抽象函數(shù)對(duì)稱性的高三復(fù)習(xí)教學(xué)建議

江蘇省溧陽中學(xué) (213300) 徐 蘭 徐 倩

高三復(fù)習(xí)除了幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),熟悉基本題型之外,筆者認(rèn)為最重要的是通過高三課堂加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知,理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián),理解知識(shí)的本質(zhì),從而提高解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵能力.本文從抽象函數(shù)來談?wù)勅绾握蠈W(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來提升學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)性質(zhì)的深刻理解.

一、夯實(shí)落腳點(diǎn)——深刻理解舊知

高三復(fù)習(xí)首先要熟悉基本知識(shí),但是不能停留在對(duì)知識(shí)的重復(fù)記憶上.學(xué)生經(jīng)歷了兩年高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),對(duì)知識(shí)的理解與剛學(xué)新知時(shí)的認(rèn)知已經(jīng)不一樣,所以教師在復(fù)習(xí)這些舊知時(shí),要高屋建瓴,以問題解決的形式來喚醒學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶與理解.以抽象函數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)為例,學(xué)生已經(jīng)初步具備圖像語言,數(shù)學(xué)符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)換即從直觀想象、邏輯推理到用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力.高三的課堂教學(xué)可以設(shè)計(jì)如下:

問題1函數(shù)的奇偶性有哪些刻畫方式?(圖像語言、文字語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言)

問題2 談?wù)剬?duì)這三者之間的理解?

函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,該函數(shù)為奇函數(shù),數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)為f(-x)=-f(x).設(shè)p(x,y)為函數(shù)f(x)上任意一點(diǎn),那么關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P(-x,-y)也在函數(shù)圖像上,即y=f(x),∴-y=f(-x)=-f(x).函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,該函數(shù)為偶函數(shù),數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)為f(-x)=f(x).設(shè)p(x,y)為函f(x)數(shù)上任意一點(diǎn),那么關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)p(-x,y)也在函數(shù)圖像上,即y=f(-x),∴y=f(-x)=f(x).函數(shù)的奇偶性統(tǒng)稱為函數(shù)的對(duì)稱性,奇函數(shù)和偶函數(shù)只是函數(shù)對(duì)稱性中的一種特例.函數(shù)的對(duì)稱性包含函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,我們這里只研究關(guān)于垂直于軸的直線對(duì)稱.

二、由點(diǎn)連線——從舊知探新知

高三復(fù)習(xí)的目的是為了提高學(xué)生解決問題的能力,所以高三的課堂教學(xué)要能夠從特殊到一般,尋找一般規(guī)律,從而提高學(xué)生的認(rèn)知水平.函數(shù)的奇偶性就是對(duì)稱性的特殊情況,從特殊推廣到一般,加深學(xué)生對(duì)一般規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解.

問題3函數(shù)關(guān)于直x=a線對(duì)稱,對(duì)應(yīng)的圖像和數(shù)學(xué)符號(hào)該如何表達(dá)?

問題4 函數(shù)關(guān)于點(diǎn)p(a,b)對(duì)稱,對(duì)應(yīng)的圖像和數(shù)學(xué)符號(hào)該如何表達(dá)?

關(guān)于問題3:函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于x=a對(duì)稱,圖像上任取一點(diǎn)p(x0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)p1(2a-x0,y0)點(diǎn)仍舊在圖像上,所以y0=f(x0)=f(2a-x0).所以我們得到數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示f(x)=f(2a-x).如果取得點(diǎn)p(a-x,y),那么關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)p1(a+x,y)仍在圖像上,所以f(a+x)=f(a-x),所以我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱的數(shù)學(xué)符號(hào)語言是不唯一的,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)只要兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2a,縱坐標(biāo)相等就滿足要求.所以用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來刻畫可以有無數(shù)種,最具有代表性的是f(x)=f(2a-x)和f(a+x)=f(a-x).反之也成立.用同樣的思路來研究問題4:函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)p(a,b)對(duì)稱,圖像上任取一點(diǎn)Q(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)p(a,b)對(duì)稱點(diǎn)Q1(2a-x0,2b-y0)也在函數(shù)圖像上,那么y0=f(x0),2b-y0=f(2a-x0),∴f(x0)+f(2a-x0)=2b.由此可見只要數(shù)學(xué)符號(hào)能夠表達(dá)出這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2a,縱坐標(biāo)之和為2b,都滿足要求.比如f(a+x)+f(a-x)=2b.反之也成立.這部分的問題設(shè)計(jì)體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法,圖像語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言、以及文字語言之間的相互理解與轉(zhuǎn)換,從直觀想象到邏輯推理,對(duì)學(xué)生提升理解函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)用性質(zhì)解決問題起了很大的作用.

