yīng)的理論和經(jīng)驗(yàn),并均以n 為無(wú)窮大為前提。但現(xiàn)實(shí)情況中多數(shù)系列n為100 以下,其第一項(xiàng)、第二項(xiàng)的洪水值及重現(xiàn)期是極不穩(wěn)定的,偶然得到的一個(gè)系列中的最大洪水值,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,有的被刷新,有的雖然沒(méi)有被刷新,但次大洪水有可能被不斷替換;隨著時(shí)間的推移,最大洪水重現(xiàn)期在不斷變化,有的系列最大值在80 a 內(nèi)不變,若在80 a 之后的若干年又出現(xiàn)了更大洪水,則原來(lái)在80 多a內(nèi)的第一大洪水,就變?yōu)榈诙蠛樗?/p>

    可以設(shè)想當(dāng)有一個(gè)近1 000 a 的洪水系列,若把這個(gè)相對(duì)的長(zhǎng)系列分為k 個(gè)短系列,每個(gè)短系列含有n 項(xiàng)(60 或80 等)且相互獨(dú)立。那么各個(gè)短系列的洪水可按自大而小的次序排列,則必有其中一個(gè)短系列的最大值是近1 000 a 的洪水系列中的最大值,而k 個(gè)短系列中的最大值是不相同的,甚至差別較大。雖然各個(gè)短系列的第一項(xiàng)重現(xiàn)期按經(jīng)驗(yàn)頻率公式估算是相同的,但最大洪水值相差顯著。

    偶然得到某測(cè)站的n 年較短的暴雨洪水系列,這其實(shí)與上述情況類(lèi)似,其系列中的最大值與n 年內(nèi)這一特定時(shí)期暴雨洪水是否處于偏豐、偏枯等有著極大關(guān)系,系列中若出現(xiàn)較大值或特大值(特小值),這時(shí)采用上述任何經(jīng)驗(yàn)頻率公式估算出的第一項(xiàng)重現(xiàn)期均為不確定值(可以約為n 年一遇,或n ~2n 年一遇,甚至超2n 年一遇),雖然可以再進(jìn)行人為處理,但很難處理到位,受主觀影響較大,并直接影響到后續(xù)排頻。2)20 a 一遇以下洪水重現(xiàn)期。為了進(jìn)一步驗(yàn)證當(dāng)洪水系列相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)各經(jīng)驗(yàn)頻率公式在20 a一遇以下重現(xiàn)期相對(duì)偏差很小,以及對(duì)實(shí)測(cè)的20 a一遇暴雨洪水值的影響(即重現(xiàn)期橫標(biāo)的差異對(duì)實(shí)測(cè)洪水值縱標(biāo)的影響),選取若干組60~70 a、80~90 a、100~120 a及164 a、246 a 暴雨洪水系列,各系列P =5%(20 a 一遇)的洪水值是P =95%(1.05 a 一遇)的洪水值的2.5倍至36 倍。當(dāng)采用a =0 與a =0.3 及a =0 與a =0.45對(duì)比時(shí),統(tǒng)計(jì)其各系列20 a 一遇實(shí)測(cè)暴雨洪水值,平均偏差分別小于1.5%及2.0%,最大偏差分別小于3.5%及4.5%。經(jīng)對(duì)比,其差值大小主要與各系列排序中20 a 一遇上下兩點(diǎn)數(shù)值差的大小有關(guān)。若這兩點(diǎn)數(shù)值接近,用各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式內(nèi)插得到的實(shí)測(cè)20 a一遇暴雨洪水值幾乎相同;反之,則相差略大。由上述實(shí)例進(jìn)一步表明,采用不同的a 值,用各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式得到的各系列20 a 一遇實(shí)測(cè)值偏差量級(jí)很?。ㄓ茫?=0 得到的實(shí)測(cè)值略偏大,用a = 0.45 得到的實(shí)測(cè)值略偏?。?,10 a 一遇實(shí)測(cè)值相對(duì)偏差更小,中值的重現(xiàn)期及實(shí)測(cè)值相等,中值以下反之,用a = 0 得到的實(shí)測(cè)值略偏小,用a =0.45 得到的實(shí)測(cè)值略偏大(見(jiàn)表4)。

