信號與系統(tǒng)課程中“傅里葉級數(shù)”課程思政教學(xué)設(shè)計

趙曉芳 盧貴主 劉華珠

摘? 要：連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)是信號與系統(tǒng)課程的重要內(nèi)容，該內(nèi)容是學(xué)習(xí)連續(xù)非周期信號的傅里葉變換的基礎(chǔ)。由于該部分內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)理論較強(qiáng)，如何在有限的時間內(nèi)，講清楚基本理論的同時潤物細(xì)無聲地進(jìn)行課程思政，是課堂教學(xué)設(shè)計的一個難點(diǎn)。該文以思考討論型+層層推進(jìn)式教學(xué)為主，課程思政“點(diǎn)滴式”融入課堂。課堂上，在傳授經(jīng)典技術(shù)知識的同時，結(jié)合生產(chǎn)生活中的實(shí)際例子，使學(xué)生深刻認(rèn)識到實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，并在實(shí)踐中不斷獲得新的知識。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的問題并解決問題等，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。

關(guān)鍵詞：信號與系統(tǒng)；傅里葉級數(shù)；課程思政；教學(xué)設(shè)計；教育目標(biāo)

中圖分類號：G640? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）23-0096-05

Abstract： The Fourier series of continuous periodic signals is an important content of the course "Signals and Systems"， which is the basis for learning the Fourier transform of continuous periodic signals. Due to the strong mathematical theory involved in this part， how to make clear the basic theory while moistening things silently in a limited time is a difficulty in classroom teaching design. This paper focuses on the teaching method of thinking， discussion and promotion at all levels， and integrates the "bit by bit" of curriculum ideological and political education into the classroom. In class， while imparting classical technical knowledge， combined with practical examples in production and life， students can deeply realize that practice is the only standard to test truth， and constantly acquire new knowledge in practice. Guide students to find new problems and solve them， and cultivate students' practical ability and innovative consciousness.

Keywords： Signals and Systems; Fourier Series; course ideological and political; teaching design; educational objectives

信號與系統(tǒng)是電子、通信、自動化類等電類本科專業(yè)的專業(yè)必修課，也是專業(yè)核心課程，該課程一般在大二開設(shè)，課程輻射面較廣。以“立德樹人”為主線的信號與系統(tǒng)課程，在課堂教學(xué)過程中注重加強(qiáng)思想教育和價值導(dǎo)向，旨在引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、價值觀、世界觀，豐富課程內(nèi)涵，通過創(chuàng)新教學(xué)方法優(yōu)化教學(xué)設(shè)計并改進(jìn)課堂管理，將社會主義核心價值觀、中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育、習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想等有機(jī)融入課程教學(xué)活動，形成全員、全過程、全方位育人的濃厚氛圍。課程思政必須對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，并且不能讓學(xué)生覺得“老師又在思政了”，太過刻意容易引起學(xué)生逆反心理[1-2]。特別是在工科專業(yè)的課程內(nèi)容上，要強(qiáng)調(diào)邏輯推理和辯證思維，在深入挖掘課程的思想政治要素的同時，還要能夠啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考、邏輯思考、辯證思考等。從課程地位方面看，信號與系統(tǒng)是電類各專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，還是很多學(xué)校研究生入學(xué)考試的初試課程，因此課程本身容易受到學(xué)生的重視。借此在該門課程中進(jìn)行課程思政教學(xué)，必然會起到事半功倍的效果。

一? 課堂教育目標(biāo)

（一）? 教學(xué)目標(biāo)

1）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)的基本知識體系，達(dá)到明理論、會分析、知應(yīng)用的綜合目標(biāo)，著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

2）培養(yǎng)學(xué)生對事物的洞察和研究能力，在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生盡量多觀察、多思考、多動手，在觀察和實(shí)驗(yàn)過程中激發(fā)其學(xué)習(xí)和研究信號問題的興趣。

3）通過周期信號頻域分析數(shù)學(xué)工具（傅里葉級數(shù)）的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際工程問題時能運(yùn)用辯證思維，將復(fù)雜問題簡化且科學(xué)處理的能力。

（二）? 思政育人目標(biāo)