結(jié)論一如果函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f(a+x)=f(a-x),反之也成立.

結(jié)論二如果函數(shù)關(guān)于點(diǎn)p(a,b)對(duì)稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b,反之也成立.

問題5 你是怎樣理解人教版教材必修第一冊87頁上的拓廣探究題,即求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心.

人教版拓廣探究題:我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)p(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心;(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)“的一個(gè)推廣結(jié)論.

理解一：應(yīng)用圖像平移變換來理解,若函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù),則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么由y=f(x+a)-b右移a個(gè)單位,再上移b個(gè)單位,得到函數(shù)y=f(x),原來的對(duì)稱中心(0,0)變成了新的對(duì)稱中心(a,b),反之,同理成立;

理解二：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)p(a,b)成中心對(duì)稱圖形,那么f(x+a)+f(-x+a)=2b,即f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],所以函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).反之,如果y=f(x+a)-b是奇函數(shù),則f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],即f(x+a)+f(-x+a)=2b.所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)p(a,b)成中心對(duì)稱圖形.得出結(jié)論三和結(jié)論四.

結(jié)論三若函數(shù)是奇函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形,反之也成立.

結(jié)論四若函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對(duì)稱圖形,反之也成立.(證明同上).

解答問題5:

法一：f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3(x-1)-2,令g(x)=x3-3x,g(x)是奇函數(shù),f(x)=g(x-1)-2,所以f(x)是g(x)右移1個(gè)單位,再下移2個(gè)單位得到,對(duì)稱中心為(1,-2).

法二：設(shè)f(x)的對(duì)稱中心為(a,b),則f(x+a)+f(-x+a)=2b對(duì)?x∈R恒成立,即(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0,對(duì)任意x均成立,∴6a-6=0且2a3-6a2-2b=0,解之a(chǎn)=1,b=-2.

三、編織出網(wǎng)——鏈接知識(shí)的交匯點(diǎn)

高三復(fù)習(xí)要建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò),老師要能夠幫助學(xué)生找到知識(shí)之間的連接點(diǎn),內(nèi)化學(xué)生所學(xué)的知識(shí),建構(gòu)更廣的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,提升解決問題的能力.

問題6 如果一個(gè)函數(shù)既有對(duì)稱中心又有對(duì)稱軸,那么它還具有什么性質(zhì)?

從直觀上我們可以感知函數(shù)圖像具有周期性,從代數(shù)上我們可以給予證明:如果函數(shù)f(x)關(guān)于x=a,又有對(duì)稱中心(c,b),那么f(x)=f(2a-x),f(x)=-f(2c-x)+2b,即f(2a-2c+x)=-f(x)+2b,令t=2a-2c,f(t+x)=-f(x)+2b,∴f(2t+x)=-f(t+x)+2b=-[-f(x)+2b]+2b=f(x),∴f(x)的周期為T=2|t|=4|a-c|.這個(gè)證明得到下面的結(jié)論.

結(jié)論五如果一個(gè)函數(shù)既有對(duì)稱軸,又有對(duì)稱中心,那么這個(gè)函數(shù)就有周期,且周期是對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的4倍.周期的一半是相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離.或者相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離.

這個(gè)結(jié)論可以用基本函數(shù)y=sinx和y=cosx的圖像直觀感知.

