以理驅(qū)法，基于小數(shù)除法體會運(yùn)算一致性

甘肅武威市涼州區(qū)西苑實(shí)驗(yàn)小學(xué)（733000） 侯玉蓮

所謂運(yùn)算一致性，就是算理和算法相互貫通。從本質(zhì)上說，運(yùn)算一致性不是指向知識，而是指向方法與思想；不是碎片化，而是對數(shù)學(xué)知識體系的整體構(gòu)建與結(jié)構(gòu)化合攏。就小學(xué)除法而言，學(xué)生可能會誤認(rèn)為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的算理和算法不一樣。實(shí)際上，通過整體梳理可以找出三者之間的聯(lián)系點(diǎn)與一致性，做到前后勾連、環(huán)環(huán)相扣、整體理解。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確指出運(yùn)算教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性與一致性。過去，“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運(yùn)算”是兩個(gè)主題，現(xiàn)在已經(jīng)整合為“數(shù)與運(yùn)算”一個(gè)主題。這樣的調(diào)整為我們提供了新的課改風(fēng)向標(biāo)。教師應(yīng)該認(rèn)識到并正視運(yùn)算一致性的重要性，秉持一種“用一根線串起珠子”的教學(xué)觀與方法觀，以結(jié)構(gòu)重建的方式進(jìn)行關(guān)聯(lián)性開發(fā)，將零散的知識內(nèi)容串起來，這樣才能為學(xué)生學(xué)習(xí)力的提升提供建設(shè)性思路。

一、梳理教材尋找支點(diǎn)

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，“唯教材是從”的現(xiàn)象仍然存在?；诮滩耐七M(jìn)教學(xué)的優(yōu)勢是能夠抓住重難點(diǎn)完成教學(xué)任務(wù)。但弊端也是顯而易見的，即缺乏整體，知識與知識、單元與單元之間不能關(guān)聯(lián)在一起。教師不一定要“唯教材是從”。由此，基于學(xué)理與算理層面梳理教材、尋找支點(diǎn)成為關(guān)鍵。這里的“支點(diǎn)”，在作用上指向“橋梁”作用，能夠貫通前后知識點(diǎn)；在方法上指向舉一反三，做到由零散呈現(xiàn)過渡到本質(zhì)勾連。

人教版教材的“小數(shù)除法”單元安排了五道例題，兼顧了小數(shù)除法的不同類型。其中“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”比較簡單，只需注意小數(shù)點(diǎn)的位置；“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”注重商不變的性質(zhì)；“商的近似數(shù)”注重“四舍五入”；“循環(huán)小數(shù)”注重循環(huán)節(jié)；“用計(jì)算器探索規(guī)律與解決問題”重在實(shí)踐、應(yīng)用與印證。盡管這樣的編排分類細(xì)致，由易到難，但給學(xué)生留下了“難度很大”的印象。教師不妨整體把握，將單元分為兩個(gè)課時(shí)：“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。這兩個(gè)課時(shí)相互融合（前者是后者的基礎(chǔ)及應(yīng)用，后者可以看作是前者的變式），算理相同（將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分），完全可以通過轉(zhuǎn)化思想展現(xiàn)運(yùn)算的一致性，達(dá)到構(gòu)建“知識樹”的目的。厘清小數(shù)除法的算理是貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的支點(diǎn)。教師應(yīng)該基于單元教學(xué)框架，從整體上對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組（如圖1）。

圖1

將五道例題的教學(xué)分為兩個(gè)關(guān)鍵課時(shí)，一方面在于整體建構(gòu)知識，另一方面在于解決問題。從整數(shù)除法到小數(shù)除法，再到后期的分?jǐn)?shù)除法，有超越單個(gè)范疇、可綜合運(yùn)用的大概念，可以通過總體的算理貫穿各自的算法，不是簡單意義上的增減，而是知識結(jié)構(gòu)上的簡化。其中，感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性不可或缺。

二、分析學(xué)情找準(zhǔn)切入點(diǎn)

