指向核心素養(yǎng)的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)及思考
——以“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)過程為例

浙江省金華第一中學(xué) (321015) 魏 燕

課堂教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵,教學(xué)設(shè)計(jì)正是連接課程標(biāo)準(zhǔn)、教材及課堂教學(xué)的橋梁.單元整體教學(xué)是新課程強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn),其教學(xué)設(shè)計(jì)同樣強(qiáng)調(diào)從知識(shí)的聯(lián)系出發(fā),關(guān)注教學(xué)目標(biāo)的整體性、層次性、遞進(jìn)性,在學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的過程中落實(shí)核心素養(yǎng).本文以“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)過程設(shè)計(jì)為例,談幾點(diǎn)思考.

1 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.1 閱讀章引言,構(gòu)建先行組織者

引導(dǎo)語上一章我們以空間向量為工具研究了空間圖形的位置關(guān)系和距離、角度等度量問題,與立體幾何初步的方法比較,你認(rèn)為用向量方法研究幾何問題的特點(diǎn)是什么?

問題1 解析幾何是一門怎樣的學(xué)科?它經(jīng)歷了怎樣的發(fā)展歷程?本章要學(xué)哪些內(nèi)容?按怎樣的路徑展開?請(qǐng)大家閱讀章引言,并給出回答.

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧向量法、閱讀章引言、展示解析幾何的發(fā)展歷史,初步構(gòu)建用坐標(biāo)法研究曲線的主體框架.

1.2 探索直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素

問題2 按照以往的經(jīng)驗(yàn),我們從最簡單的幾何圖形直線開始研究.根據(jù)上述研究思路,為了用代數(shù)方法研究直線,首先要明確在直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素,然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來.確定一條直線的幾何要素是什么?對(duì)于直角坐標(biāo)系中的一條直線,如何利用坐標(biāo)系確定它的位置?

追問1“兩點(diǎn)確定一條直線”不需要借助直角坐標(biāo)系.我們要利用直角坐標(biāo)系給直線“定位”,那么直角坐標(biāo)系的定位功能體現(xiàn)在哪里?

追問2 為了幫助大家思考,我們來觀察圖1.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過一點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線…,它們組成一個(gè)直線束,如何利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)別出來?(教師用GeoGebra直觀展示在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線;學(xué)生小組合作探究,教師聆聽,適時(shí)點(diǎn)評(píng),引導(dǎo)學(xué)生以x軸為基準(zhǔn)思考這些直線的差異,發(fā)現(xiàn)這些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同.)

圖1

追問3 如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“直線相對(duì)于x軸的傾斜程度”?

在此基礎(chǔ)上,推廣到一般,給出傾斜角的定義.

追問4 你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化?

設(shè)計(jì)意圖：探索坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素,以發(fā)揮直角坐標(biāo)系的定位功能為思維導(dǎo)向,通過問題引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng).

第一步,明確直角坐標(biāo)系的定位功能體現(xiàn)在原點(diǎn)為“基準(zhǔn)點(diǎn)”、坐標(biāo)軸為“基準(zhǔn)方向”;

第二步,以公共點(diǎn)在x軸上的直線束為特例,探索利用坐標(biāo)軸把這些直線區(qū)分開來的幾何條件,在動(dòng)態(tài)幾何軟件的幫助下實(shí)現(xiàn)從“傾斜程度”(定性)到“傾斜角”(定量)的過渡;

第三步,從具體到一般,得出傾斜角的定義和范圍.

這是在“以直角坐標(biāo)系為工具刻畫直線的幾何要素”的目標(biāo)引領(lǐng)下的探究活動(dòng),本質(zhì)上是以坐標(biāo)法思想為指導(dǎo),使學(xué)生在解析幾何入門階段就對(duì)如何發(fā)揮坐標(biāo)系的作用留下深刻印象,有利于學(xué)生理解傾斜角概念的內(nèi)涵,并在概念形成過程中提升理性思維水平.

1.3 推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式

問題3 在平面直角坐標(biāo)系中,一條直線l可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)傾斜角唯一確定,它顯然也可由其上的兩點(diǎn)P1、P2唯一確定.所以,可以斷定,直線l的傾斜角一定與P1、P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系?可以用什么方法來建立這種聯(lián)系?

追問1 為了探尋思路,我們利用向量方法來解決幾個(gè)具體的問題.設(shè)直線l的傾斜角為α,

追問2 你能將上述問題的解答推廣到一般嗎?也就是說,如果直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么α與P1、P2的坐標(biāo)又有怎樣的關(guān)系?

追問3 當(dāng)直線傾斜角為0°時(shí),上式成立嗎?為什么?

設(shè)計(jì)意圖：問題2與三個(gè)追問按如下思路展開:

首先,在“同一對(duì)象的兩種表示一定有內(nèi)在聯(lián)系,可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指導(dǎo)下,提出問題,并啟發(fā)學(xué)生從“定量刻畫方向”的角度思考把直線的傾斜角和直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系在一起,進(jìn)而想到直線的方向向量.

1.4 從聯(lián)系的角度辨析和理解公式

問題4 請(qǐng)同學(xué)們思考一下,生活實(shí)際中有沒有與傾斜程度、傾斜角、斜率等類似的概念?(引出當(dāng)直線傾斜角為銳角時(shí),直線的斜率與坡度類似)

追問1 直線斜率隨傾斜角如何變化?為什么?

追問2 過兩點(diǎn)的直線斜率公式適用于傾斜角為90°的直線嗎?

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),在得出一個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理等之后,我們要從不同角度、聯(lián)系相關(guān)知識(shí)以加深對(duì)它的理解.

追問3 你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎?

