如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想

楊雄威

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，建模思想在學(xué)生對概念和規(guī)律理解、掌握的基礎(chǔ)上，通過模型構(gòu)建的過程，讓學(xué)生學(xué)會分析問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。本文通過介紹高中數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)涵、內(nèi)容和意義，分析高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題，并針對這些問題，提出建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；建模思想；教學(xué)方法

模型是人們對事物的一種抽象描述，是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行系統(tǒng)化處理的結(jié)果，是一種理論化的思維方法。隨著社會的發(fā)展和科技水平的提高，人類面臨的問題越來越復(fù)雜，要求人們能夠從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)中抽象出各種模型，并利用這些模型解決實(shí)際問題。構(gòu)建模型是人們認(rèn)識世界的重要手段，也是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的重要特征。因此，學(xué)習(xí)使用數(shù)學(xué)工具，掌握必要的建模方法，對于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識的形成和發(fā)展具有重要意義。然而，由于缺乏相應(yīng)訓(xùn)練，許多高中生不能正確地運(yùn)用所學(xué)知識，無法有效解決問題；同時(shí)，由于缺少對模型的理解，一些學(xué)生也難以真正掌握其本質(zhì)。因此，如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想和技能，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，已成為目前我國中學(xué)教育的一個(gè)熱點(diǎn)問題。

一、關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠反映現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，并能用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值處理，具有特定結(jié)構(gòu)形式的一組數(shù)據(jù)或信息。從本質(zhì)上講，“模型”是人們對客觀事物的一種抽象，它以特定的方式描述現(xiàn)實(shí)世界的某種本質(zhì)特征[1]。高中數(shù)學(xué)建模是指將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可以計(jì)算、分析的對象，運(yùn)用相應(yīng)的知識，通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，推動問題的解決，從而提高學(xué)生應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力和素養(yǎng)的過程。

二、當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題

（一）“雙基”不扎實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生厭學(xué)情緒嚴(yán)重

基礎(chǔ)知識不扎實(shí)是造成目前學(xué)生厭學(xué)的根本原因。由于教材內(nèi)容多而雜，且難度大，再加上高考只考基礎(chǔ)性知識和簡單應(yīng)用性知識，所以許多同學(xué)把精力放在應(yīng)對考試上，而不注重基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，致使不少學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握得不牢固，甚至出現(xiàn)大面積的知識性失誤，直接影響到高考的正常發(fā)揮，從而導(dǎo)致部分學(xué)生對學(xué)習(xí)失去了

信心。

（二）“雙基”落實(shí)不到位，導(dǎo)致師生關(guān)系緊張

課堂是教育教學(xué)的主陣地。然而，有些教師認(rèn)為，只要上課時(shí)講得天花亂墜，讓學(xué)生聽得云里霧里，就能取得良好的教學(xué)效果，至于課后如何輔導(dǎo)，則全由任課教師自己說了算[2]。結(jié)果，很多教師忽視了課后的鞏固練習(xí)，致使學(xué)生在復(fù)習(xí)階段仍不能很好地掌握所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而影響考試成績。

（三）“雙基”落實(shí)有偏差，導(dǎo)致教與學(xué)脫節(jié)

在實(shí)際的教學(xué)中，有的教師為了趕進(jìn)度，往往采用滿堂灌的方式，使本來應(yīng)該通過自學(xué)掌握的課本知識，變成了課堂上聽教師的講解。這樣，雖然表面上看起來完成了任務(wù)，但實(shí)際上，由于沒有經(jīng)過自己的思考和消化，學(xué)生所獲得的知識只是浮于表面。久而久之，就會養(yǎng)成一種惰性的思維，不利于知識的積累，最終也會阻礙其能力的提高。