1.化繁為簡，算式導(dǎo)入

對教材的結(jié)構(gòu)性整合，首先從知識的導(dǎo)入開始。在“小數(shù)除法”中，人教版教材編排了跑步的情境為導(dǎo)入環(huán)節(jié)，但缺乏支撐性的算理情境——千米和米之間的單位換算情境。筆者經(jīng)過思考，決定先設(shè)計(jì)兩道前測題，對學(xué)生的小數(shù)除法計(jì)算能力進(jìn)行測試并分析。

前測1：小吳用22.4 元買了4 支筆，每支筆的價(jià)格是多少？請寫出計(jì)算過程并說出理由。

前測2：22.4÷4=（ ），將商填在括號中并說出理由。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)與分析，筆者發(fā)現(xiàn)平均正確率超過了97%，這意味著絕大多數(shù)學(xué)生計(jì)算“22.4÷4”已不存在問題，通過情境提供思考的框架其實(shí)意義不大。筆者進(jìn)一步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，借助“元、角、分”進(jìn)行單位轉(zhuǎn)化的學(xué)生少之又少。這說明學(xué)生已經(jīng)有了由抽象到形象的運(yùn)算能力，情境的作用較弱。因此，通過生硬的情境引入新知識的方式應(yīng)該舍棄，直接從運(yùn)算的一致性導(dǎo)入新課反而是有效的方式。

2.分析起點(diǎn)，構(gòu)想策略

為透徹了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，了解學(xué)生的前知識結(jié)構(gòu)，考查學(xué)生對除法算理的掌握情況，知曉學(xué)生遇到的困難，筆者以算式“16÷5”為切入點(diǎn)進(jìn)行測試。通過學(xué)生的解題過程，分析學(xué)生對除法知識的掌握情況，具體內(nèi)容見表1。

表1 對學(xué)生的解題情況的分析

盡管這次測試的正確率為77.8%，但一部分學(xué)生是口算或憑借數(shù)感得到正確答案的，并未真正理解運(yùn)算的一致性，未從整體思想出發(fā)進(jìn)行知識遷移與內(nèi)化。鑒于此，教師應(yīng)舍棄算法多樣化，重組教學(xué)材料，重構(gòu)教學(xué)框架，注重算法、算理的一致性，鋪設(shè)一條前后銜接的整體教學(xué)之路，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最大化。

三、教學(xué)實(shí)踐過程

1.口算引入，引發(fā)認(rèn)知沖突

既然有一部分學(xué)生不理解算理，那么針對“16÷5”的商究竟是用帶有余數(shù)的形式表示，還是用小數(shù)表示？教師應(yīng)從整數(shù)除法入手，逐步過渡到小數(shù)除法，進(jìn)行知識脈絡(luò)的續(xù)接。由此，整數(shù)、小數(shù)的相關(guān)知識勾連在一起，為教學(xué)運(yùn)算一致性埋下伏筆。

比如，口算“16÷5”“9÷4”，學(xué)生很容易地得出結(jié)論為16÷5=3……1，9÷4=2……1。針對余數(shù)，教師不妨質(zhì)疑：“有余數(shù)的除法是舊知識，有別的答案嗎？個(gè)別同學(xué)的答案中有小數(shù)，是否正確？”這些計(jì)算題看似簡單，實(shí)則是整數(shù)除法到小數(shù)除法的過渡。其中，對余數(shù)的質(zhì)疑比較關(guān)鍵，能促使學(xué)生產(chǎn)生究竟要不要繼續(xù)細(xì)分“1”的念頭。這樣的思考指向溯源性思考，使得新舊知識之間有了聯(lián)系，便于學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這正是運(yùn)算一致性的體現(xiàn)。

2.多元表征，體會算理原理

細(xì)致分析學(xué)生在計(jì)算“16÷5”時(shí)出錯(cuò)的原因，是因?yàn)椴恢涝趺刺幚碛鄶?shù)“1”，即學(xué)生缺乏對運(yùn)算一致性的整體把握與理解。教師不妨引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真觀察豎式特征，通過多元表征，完成前后知識的勾連。