高考真題呈現(xiàn):

點(diǎn)評(píng)：本題使用函數(shù)的對(duì)稱性,周期性把所求函數(shù)值變換到已知區(qū)間[1,2]即可.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用結(jié)論五我們畫個(gè)草圖也可以迅速把問題解決.

四、縱橫成片——提升解題關(guān)鍵能力

高三數(shù)學(xué)課堂是提升學(xué)生關(guān)鍵能力的主陣地.關(guān)注通性通法固然重要,但是更重要的是數(shù)學(xué)思想的滲透,數(shù)學(xué)抽象的表達(dá),數(shù)學(xué)推理的完成,這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題7 人教版教材必修一87頁上的拓廣探究題的三次函數(shù)的對(duì)稱中心,與它與導(dǎo)函數(shù)有關(guān)聯(lián)嗎?

問題8 如果原函數(shù)f(x)具有對(duì)稱性,那么它的導(dǎo)函數(shù)是否也具有對(duì)稱性?

如果原函數(shù)y=f(x)關(guān)于(a,b)成中心對(duì)稱,則f(x+a)=-f(-x+a)+2b.兩邊求導(dǎo)得f′(x+a)=[-f(-x+a)+2b]′,即f′(-x+a)=f′(-x+a),所以y=f′(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.如果原函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,那么導(dǎo)函數(shù)又會(huì)又什么性質(zhì)呢?f(x)=f(2a-x),兩邊求導(dǎo)得到f(x)=-f(2a-x),即導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱.反之是否也成立呢?如果導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于x=a對(duì)稱,∵f′(x+a)=f′(-x+a),∴f(x+a)=-f(-x+a)+c,令x=0,c=2f(a),∴f(x+a)+f(-x+a)=2f(a),∴原函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))對(duì)稱.如果導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱,則f′(x)+f′(2a-x)=0,令F(x)=f(x)-f(2a-x),∵F′(x)=f′(x)+(2a-x)=0,∴F(x)=c(c為常數(shù)).又F(a)=f(a)-f(2a-a)=0.∴F(x)=0=f(x)-f(2a-x),∴f(x)=f(2a-x),從而函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

結(jié)論六如果原函數(shù)y=f(x)關(guān)于(a,b)成中心對(duì)稱,那么導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于x=a對(duì)稱;如果原函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,那么導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于(a,0)成中心對(duì)稱.

結(jié)論七如果導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于x=a對(duì)稱,那么原函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))成中心對(duì)稱;如果導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱,那么原函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱.有了這些結(jié)論,我們研究三次函數(shù)的對(duì)稱中心,只需要求導(dǎo)寫出導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸就行了,函數(shù)f(x)=x3-3x2圖像的對(duì)稱中心,f′(x)=3x2-6x,對(duì)稱軸為x=1,所以原函數(shù)的對(duì)稱中心為(1,-2).

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

五、匯聚成面——數(shù)學(xué)思維的飛躍

數(shù)學(xué)教學(xué)以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力為目的,能力的考察是高考永恒的主題.高三數(shù)學(xué)課堂要充分挖掘課本中習(xí)題的價(jià)值,從知識(shí)的點(diǎn)展開延伸出線,再由條條線織出片,充分展示出知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)的邏輯美.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

例6 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f(x),g(x)若f(x+2)-g(1-x)=2,f(x)=g(x+1),且g(x+1)為奇函數(shù),則下列說法中一定正確的是( ).

A.g(1)=0 B.函數(shù)g′(x)的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱

高考試題源于課本,但是又高于課本,高三復(fù)習(xí)課教師要充分整合多種教材資源,利用好課本習(xí)題的價(jià)值,充分它們的內(nèi)涵和外延,課堂中盡可能給學(xué)生提供創(chuàng)新的情境,從點(diǎn)、線、片、面的角度縱橫知識(shí)之間的聯(lián)系,構(gòu)建交錯(cuò)網(wǎng)絡(luò),再結(jié)合典型例題來提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵能力,學(xué)生在這樣的課堂中能感受到高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落腳點(diǎn)在哪里,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,也能更好地引導(dǎo)了學(xué)生如何自主學(xué)習(xí),提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).