三、建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容

（一）抽象

抽象是建模的前提，沒有對問題的充分理解與把握，就不可能建立起有效的模型，因此，教師在講解新課之前必須認(rèn)真鉆研教材，吃透教材，把有關(guān)概念和知識進(jìn)行梳理，將它們之間的聯(lián)系與區(qū)別加以比較，找出其中的關(guān)鍵點(diǎn)，并注意規(guī)律性的總結(jié)，使學(xué)生在頭腦里形成一定的認(rèn)識。抽象過程是一個(gè)從具體到概括的過程。例如：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，首先應(yīng)讓學(xué)生知道什么是正弦，什么是余弦，再通過觀察，發(fā)現(xiàn)它們的圖像，進(jìn)而分析三角函數(shù)的性質(zhì)，最后，由特殊到一般得出結(jié)論。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅掌握了基礎(chǔ)知識，還學(xué)會了用歸納的方法去解決問題，從而提高了學(xué)生的思維能力。

（二）簡化

復(fù)雜的問題往往是由簡單問題構(gòu)成的。因此，教師要善于運(yùn)用簡化的方法，幫助學(xué)生解決復(fù)雜的實(shí)際問題。如：學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，可先讓學(xué)生根據(jù)定義寫出它的圖像，然后，引導(dǎo)學(xué)生討論：如果以1為底的對數(shù)，則其值等于多少？這時(shí)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，對數(shù)越大，其值也越大。于是，就可以進(jìn)一步提出：若以3為底，那么它的大小是多少？這樣，就把一個(gè)十分繁雜的指數(shù)和對數(shù)的計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的求積公式[3]。由此可見，簡化是提高解決問題能力的有效手段。

（三）假設(shè)

事物的發(fā)展都是按照一定規(guī)律進(jìn)行的，人們可以通過合理的設(shè)想，預(yù)測事物的變化趨勢，從而掌握客觀事物發(fā)展的規(guī)律。比如：在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)中的頻率分布時(shí)，可要求學(xué)生先思考：某一隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，可以如何表示？然后再提出這樣的問題：某次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，能否確定下一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果？經(jīng)過一番討論之后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，對于同一組數(shù)據(jù)，只要每次取樣的結(jié)果相同，那么，該組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)就相同。所以，教師可以做出這樣的假設(shè)：如果重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)足夠多，那么，所得到的總體平均數(shù)就會接近于100%。

四、建模思想融入高中數(shù)學(xué)的意義

（一）有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

在解決實(shí)際問題中，往往需要根據(jù)問題的背景，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，然后運(yùn)用有關(guān)的知識和方法進(jìn)行計(jì)算和推理。這種通過建立模型，運(yùn)用相關(guān)知識和方法解決問題的方式就是建模。在高中階段，由于知識內(nèi)容多、涉及面廣、難度大，學(xué)生很難掌握，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用簡單的圖形來描述復(fù)雜的問題，進(jìn)而利用所學(xué)的知識，對所給的問題進(jìn)行合理分析，從而得出結(jié)論。例如：在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，可讓學(xué)生結(jié)合具體的例子，理解什么是指數(shù)函數(shù)，以及如何求它的定義域、值域等。再如：在講不等式性質(zhì)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生思考，如果＞1，那么不等式的解集是什么？當(dāng)＜1時(shí)，又該如何處理？這樣，不僅加深了學(xué)生的理解，還提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。模型的應(yīng)用，使抽象的公式變得形象化，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，能夠更好地理解和掌握相關(guān)的概念，并靈活地運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q各種實(shí)際問題。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

邏輯是一種普遍存在的思維形式。從本質(zhì)上講，它是一種判斷，即對事物是否合乎規(guī)律性的認(rèn)識。而判斷與推理是人們正確認(rèn)識客觀事物的兩種基本思維過程，也是人類大腦的基本功能之一。要想培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，首先就要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S的習(xí)慣。而在現(xiàn)實(shí)生活中，許多問題的解決往往需要通過一定的思考過程，這就要求教師在教學(xué)過程中學(xué)會用科學(xué)的思維方式去思考。而要形成良好的思維習(xí)慣，就必須掌握正確的教學(xué)方法。所以，在教學(xué)過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的意識和能力。其中，將所學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)踐活動中，就是一種重要的實(shí)踐方式。而要完成這一任務(wù)，就需要教師善于發(fā)現(xiàn)生活中的規(guī)律，從中提煉出有用的信息。只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用，達(dá)到學(xué)有所獲，學(xué)有所用的目的[4]。因此，為了幫助學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高其綜合能力和創(chuàng)新精神，教師應(yīng)該積極引入建模的思想。