1）通過課下觀看科學(xué)家傅里葉的簡史，上課感悟討論，線下暢所欲言，培養(yǎng)學(xué)生樹立人生目標(biāo)、堅(jiān)守初心、忘我奉獻(xiàn)、刻苦鉆研及堅(jiān)持不懈的人生態(tài)度和科學(xué)態(tài)度，努力成為“被世界銘記”的人。

2）在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生建立辯證唯物主義的世界觀，教育學(xué)生要辯證地看待人生挫折，同一問題往往有各種解決方法，遇事不鉆牛角尖，辯證地對待人生環(huán)境，積極樂觀對待各種事情。并有機(jī)融入社會主義核心價值觀、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育思想的過程。

3）理論聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。課堂上傳授經(jīng)典的技術(shù)知識，結(jié)合生產(chǎn)、生活當(dāng)中的實(shí)際例子，讓學(xué)生深刻體會實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，在實(shí)踐中不斷獲得新的知識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的問題并解決問題等，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。

課程思政的融入設(shè)計見表1，雖然上下課禮儀不屬于上課內(nèi)容范疇，但還是有必要的，中國有幾千年的文化傳統(tǒng)，向來就是禮儀之邦，培養(yǎng)學(xué)生尊師重道，重拾中華民族優(yōu)良傳統(tǒng)從課堂做起。

二? 教學(xué)手段和教學(xué)方法

在教學(xué)手段上，嘗試運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，采用多媒體教學(xué)，輔助黑板書寫、視頻等，建立信號與系統(tǒng)課程網(wǎng)站，提供ppt教案、教學(xué)視頻等延伸學(xué)習(xí)教材，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)和資源共享。并且采用了多媒體和板書相結(jié)合的方式授課，把難理解的知識設(shè)計制作成Flash動畫來演示。

在教學(xué)方法上，嘗試“思考討論型”教學(xué)方法，一節(jié)課結(jié)束，提出一些思考討論的題目，并提供一些參考資料，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，為下節(jié)課打下基礎(chǔ)，帶著不能解決的問題來上課。對于比較難以理解的知識，用生活中更容易理解的比擬來幫助理解。在講解主要基本原理和方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合重點(diǎn)問題和實(shí)際應(yīng)用實(shí)例，進(jìn)行課堂分析和講解。為學(xué)生課后自學(xué)指定參考資料，鍛煉學(xué)生整理資料、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。課堂教學(xué)主要采用層層推進(jìn)式教學(xué)法和工程案例教學(xué)法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決、分析、計算、總結(jié)和解決問題的能力[3]。

三? 教學(xué)過程設(shè)計

（一）? 導(dǎo)學(xué)——問題引入

分別播放鄧玉華和羅林（刀郎）演唱的紅色歌曲《映山紅》：“若要盼得喲紅軍來 嶺上開遍喲映山紅 嶺上開遍喲映山紅 嶺上開遍喲映山紅”。讓學(xué)生從聽覺上感受兩位演唱家演唱的不同，但是計算機(jī)沒有聽覺，從時域波形信號上看，很難區(qū)分到底是誰演唱的，也區(qū)分不出來男女。但是，每個人聲帶振動的頻率不一樣，比如女生聲帶振動頻率快聲音比較尖，男生聲帶振動頻率慢聲音就比較渾厚，引導(dǎo)學(xué)生思考是不是可以從頻域上去分辨。工業(yè)上，本來正常按周期工作的機(jī)器，突然出現(xiàn)了故障，到底是哪里的故障呢？時域波形看不出來，頻域能看出來嗎？

問題的提出，吸引學(xué)生進(jìn)入主動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，引出課程講解的內(nèi)容，即信號的頻域分析方法——傅里葉級數(shù)。通過引入日常生活實(shí)例和工程案例，讓學(xué)生直觀地感受到時域無法解決的問題，必須進(jìn)行頻域研究。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到看待一項(xiàng)技術(shù)的好壞，不能脫離它的使用背景，要看到問題的主要矛盾，也就是最亟需解決的問題。引導(dǎo)學(xué)生以辯證的眼光看待生活學(xué)習(xí)中的各種問題現(xiàn)象。

