數(shù)學(xué)文化融入試題的路徑

浙江省象山縣第二中學(xué) (315731) 林 琪

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年修訂)》,明確指出數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動,在教學(xué)活動中,教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用.根據(jù)數(shù)學(xué)文化試題背景與數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)程度,將試題中數(shù)學(xué)文化的融入方式分為復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式三大類.縱觀近年高考,可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)文化類試題比重逐漸增加,而且每年的高考文化題都充滿“數(shù)學(xué)味”.因此教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中讓學(xué)生逐步接觸文化類試題,并掌握命題思路.本文以數(shù)列為例,論述數(shù)學(xué)文化融入試題中的路徑.

例1 (2022屆云南師大附中適應(yīng)性考試)《九章算術(shù)》是我國秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作,書中第三章“衰分”有如下問題:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共出百錢.欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次變低)5個(gè)人共出100錢,按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列,這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中,若不更出17錢,則公士出的錢數(shù)為( ).

A.10 B.14 C.23 D.26

解析：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出錢數(shù)構(gòu)成遞增等差數(shù)列{an},公差為d,由題意可知a2=17,S5=5a3=100,∴a3=20,d=a3-a2=3,所以公士出的錢數(shù)為a5=a2+3d=26.故選D.

評注：本題以古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中提出的問題為背景,考查了等差數(shù)列基本量的關(guān)系式,本題注重考查考生的閱讀理解、提取信息、數(shù)學(xué)建模以及通過計(jì)算解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.

筆者仿照例1,選取等比數(shù)列求某項(xiàng)為知識點(diǎn),尋找素材,以“畢達(dá)哥拉斯樹”為背景,嘗試命題如下:

例2 畢達(dá)哥拉斯樹是據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形,如圖1所示.因?yàn)樾螤詈盟埔豢脴?被稱為畢達(dá)哥拉斯樹,也叫“勾股樹”.畢達(dá)哥拉斯樹以如下方式生長:以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊,向外作等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形,得到2個(gè)新的小正方形,實(shí)現(xiàn)了一次生長;再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長,如此重復(fù)下去.則經(jīng)過10次生長,可形成新小正方形個(gè)數(shù)為( ).

圖1

A.128 B.256 C.1024 D.2048

解析：由題意得an+1=2an且a1=2,所以,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且該數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2,因此,an=2n,因此,則經(jīng)過10次生長,可形成an=210=1024個(gè)新小正方形.故選C.

評注：復(fù)制式命制試題往往難度較低,前半部分一般都是以論述的形式,給出背景,對之后的解題影響不大,學(xué)生很容易找到數(shù)學(xué)本質(zhì),進(jìn)行求解.

例3(2022長沙市模擬,多選題)對于正整數(shù)n,φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)φ(n)以其首名研究者歐拉命名,稱為歐拉函數(shù),例如φ(9)=6(1,2,4,5,7,8與9互質(zhì)),則( ).

A. 若n為質(zhì)數(shù),則φ(n)=n-1

B.數(shù)列{φ(n)}單調(diào)遞增

D.數(shù)列{φ(3n)}為等比數(shù)列

評注：本題以數(shù)學(xué)文化“歐拉函數(shù)”為背景,考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和、判斷數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的判斷方法等,考查考生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.且此題為多選題,考察學(xué)生考慮問題的全面性和周全性,選項(xiàng)的設(shè)置更是引導(dǎo)考生由淺入深考慮問題.另外,多選題考察的知識點(diǎn)更多,更難,學(xué)生不易得全分,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的選拔功能.

筆者仿照例3,選取“冰雹猜想”為背景,考察學(xué)生對分段數(shù)列求值問題,嘗試命題如下:

例4 任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2,反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”),若取正整數(shù)m=5,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出5→16→8→4→2→1共需經(jīng)過5個(gè)步驟變成1(簡稱為5步“雹程”)則( ).

A.若m=17,則需要12步“雹程”.

C.若對于正整數(shù)m,共需8個(gè)步驟變成1,則滿足條件的所有m構(gòu)成的集合為{20,128}.

D.存在連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)m1,m2,使得兩者的“雹程”一樣.

解析：對于A,若m=17,則上述運(yùn)算法則得出17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共需經(jīng)過12個(gè)步驟變成1.對于B,根據(jù)題意,顯然正確.對于C,可采用逆向思維,所有m構(gòu)成的集合為{128,21,20,3},如圖2.

圖2

對于D,由C可知存在連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù),m1=20,m2=21使得兩者的“雹程”都是8.因此選ABD.

評注：順應(yīng)式命制試題往往難度中等,是某一知識點(diǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用,往往既考察知識點(diǎn),也考察建模能力,往往比較靈活,學(xué)生也容易失分.

例5 (2020·臨沂三模)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2),(n≥3,n∈N+),此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的前2019項(xiàng)的和為( ).

A.672 B.673 C.1346 D.2019

評注：本題以“斐波那契”數(shù)列為背景,考察周期函數(shù)求和.考察學(xué)生閱讀理解、數(shù)學(xué)模型能力,學(xué)生需要脫去背景,找到實(shí)質(zhì)是利用斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)除以2的余數(shù)特征,得出新數(shù)列的周期性,進(jìn)而求出結(jié)果.屬于中檔題.另外,此題以著名的“斐波那契”數(shù)列為背景,增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)史的理解,擴(kuò)寬了學(xué)生的眼界.

筆者仿照例5,在斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上加以延伸,以“黃金螺線”為背景,結(jié)合扇形的弧長公式,嘗試命題如下:

圖3

共有7個(gè)扇形組成,則整個(gè)黃金螺線長度為.

評注：重構(gòu)式命制試題往往難度較高,是某一知識點(diǎn)或者方法的遷移,常涉及多個(gè)知識點(diǎn),能較好考察學(xué)生閱讀理解能力、建模能力.

綜上分析可見,文化類試題更多考察到學(xué)生的閱讀理解能力,無論那種命題方式,都應(yīng)該學(xué)會脫去背景,尋找文化背景后的數(shù)學(xué)考點(diǎn).教師應(yīng)在日常教學(xué)中經(jīng)常滲透此類題,讓學(xué)生更好的經(jīng)歷數(shù)學(xué)歷程、理解數(shù)學(xué)知識、感受數(shù)學(xué)思維、體會數(shù)學(xué)精神.同時(shí),亦可引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國社會的進(jìn)步與發(fā)展,增強(qiáng)民族自豪感,增強(qiáng)愛國情懷,培育和踐行社會主義核心價(jià)值觀,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“以德樹人”的教育宗旨.