（三）有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識

傳統(tǒng)的教學(xué)模式注重傳授書本上的理論知識，忽視對學(xué)生能力的培養(yǎng)。而新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教師要轉(zhuǎn)變觀念，以新的教育理念指導(dǎo)自己的教學(xué)工作。在新課程背景下，教師應(yīng)重視培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，把培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力作為實(shí)施素質(zhì)教育的重要任務(wù)。隨著社會的發(fā)展，人們對物質(zhì)和精神生活的需求也日益增長，這就使得人們在日常生活中遇到越來越多的實(shí)際問題。面對這些問題，如果僅僅依靠傳統(tǒng)的解題方法來處理，顯然是無法滿足人們的需求。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的方法只能解決那些比較簡單的、容易解決的問題，對于那些較為復(fù)雜的問題，由于缺乏有效的解決方法，最終只能束手無策。然而，如果教師能夠在解決問題時(shí)，充分考慮問題的背景條件及影響等，然后選擇一種合適的方案來解決，則就能夠有效避免盲目性。同時(shí)，還可以有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，從而更好地促進(jìn)其創(chuàng)造能力的提高。

五、數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意的問題

（一）重視對基本模型的構(gòu)建

在高中階段的數(shù)學(xué)習(xí)題中，大部分屬于中等難度的題目，這類題目往往涉及的知識點(diǎn)較多，難度不大，但需要學(xué)生掌握的知識點(diǎn)比較多。對于此類題型，如果僅僅讓學(xué)生套用公式或者解幾道常規(guī)的題目，很難提高學(xué)生的思維能力。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真審題、明確題意的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，合理選擇解題方法，從不同的角度去考慮問題，尋找解決問題的切入點(diǎn)，最終得出正確的結(jié)論。

（二）加強(qiáng)應(yīng)用意識

建模的目的在于解決具體問題，而問題的提出往往是建立在現(xiàn)實(shí)生活中的。因此，教師在日常的課堂教學(xué)過程中，應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生積極探索，勇于創(chuàng)新，并及時(shí)給予肯定與鼓勵。

（三）注意對建模過程的評價(jià)

傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往只重視結(jié)果，不重過程，導(dǎo)致許多學(xué)生在面對新情境時(shí)，不知道如何去思考，也不知道該如何下手。所以，教師應(yīng)該改變以往的教學(xué)評價(jià)方式，不僅要看學(xué)生的答案是否完整正確，還要看學(xué)生是如何思考的。

（四）教學(xué)并重

傳統(tǒng)的教學(xué)模式，常常會忽視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致課堂氣氛沉悶，效率低下。因此，教師要轉(zhuǎn)變教育觀念，充分尊重學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動其學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生在輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛圍下，主動獲取知識。

六、建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的對策

（一）選擇合適的數(shù)學(xué)建模案例

選擇合適的數(shù)學(xué)建模案例，是數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，選擇具有代表性和啟發(fā)性的數(shù)學(xué)建模案例。首先，教師對于數(shù)學(xué)建模案例的選擇應(yīng)該與高中數(shù)學(xué)課程相關(guān)，要涵蓋高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn)和主題。例如，可以選擇與函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、幾何、代數(shù)等主題相關(guān)的案例，這樣的案例能夠讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，并將其應(yīng)用到實(shí)際問題中。其次，數(shù)學(xué)建模案例的選擇應(yīng)該具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠引起學(xué)生的興趣和好奇心，讓他們積極地思考和探究問題，挑戰(zhàn)性的案例可以讓學(xué)生更好地鍛煉自己的思維能力和解決問題的能力。例如，可以選擇“設(shè)計(jì)最優(yōu)的旅游路線”這個(gè)案例，讓學(xué)生利用線性規(guī)劃知識，設(shè)計(jì)最優(yōu)的旅游路線，這個(gè)案例涉及到線性規(guī)劃、圖論、最優(yōu)化等多個(gè)知識點(diǎn)，能夠讓學(xué)生更好地理解最優(yōu)化問題，并將其應(yīng)用到實(shí)際問題中。然后，數(shù)學(xué)建模案例的選擇應(yīng)該貼近學(xué)生的生活，能夠讓學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力。例如，可以選擇“評估個(gè)人財(cái)務(wù)狀況”這個(gè)案例，讓學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)知識，評估自己的財(cái)務(wù)狀況。這個(gè)案例涉及到統(tǒng)計(jì)、圖表制作等多個(gè)知識點(diǎn)，能夠讓學(xué)生更好地理解統(tǒng)計(jì)知識，并將其應(yīng)用到實(shí)際問題中。最后，數(shù)學(xué)建模案例的選擇應(yīng)該具有良好結(jié)構(gòu)，能夠清晰地呈現(xiàn)出問題的本質(zhì)和影響因素，具有良好結(jié)構(gòu)的案例可以讓學(xué)生更好地理解問題的本質(zhì)，并能夠更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題。

