展現(xiàn)思維過程 探尋問題本質(zhì)
——連乘問題教學實踐與思考

浙江杭州市錢塘區(qū)教師教育學院（310018） 鮑善軍

【課前慎思】

學生通過對比兩步計算——從已知信息中任選其中兩個數(shù)相乘，再乘第三個數(shù)，也能給出連乘的正確答案。那么，連乘問題的教學價值是什么？

思考一：課堂教學目標定位——教什么？

簡單知識的教學怎樣才能做到簡約而深刻？筆者認為，首先要充分理解教材編寫意圖，基于真實學情深入思考起決定性作用的問題——“教什么”，以及在運用連乘解決實際問題中讓學生探索真實情境所蘊含的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并分析問題和解決問題，提煉解決問題的方法，體會解決問題策略的多樣化。

波利亞指出，解題的價值不是答案本身，而在于弄清“是什么促使你這樣想、這樣做的”。學生解答連乘問題沒有困難，不代表他們能理解算式每一步所表示的意義。教學中，教師要讓學生明白先解決什么，再解決什么，把一步乘法、兩步乘法的算式與問題聯(lián)系起來思考與分析，以免忽略了其背后所承載的價值。

思考二：教學活動策略選擇——怎么教？

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》明確指出：“學生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應(yīng)用意識?！闭n堂教學應(yīng)緊扣核心知識，設(shè)計適當?shù)膶W習探究活動，引導學生充分經(jīng)歷數(shù)學知識、方法形成的思維過程，厘清相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別，即解決好“怎么教”。

問題解決的過程是學生思維過程的展現(xiàn)。強化解決問題的思考過程，鼓勵學生用多種策略解決問題，提升學生的問題解決能力，讓學生學會用數(shù)學的思維思考與解決現(xiàn)實問題。

【教學目標】

1.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，學會用兩步連乘解決現(xiàn)實生活中的簡單問題。

2.通過解決問題的探究活動，培養(yǎng)自主提取信息和解決問題的能力，感悟解決問題策略的多樣化，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法。

3.在解決問題的活動過程中，積累問題解決的經(jīng)驗，形成初步的應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學學習興趣和探索精神。

【課中深思】

1.收集信息，提出問題

（1）開門見山，揭示課題

師：這節(jié)課，讓我們一起用數(shù)學的眼光觀察生活中的實際問題。（板書：解決問題）

（2）創(chuàng)設(shè)情境，收集信息

師：學校運動會開幕式上，同學們排著整齊的方陣走過來了。我們來觀察其中一個方陣（圖略），你從中看到了什么數(shù)學信息？

生1：這個方陣每行有5人，有這樣的4行。

生2：這個方陣每列有4人，有這樣的5列。

（3）根據(jù)信息，提出問題

師（出示圖1）：現(xiàn)在有這樣的3 個方陣。根據(jù)圖上的信息，你能提出什么數(shù)學問題？

圖1

生3：這3個方陣一共有多少人？

【設(shè)計意圖】情境的選擇是建立問題結(jié)構(gòu)的核心。創(chuàng)設(shè)貼近學生生活的情境，有利于幫助學生理解問題、激活學生的數(shù)學思維、培養(yǎng)學生的問題意識與應(yīng)用意識。

2.展開探究，解決問題

（1）任務(wù)驅(qū)動，嘗試探究

①列一列：獨立思考，列式解決問題。

②想一想：你是先解決什么問題，再解決什么問題的？

③說一說：完成后，同桌互相說一說思考的過程。

【設(shè)計意圖】知識不應(yīng)是被動接受的，而是自主學習和建構(gòu)的過程。任務(wù)驅(qū)動，讓學生擁有自主探究的空間和時間，經(jīng)歷獨立思考后再與他人交流，既能展現(xiàn)學生的原始思維，又能完善其認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生的主體意識與合作意識。

（2）反饋交流，提煉策略

師：哪位同學來匯報一下學習成果？需要說出你先解決什么問題，后解決什么問題。

生4：5×4 表示1 個方陣的人數(shù)（如圖2），我先算1 個方陣有5×4=20（人），再算3 個方陣一共有20×3=60（人）。

圖2

師：思路清晰，很棒！還有不同的方法嗎？

生5：5×3 表示1 大行的人數(shù)（如圖3），1 大行有5×3=15（人），有這樣的4 大行，一共有15×4=60（人）。

圖3

生6：我把3 個方陣豎向排列（如圖4），1 大列有4×3=12（人），有這樣的5 大列，一共有12×5=60（人）。

圖4

師：太厲害了！同樣是解決3 個方陣的總?cè)藬?shù)問題，從不同的角度思考，可以列出不同的算式。仔細觀察，這些算式有什么共同特點？

生7：這些算式都是兩步乘法。

師：有同學列出了5×4×3=60（人）的算式，你怎么理解？

生8：這種方法是把生4 的兩步合并成綜合算式，解題思路是一樣的。

師：這其實就是連乘，也就是我們今天要研究的問題。誰能用這樣的連乘算式表示生5、生6的方法？

（3）根據(jù)算式，想象方陣

師：根據(jù)4×3×2 這個算式，你的頭腦中會出現(xiàn)一個怎樣的方陣圖？

生9：每行有4 人，有3 行，有2 個這樣的方陣。

師：還有不同的方陣圖嗎？

【設(shè)計意圖】解決問題的過程中，只知其然是遠遠不夠的，還需明白其所以然。借助直觀方陣圖，分解連乘問題的含義，展露學生的思維過程。學生用語言清晰表達思路的同時，深刻體會到從不同的角度思考可以列出不同的乘法算式，雖意義不同，然殊途同歸。最后，根據(jù)算式想象方陣，讓學生體會連乘算式和實際問題的聯(lián)系，這既是對連乘問題的建構(gòu)過程，也是對連乘問題的解構(gòu)過程，更是幫助學生建立數(shù)學模型的過程。