    2 經(jīng)驗(yàn)頻率公式的選擇

    經(jīng)驗(yàn)頻率公式的選取原則:盡可能減小設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差,采用便于計(jì)算的并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式;減小較短系列中出現(xiàn)特大值、特小值而造成的原始資料誤差。

    2.1 選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式

    目前,選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式已集中在中值和均值公式,及采用以頻率(Pm )為特征值建立的橫標(biāo)經(jīng)驗(yàn)頻率公式或以變量(Xm )為特征值建立的縱標(biāo)經(jīng)驗(yàn)頻率公式(見(jiàn)表1)。由于頻率分析是為了設(shè)計(jì)值(估計(jì)值)盡可能接近總體真值,因此把變量(Xm )的分布中心對(duì)應(yīng)的概率值作為第m 項(xiàng)的繪點(diǎn)位置比取頻率(Pm )的分布中心更合理。

    無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式與線(xiàn)型分布及特征值等有關(guān)。推導(dǎo)出的無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式,與各線(xiàn)型分布以及估算誤差最大的偏態(tài)系數(shù)(CS)等有關(guān),諸多問(wèn)題交織在一起更加復(fù)雜,不便于應(yīng)用。偏態(tài)系數(shù)(CS)對(duì)a 值有一定的影響,如克-閔分布的經(jīng)驗(yàn)頻率公式明確當(dāng)CS >2CV、a = 0.3 時(shí),相當(dāng)于中值公式;當(dāng)CS = 2CV、a = 0.4時(shí),相當(dāng)于皮爾遜Ⅲ型經(jīng)驗(yàn)頻率公式;當(dāng)CS <2CV、a =0.5 時(shí),相當(dāng)于海森公式。

    經(jīng)驗(yàn)頻率公式是基于洪水系列各樣本的出現(xiàn)具有等可能性且經(jīng)驗(yàn)頻率對(duì)稱(chēng)于中值建立起來(lái)的。從表1 及現(xiàn)階段的分析來(lái)看,無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式相應(yīng)的a值介于0.3~0.5 之間,其頻率(或重現(xiàn)期)的大小在式(7)與式(8)計(jì)算結(jié)果之間。頻率點(diǎn)繪常以均值、中值和眾值3 個(gè)特征值為分布中心,由數(shù)理統(tǒng)計(jì)可知,中值的特點(diǎn)是不像均值那樣極易受特大或特小值的影響,它與排序位置有關(guān),不受兩邊變數(shù)的影響。第二類(lèi)公式中的中值公式與第一類(lèi)公式的中值公式形式相同,且與總體分布無(wú)關(guān),是一個(gè)穩(wěn)健的經(jīng)驗(yàn)頻率公式,其頻率值在均值和眾值之間,為無(wú)偏估計(jì)值。由以上分析可知,經(jīng)驗(yàn)頻率的中值公式問(wèn)題最少。

    基于上述對(duì)比分析,特別經(jīng)過(guò)1.3 節(jié)的分析,說(shuō)明對(duì)實(shí)測(cè)暴雨洪水系列采用不同經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算出的20 a 一遇以下暴雨洪水重現(xiàn)期相對(duì)偏差較小,并綜合考慮資料代表性的不足及應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式不能滿(mǎn)足其基本條件或假定等情況,在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需采用便于計(jì)算的并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式形式,對(duì)相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列,推薦選用式(6)或式(7),即中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率(或重現(xiàn)期)估計(jì)。