（二）引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模思想是解決實(shí)際問題的一種思維方式，它需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模意識。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，讓學(xué)生從實(shí)際問題中感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性。教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析實(shí)際問題，數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)質(zhì)是將數(shù)學(xué)與實(shí)際問題相結(jié)合，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析實(shí)際問題，讓學(xué)生從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)學(xué)模型，為了幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)建模思想，教師應(yīng)該提供豐富的數(shù)學(xué)建模案例，讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)建模的方法和技巧。同時(shí)，教師還可以組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型提供有力的支撐。例如，在教授“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”這一模塊時(shí)，教師可以舉一個(gè)實(shí)際例子，如通過建立數(shù)學(xué)模型來解決高速公路上的車速控制問題，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模思想；在解析幾何中，可以通過建立數(shù)學(xué)模型，求解實(shí)際問題中的距離、角度等問題；在代數(shù)中，可以通過建立數(shù)學(xué)模型，求解實(shí)際問題中的函數(shù)問題；在概率統(tǒng)計(jì)中，可以通過建立數(shù)學(xué)模型，求解實(shí)際問題中的概率問題等

（三）注重實(shí)踐操作和模型驗(yàn)證

數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)踐操作和模型驗(yàn)證是數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。在實(shí)踐操作中，學(xué)生可以通過實(shí)際問題來學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法[5]。例如，學(xué)生可以通過解決實(shí)際問題，如計(jì)算某種產(chǎn)品的成本、分析某種現(xiàn)象的原因等，來學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法。在模型驗(yàn)證中，學(xué)生可以通過對模型進(jìn)行驗(yàn)證來檢驗(yàn)其正確性和可靠性。例如，學(xué)生可以通過實(shí)驗(yàn)或數(shù)據(jù)分析來驗(yàn)證某種模型的正確性和可靠性。在教學(xué)過程中，可以通過組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)地調(diào)查、實(shí)驗(yàn)等方式來獲取實(shí)際數(shù)據(jù)，然后讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并通過模型驗(yàn)證來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和可行性。例如教師在教學(xué)時(shí)，以“公交車調(diào)度問題”為例，可以通過以下步驟實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的融入：首先，組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，了解公交車線路、站點(diǎn)、車輛數(shù)量、客流量等信息，通過實(shí)地調(diào)查獲取實(shí)際數(shù)據(jù)。其次，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)地調(diào)查的結(jié)果，建立公交車調(diào)度問題的數(shù)學(xué)模型?？梢酝ㄟ^排隊(duì)論、圖論等數(shù)學(xué)知識來解決這個(gè)問題。然后，讓學(xué)生通過模型驗(yàn)證來檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性和可行性?？梢酝ㄟ^仿真軟件等方式來模擬實(shí)際情況，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。最后，通過組織學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)等方式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。

結(jié)束語

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不僅要掌握知識本身，還要學(xué)會運(yùn)用知識解決實(shí)際問題，而建模思想正是解決這些問題的重要工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)到的知識和方法應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中去解決問題；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實(shí)踐能力和合作精神等核心素養(yǎng)；重視對學(xué)生進(jìn)行情感教育、價(jià)值觀教育和人生觀教育。

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