（二）? 天才簡史視頻感悟

傅里葉級數(shù)最早是傅里葉在《熱的解析理論》提出的，這本經(jīng)典著作的問世，經(jīng)歷過很多挫折。有關(guān)傅里葉其人其事，可以觀看天才簡史——傅里葉的視頻（大約10分鐘），提供二維碼及網(wǎng)址，讓學(xué)生課下觀看，上課隨機(jī)找兩名學(xué)生談一下感悟，課下在優(yōu)學(xué)院專門建立討論區(qū)，大家暢所欲言。讓學(xué)生充分認(rèn)識創(chuàng)新過程中的困難，但是要有克服困難的勇氣。科學(xué)無國界，科學(xué)家有祖國，引導(dǎo)同學(xué)們樹立目標(biāo)，勇于探索，在科學(xué)史上留下自己的名字。課后引導(dǎo)學(xué)生泛讀經(jīng)典著作。信號與系統(tǒng)課程中涉及到很多偉大的科學(xué)家，比如傅里葉、歐拉、狄拉克和拉普拉斯等等，一般都可以通過網(wǎng)絡(luò)上天才簡史專題搜索到，每個視頻大約10分鐘，非常適合上課前和課間休息的時間觀看。

（三）? 傅里葉級數(shù)的理論推導(dǎo)

每次課都會留一些思考討論題，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)和自學(xué)。推導(dǎo)傅里葉級數(shù)要用到的積分，如公式（1）—（6）所示，提前在課下讓學(xué)生推導(dǎo)。

上課時，引導(dǎo)學(xué)生對積分結(jié)果進(jìn)行觀察。從以上積分，可以看出積分項(xiàng)主要包含三角函數(shù)集{1，cosω0t，cos2ω0t，…，cosnω0t，…，sinω0t，sin2ω0t，…，sinmω0t，…}，并且在區(qū)間一個周期內(nèi)，大多數(shù)積分結(jié)果為0。根據(jù)泛函理論可知，該三角函數(shù)集即為一組完備的正交集。反問什么叫完備正交集。繞過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論原理，利用比喻的方式，分別把正弦、余弦集合和1，比喻成男生、女生和老師，考試時，自己寫自己的（自己與自己相乘）積分結(jié)果不等于0，自己抄別人的（自己跟集合中的其他元素相乘）積分結(jié)果就是0，培養(yǎng)學(xué)生誠實(shí)守信、不踩道德紅線的品質(zhì)。功夫下在平時，不投機(jī)取巧。另外，把傅里葉級數(shù)形象地比喻成學(xué)生熟悉的三棱鏡，那么輸入的周期信號，經(jīng)過三棱鏡各個頻率成分就會顯示出來。就如同每個學(xué)生經(jīng)過考試，可以把平時學(xué)習(xí)的效果呈現(xiàn)出來一樣。

然后根據(jù)泛函理論，周期信號可以用一組完備正交集來表示。根據(jù)完備正交集的概念，推導(dǎo)周期信號的傅里葉級數(shù)表達(dá)式。

（7）

再拋出問題：式（7）中的系數(shù)怎么確定？講解三角函數(shù)集的正交特性可得傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

（四）? 傅里葉級數(shù)存在的條件

再拋出問題：是不是所有的周期信號都可以展開成傅里葉級數(shù)？講解傅里葉級數(shù)存在的三個條件。

1）絕對可積，即滿足

。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

2）在一個周期內(nèi)只有有限個有限的不連續(xù)點(diǎn)。

3）在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。

周期信號展開成傅里葉級數(shù)需要滿足狄利赫里條件，有三個條件，第一個條件是強(qiáng)狄利赫里條件，第二、第三個條件是弱狄利赫里條件?？梢匀谌胛覈t(yī)務(wù)工作者防控新冠感染疫情艱苦卓絕的奮斗歷程、相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展歷程等相關(guān)內(nèi)容，激勵學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)、不斷創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生崇尚科學(xué)、不畏艱難、積極創(chuàng)新。通過身邊實(shí)例讓學(xué)生更加直觀理解，結(jié)合新冠感染疫情，培養(yǎng)奮斗精神、科學(xué)精神、創(chuàng)新精神。

（五）? 例題分析，加深理論

通過上面的理論分析，學(xué)生大多掌握了傅里葉級數(shù)的來源和計算方法，但是不少同學(xué)還會有疑問，難道周期信號真的可以用式（7）來表示嗎？那么可以用一道經(jīng)典的例題來解釋驗(yàn)證。計算圖1所示周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式[4]。

利用式（8）很容易計算出來傅里葉級數(shù)的系數(shù)，假設(shè)選用前N項(xiàng)和來逼近題目所給出的標(biāo)準(zhǔn)方波信號，則有

