阿波羅尼斯圓的逆向探究及應(yīng)用

浙江省寧波華茂高級中學(xué) (315192) 崔華梅 孫續(xù)桂 戴宏照

一、提出問題

二、阿波羅尼斯圓及逆向探究

平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ(λ>0,λ≠1)的動點(diǎn)的軌跡是圓,稱之為阿波羅尼斯圓.在解析幾何有關(guān)問題中,經(jīng)常是已知圓的方程,那么,對于一個定圓,A、B兩點(diǎn)是確定的嗎?

圖1

探究1 當(dāng)圓C和定比λ確定時,A、B兩點(diǎn)唯一確定嗎?

探究2 當(dāng)定圓和以圓心為端點(diǎn)的射線確定時,比值λ和A、B兩點(diǎn)唯一確定嗎?

例如對于圓C:x2+y2-8x=0,當(dāng)|PA|=2|PB|時,A(-4,0),B(2,0);當(dāng)|PA|=3|PB|

探究3 當(dāng)定圓與過圓心的定直線交于P1,P2兩點(diǎn)時,如果比值λ確定,能否確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)?

根據(jù)阿波羅尼斯圓的推導(dǎo)過程可知,x1=

三、問題解決及推廣

通過以上探究,我們得到如下結(jié)論.

于是,就可以利用過圓心的直線與圓的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)求出該圓上任意一點(diǎn)都使|PA|=λ|PB|成立的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).下面,我們應(yīng)用此結(jié)論解決一類線段長度之和或向量模之和的最值問題.

因此,求兩條線段長度之和的最值問題,如果線段前的系數(shù)不相等,就可以考慮用阿波羅尼斯圓逆向求解,先把系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的兩條線段長,再利用三角形三邊的不等關(guān)系,繼續(xù)轉(zhuǎn)化成過這點(diǎn)的一條線段長的最值問題.為了加深理解,我們再看一例:

圖2

向量的模就是有向線段的長,所以這個結(jié)論也用來解決有關(guān)向量的模求和的最值問題.

圖3

圖4

逆向思維有利于破除思維定勢,有利于認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),是創(chuàng)新思維的一種形式;從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上講,阿波羅尼斯圓逆向探究是建立新的數(shù)學(xué)模型,使數(shù)學(xué)問題從數(shù)學(xué)抽象,經(jīng)過數(shù)學(xué)推理,易于直觀想象.