    2.2 對(duì)系列中特大值與特小值的處理

    從以上經(jīng)驗(yàn)頻率公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出,雖然各經(jīng)驗(yàn)頻率公式均依據(jù)相應(yīng)的理論、經(jīng)驗(yàn)、分析及推理,但第一項(xiàng)頻率(或重現(xiàn)期)相互間偏差最大。這一現(xiàn)象進(jìn)一步表明,進(jìn)行洪水系列排頻,系列較短導(dǎo)致誤差較大,特別是第一項(xiàng)頻率(或重現(xiàn)期)。

    各經(jīng)驗(yàn)頻率公式與系列中樣本值大小、次序有關(guān),但實(shí)際洪水系列較短,其變差各異,若在實(shí)測(cè)暴雨洪水系列中出現(xiàn)了不均勻情況,或出現(xiàn)較大值、特大值(或特小值),無(wú)論用任何經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算其第一項(xiàng)、末項(xiàng)的頻率(或重現(xiàn)期),其偏差都是不可預(yù)知的。對(duì)于特大值的超頻,雖可再進(jìn)行人為處理,但多數(shù)情況下很難處理到位,其誤差大小受主觀影響較大,并直接影響后續(xù)各項(xiàng)排頻,可能造成更大程度的偏差。

    其實(shí),對(duì)于一個(gè)不均勻的短系列,把每個(gè)樣本值按固定位置冠以一個(gè)頻率(或重現(xiàn)期),這本身又加重了一層誤差,表現(xiàn)為第一項(xiàng)誤差最大,之后其誤差逐漸減小,到中值項(xiàng)附近時(shí)其誤差相對(duì)最小。

    對(duì)實(shí)測(cè)洪水系列排頻時(shí),應(yīng)遵循大數(shù)定律,不宜用抽樣誤差大的較短洪水系列,采用由嚴(yán)密理論推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)頻率公式進(jìn)行逐項(xiàng)排頻。當(dāng)實(shí)測(cè)洪水系列達(dá)到一定長(zhǎng)度時(shí),鑒于實(shí)測(cè)洪水系列中可能出現(xiàn)不均勻情況或出現(xiàn)特大值(特小值),各經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)頻率(或重現(xiàn)期)的相對(duì)偏差大、之后相互間差別迅速減小,實(shí)測(cè)洪水系列長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到大數(shù)定律所需的基本要求,建議由經(jīng)驗(yàn)頻率公式得出的第一項(xiàng)(第二項(xiàng))、末項(xiàng)的頻率(或重現(xiàn)期)僅作為占位排頻,且只可作為分析估算的參考值。

    3 結(jié)論和建議

    各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算的樣本系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期相對(duì)偏差最大,第二項(xiàng)重現(xiàn)期相差略大,之后相互間差別迅速減小。當(dāng)實(shí)測(cè)系列相對(duì)較長(zhǎng)時(shí),20 a 一遇以下重現(xiàn)期相對(duì)偏差很小,即在20 a 一遇以下選哪種經(jīng)驗(yàn)頻率公式都可以。鑒于偶然得到的實(shí)測(cè)暴雨洪水系列較短,在系列中常出現(xiàn)特大值或特小值、不均勻、資料代表性不足及應(yīng)用公式條件不滿(mǎn)足等問(wèn)題,為有效減小設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差,并盡可能避免將實(shí)測(cè)暴雨洪水系列中存在的誤差進(jìn)一步放大、傳播的風(fēng)險(xiǎn),在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需采用便于計(jì)算并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式。對(duì)于相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列,推薦選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式的中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率(或重現(xiàn)期)估計(jì),建議將第一項(xiàng)(第二項(xiàng))、末項(xiàng)的頻率(或重現(xiàn)期)作為分析估算的參考值。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 劉光文.泛論水文計(jì)算誤差[J].水文,1992,12(2):1-13.

    [2] 劉光文.水文頻率計(jì)算評(píng)議[J].水文,1986,6(3):10-18.

    [3] 郭生練,葉守澤.論水文計(jì)算中的經(jīng)驗(yàn)頻率公式[J].武漢水利電力學(xué)院學(xué)報(bào),1992,25(2):38-45.

    【責(zé)任編輯 張 帥】

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