當(dāng)N為不同值時的逼近效果如圖2所示。

通過圖2，可以明顯看到隨著N的增加，逼近效果越來越好，當(dāng)N=15時，逼近效果接近了原始的矩形方波信號。有關(guān)圖2的仿真效果，可以讓學(xué)生分組進(jìn)行周期信號的疊加實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中，注意提示學(xué)生編程時要嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，注意中英文符號的區(qū)別等，培養(yǎng)工匠精神?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生去觀察結(jié)果，穿插提問互動環(huán)節(jié)。最后總結(jié)一下，想要逼近原始的矩形方波信號（比喻成理想信號），就需要不斷地增加N（不斷努力），即越努力越理想。并且在不連續(xù)點(diǎn)處，總會有一個波峰，無論N取多大，這個波峰不會隨著N的增加而消失，這種現(xiàn)象就是很著名的吉布斯現(xiàn)象。

（六）? 課堂引申，思考練習(xí)

引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)周期信號的周期為無窮大時，從時域上看連續(xù)周期信號變成了連續(xù)非周期信號，那么在頻域上會是什么樣子呢？讓學(xué)生帶著這個問題去預(yù)習(xí)連續(xù)非周期信號的頻域分析，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊。同時指定一兩個參考文獻(xiàn)去供學(xué)生閱讀，拓寬學(xué)生的視野，擴(kuò)展學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，活學(xué)活用。

四? 結(jié)束語

教學(xué)過程設(shè)計應(yīng)符合認(rèn)知規(guī)律，在實(shí)際工程應(yīng)用背景下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，抽象概念以具體實(shí)例為載體，增強(qiáng)新概念、新理論的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高思想政治效果。通過板書的例題和分析，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)能夠用所學(xué)知識解決問題[5-6]。

1）通過課下觀看科學(xué)家傅里葉的簡史，上課感悟進(jìn)行討論，線下發(fā)表自己的意見，培養(yǎng)學(xué)生樹立人生目標(biāo)、堅(jiān)守初心、忘我奉獻(xiàn)、刻苦鉆研及堅(jiān)持不懈的人生態(tài)度和科學(xué)態(tài)度，努力成為“被世界銘記”的人。把名人傳記融入課堂思政，以工程實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，復(fù)雜問題用類比的方法簡單化、通俗化，并引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考問題、解決問題。將思政元素有機(jī)融入專業(yè)教學(xué)，達(dá)到潤物細(xì)無聲的效果。

2）在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生建立辯證唯物主義的世界觀，教育學(xué)生要辯證地看待人生挫折，同一問題往往有各種解決方法，遇事不鉆牛角尖，辯證地對待人生，積極樂觀地對待各種事情。

3）理論聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。從實(shí)例出發(fā)，引入理論，再回到實(shí)例中，多問幾個為什么，用所講理論解釋實(shí)際問題。使學(xué)生進(jìn)入主動思考和學(xué)習(xí)狀態(tài)。

4）課堂采用問答法和思考法進(jìn)行教學(xué)，師生互動頻繁，課堂氛圍較為活躍，學(xué)生參與度較高。采用循序漸進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生回答出正確答案，加深學(xué)生對知識內(nèi)容的理解。同時深度挖掘?qū)I(yè)知識中所蘊(yùn)含的思政元素，提高了學(xué)生對思政內(nèi)容的認(rèn)可度，減少學(xué)生的排斥情緒，在講授專業(yè)知識的同時增強(qiáng)了育人效果。

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基金項(xiàng)目：2021年廣東省教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革項(xiàng)目“集成電路設(shè)計應(yīng)用型人才培養(yǎng)計劃”（粵教高函[2021]29號）；東莞理工學(xué)院2022年校級質(zhì)量工程項(xiàng)目“課程教研室”（202202009）；東莞理工學(xué)院2022年課程思政示范項(xiàng)目“信號與系統(tǒng)”（教務(wù)【2023】15號）

第一作者簡介：趙曉芳（1982-），女，漢族，河南許昌人，博士，特聘副研究員。研究方向?yàn)樾盘柼幚怼?/p>

*通信作者：盧貴主（1968-），女，漢族，青海共和人，博士，教授。研究方向?yàn)榧呻娐吩O(shè)計。