設(shè)計(jì)意圖：直線的方向向量及其坐標(biāo)表示是重要而有用的知識(shí),通過建立斜率與它們之間的聯(lián)系,一是加深對(duì)斜率的理解;二是要讓學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成運(yùn)用向量表達(dá)幾何元素、研究幾何問題的習(xí)慣,特別是在解決與大小和方向相關(guān)的問題時(shí),聯(lián)系向量及其運(yùn)算是非常奏效的方法;三是使學(xué)生體會(huì)向量法和坐標(biāo)法的內(nèi)在關(guān)聯(lián),為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.5 學(xué)以致用,解決問題

例已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),分別求直線AB、BC、CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角?

設(shè)計(jì)意圖：鞏固斜率公式,在應(yīng)用中感受傾斜角與斜率之間的關(guān)系.

1.6 課堂小結(jié),形成結(jié)構(gòu)

問題5 請(qǐng)同學(xué)們帶著如下問題回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,并給出回答.

(1)在直角坐標(biāo)系中,確定直線位置的幾何要素是什么?在得出這些幾何要素的過程中,我們利用了直角坐標(biāo)系的哪些功能?

(2)傾斜角是刻畫直線相對(duì)于x軸的傾斜程度的幾何量,為了將它代數(shù)化,我們利用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

(3)在用向量方法推導(dǎo)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式時(shí),我們經(jīng)歷了怎樣的過程,用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

(4)傾斜角、斜率、直線的方向向量等都刻畫了直線的方向,由此你能想到哪些問題?

(5)說說以直角坐標(biāo)系為工具解決幾何問題的大致步驟.

設(shè)計(jì)意圖：(1)小結(jié)時(shí)關(guān)注傾斜角概念的同時(shí),通過對(duì)直角坐標(biāo)系功能的總結(jié)可以使學(xué)生明白如此定義傾斜角的理由.(2)將傾斜角代數(shù)化為斜率,首先是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化,這是解析幾何的根本思想;由“兩點(diǎn)確定直線”而斷定可用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示傾斜角,由傾斜角刻畫了直線的方向,從而聯(lián)想到直線的方向向量,并建立傾斜角與方向向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系,反映了數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性,其中“一個(gè)對(duì)象的不同表示方式之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指引著思考的方向.這些思想、觀念蘊(yùn)含于斜率概念的形成過程中,通過小結(jié)將它們揭示出來,有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),對(duì)理性思維的發(fā)展也很有好處.(3)在推導(dǎo)斜率計(jì)算公式時(shí),從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化等眾多數(shù)學(xué)思想方法都在發(fā)揮著作用.(4)傾斜角、斜率、直線的方向向量都刻畫了直線的方向,首先想到的是如何建立這些概念之間的聯(lián)系、實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化,另一個(gè)是它們之間的差異性,傾斜角為90°時(shí)斜率不存在,此時(shí)方向向量的表達(dá)則更具有靈活性.(5)使學(xué)生在解析幾何入門階段就形成坐標(biāo)法的較為深刻的印象.

1.7 目標(biāo)檢測,檢驗(yàn)效果

題1 已知A(1,1),B(3,-1),C(a,8)三點(diǎn)共線,則a的值為________.

題2 已知點(diǎn)A(1,2),請(qǐng)?jiān)趛軸上求一點(diǎn)P,使直線AP的傾斜角為120°.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生斜率的坐標(biāo)公式及傾斜角與斜率關(guān)系的掌握情況.

2 幾點(diǎn)思考

2.1 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)聚焦在哪?

教學(xué)設(shè)計(jì)的聚焦應(yīng)在于借助教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想和解決問題的一般思路.本節(jié)課是解析幾何單元的開篇,承擔(dān)著從宏觀上明確研究對(duì)象、構(gòu)建研究框架、形成研究路徑等任務(wù).所以,在開篇伊始就注重解析幾何基本思想、用坐標(biāo)法解決問題的基本思路的滲透,這是本教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本指導(dǎo)思想.引導(dǎo)學(xué)生類比用向量方法研究幾何問題的基本思想和“三部曲”,并通過閱讀教科書的章引言,使學(xué)生明確解析幾何的基本思想、了解研究路徑,從而構(gòu)建起學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的先行組織者.

2.2 怎樣發(fā)揮單元起始課在單元整體教學(xué)中的功能?

良好的開端是成功的一半,單元起始課的地位舉足輕重.單元起始課應(yīng)在單元整體框架下進(jìn)行設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)中要注意把握與本單元其他內(nèi)容研究方法的整體性;知識(shí)形成的邏輯性;思想方法的一致性;研究方法的普適性、思維的系統(tǒng)性,這樣不僅可以防止碎片化的學(xué)習(xí),也能凸顯單元開篇課在單元中的開啟和引領(lǐng)價(jià)值.

2.3 如何在教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?

本節(jié)課是解析幾何的開篇課,處于最基礎(chǔ)階段,但蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,其中最突出的是確定直線位置的幾何要素的多元聯(lián)系表示,由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想方法,由此引發(fā)和提出的數(shù)學(xué)問題.本教學(xué)設(shè)計(jì)抓住“聯(lián)系”,在“直線l的方向一傾斜程度(定性)一傾斜角(定量)”和“兩個(gè)點(diǎn)確定直線l,則兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與傾斜角必然有內(nèi)在聯(lián)系”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上,通過層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng),體會(huì)坐標(biāo)法思想,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等關(guān)鍵素養(yǎng).所以,教學(xué)設(shè)計(jì)要關(guān)注教學(xué)目標(biāo)的整體性、層次性、遞進(jìn)性;充分保證能有效地開展“四基”“四能”教學(xué),在使學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的過程中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),優(yōu)化個(gè)性品質(zhì).