3.鞏固提高，融會貫通

（1）基礎(chǔ)題

小紅堅持鍛煉身體，每天跑2 圈。跑道每圈400米，你能算一算她一個星期跑多少米嗎？

（2）拓展題

超市上周賣出5 箱保溫壺，每箱裝12 個，每個保溫壺售價45 元。超市上周賣保溫壺共收入多少錢？

（3）拔高題

如圖5所示，這個圖形一共有多少個正方體？

圖5

（4）培優(yōu)題

根據(jù)圖6和圖7說一說：（）相當于（）。

圖6

圖7

【設(shè)計意圖】練習設(shè)計體現(xiàn)層次性、多維度。首先，解決跑步問題，讓學生再次體會連乘問題的基本特征。其次，從常規(guī)思考走向非常規(guī)思考，并借助數(shù)形結(jié)合把復雜的數(shù)量關(guān)系變得簡明、直觀。最后，通過知識關(guān)聯(lián)，打通“一組題”的本質(zhì)聯(lián)系，融通“一類題”的思維結(jié)構(gòu)。

4.課堂回顧，總結(jié)反思

師：這節(jié)課你有什么收獲與體會？

【課后研思】

一般而言，數(shù)學教學要講清三個問題，即“是什么”“為什么”“怎么樣”。鄭毓信教授也指出，我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并讓學生逐步想得更清晰、更深入、更全面、更合理，由理性思維逐步走向理性精神。在教學中，教師須立足學生的已有經(jīng)驗，立足知識本質(zhì)，通過適當?shù)奶骄炕顒?，引領(lǐng)學生充分體驗、自主感悟。

1.展現(xiàn)思維過程，讓學生“說得清”

學生數(shù)學學習的過程，本質(zhì)上是觀察、思考、選擇和整合外部學習材料的過程。教師基于學情，重構(gòu)素材，實施任務(wù)驅(qū)動，引領(lǐng)學生主動探究、自主體驗，在觀察、思考和表達的思維過程中不斷突破原有認知，建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)。

在教學中創(chuàng)設(shè)真實情境，有利于學生對數(shù)學產(chǎn)生親近感，進而理解數(shù)學知識的基本含義。“想一想，你是先解決什么問題，再解決什么問題的？”具有明確要求的任務(wù)驅(qū)動，能促使學生進行深入思考，鼓勵學生從不同角度、策略去思考問題。反饋交流時，凸顯“先解決……再解決……”的過程，讓學生再次反思解題思路，清晰表達思維過程，并通過不斷的自我調(diào)控，從中獲取解決問題的有效策略。如此，學生就能在“說得清”的過程中，從個體思維走向群體思維，增強合作交流意識，積累解決問題經(jīng)驗，發(fā)展解決問題能力。

2.滲透數(shù)形結(jié)合，讓學生“理得明”

不少學生潛意識中把解決問題當作一個列出算式、計算結(jié)果的簡單過程，而忽略其中思維發(fā)展、方法習得的豐富內(nèi)涵。對此，在解決問題的過程中，教師為學生提供自主探究的時間與空間，引導學生借助直觀學具進行交流，深入分析數(shù)量關(guān)系，能進一步增進學生對不同方法的理解。

華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”在教學中，直觀方陣圖成了學生思考交流活動的有力工具。首先，通過擺一擺、圈一圈、指一指等直覺動作，學生在潛移默化中感悟到解決問題策略的多樣性，培養(yǎng)了從多角度觀察、多視角思考問題的意識。其次，脫離直觀學具，引導學生在頭腦中想象算式4×3×2 的方陣圖，體會連乘算式與實際問題的聯(lián)系。最后，練習中的數(shù)形結(jié)合，讓學生直觀、形象地理解連乘的意義，形成初步的幾何直觀與模型意識。

3.推進“一題一課”，讓學生“想得透”

所謂“一題一課”，是指通過對一個主題或一組習題的深入研究，科學、合理、有序地組織學生展開相關(guān)的數(shù)學探究活動，在“一課”中完成“一題”，借“一題”促進學生對知識之間的關(guān)聯(lián)性產(chǎn)生深刻的理解，實現(xiàn)“學一題、透一點、通一類”的學習目標。

學生的學習是一個不斷自我完善、自我建構(gòu)的過程。在教學中，充分利用方陣圖這一素材，通過任務(wù)驅(qū)動的探究活動，幫助學生思考得更加清晰、全面。學生在遞進式的練習中不斷擴充、改造和調(diào)整，明晰連乘問題的數(shù)量關(guān)系。在知識關(guān)聯(lián)時，學生回顧解決問題的過程中，形成連乘問題的基本特征，感悟同一個問題的不同解決方法和策略。這樣的過程能促進學生對同一類主題學習內(nèi)容“想得透”，從而由此及彼突破原有認知結(jié)構(gòu)，整體建構(gòu)新的認知體系。

從“一題”推進“一類”，展現(xiàn)思維過程，探尋問題本質(zhì)，讓課堂教學更加簡約，讓數(shù)學理解更加深刻，值得教師持續(xù)研究與實踐。