讓學(xué)生先呈現(xiàn)用豎式計(jì)算的過程，再把想法畫出來。

圖2是一個(gè)學(xué)生寫的計(jì)算過程。

圖2

教師提出問題：“你為什么這么寫呢？”這個(gè)學(xué)生因?yàn)橐呀?jīng)理解了其中的算理，所以脫口而出：“我把余下的1看成了10個(gè)0.1?！苯處熢诳隙ǖ耐瑫r(shí)進(jìn)一步追問：“那么，2 呢？”這個(gè)學(xué)生稍作思考后說出過程及理由：“既然10 個(gè)0.1 除以5 的結(jié)果是2 個(gè)0.1，那么3后面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)就是必然的，而2寫在十分位上也是必然的，因?yàn)檫@里表示的是2個(gè)0.1。”

上述過程彰顯著新舊知識的聯(lián)結(jié)，彰顯著運(yùn)算一致性的貫通，引發(fā)了學(xué)生的層層思考，調(diào)動了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行多元表征。從表面上看，是一位數(shù)變成兩位數(shù)，實(shí)際上，計(jì)數(shù)單位更小，這正是小數(shù)的意義。這種不斷細(xì)分的過程，無疑是計(jì)算整數(shù)、小數(shù)乃至分?jǐn)?shù)除法時(shí)都要經(jīng)歷的過程。

3.遷移推理，感受運(yùn)算本質(zhì)

在小數(shù)除法算理教學(xué)中，教師不能只關(guān)注把幾個(gè)一轉(zhuǎn)化成幾十個(gè)十分之一，還要秉持舉一反三與遷移推理的原則，引領(lǐng)學(xué)生不斷細(xì)分，從一次到多次，貫通所有的小數(shù)除法算理，真正達(dá)到“一通百通”的效果。

例如，在計(jì)算“9÷4”時(shí)，學(xué)生的豎式中出現(xiàn)了1與2，教師不失時(shí)機(jī)地追問這兩個(gè)數(shù)表示的意義，學(xué)生通過討論意識到，既然1 這個(gè)計(jì)數(shù)單位不夠分了，那么就必須繼續(xù)細(xì)分，從而產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位——0.1。照此推理，余幾個(gè)0.01，可以繼續(xù)添0，變成幾個(gè)0.001，不斷細(xì)分，直到解決問題為止。這不就是整數(shù)除法的規(guī)律嗎？由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩者之間的聯(lián)通點(diǎn)。

從直觀形象的小數(shù)除法豎式入手，學(xué)生不難理解細(xì)分的意義和作用，當(dāng)然也認(rèn)識到“數(shù)的意義”與“數(shù)的運(yùn)算”之間的關(guān)聯(lián)，前者為后者的基礎(chǔ)，后者是對前者的再應(yīng)用與佐證。同時(shí)，學(xué)生也理解數(shù)的表示與運(yùn)算方法的一致性，整數(shù)除法與小數(shù)除法在算理上的一致性。這樣的遷移推理不應(yīng)小覷，應(yīng)視作運(yùn)算教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)而大力應(yīng)用。

4.對比梳理，凸顯算理一致

從上述計(jì)算中，學(xué)生已經(jīng)理解：無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0 除外），商不變”的原理是通用的。那么，學(xué)生在計(jì)算時(shí)完全可以將新知轉(zhuǎn)化為舊知。當(dāng)然，前提是讓學(xué)生理解轉(zhuǎn)化的原理。學(xué)生一旦理解了算理，確定小數(shù)點(diǎn)的位置就變得容易了。筆者的做法是通過兩次對比進(jìn)行梳理。

第一次對比，讓學(xué)生計(jì)算并觀察“1.6÷0.5”和“16÷5”的商，學(xué)生想：兩個(gè)算式的商是一樣的，是因?yàn)檎麛?shù)除法中商不變的性質(zhì)在小數(shù)除法中也是適用的。

第二次對比，展示學(xué)生完成的幾組除法豎式（包括錯(cuò)解，如圖3），通過對比、歸納、匯報(bào)、交流，體會運(yùn)算一致性。

圖3

從對比中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)把“9÷0.4”看成“90÷4”，實(shí)際上就是利用了商不變的性質(zhì)。而“商不變”的關(guān)鍵在于除數(shù)與被除數(shù)必須要同時(shí)變化，如果只有其中一個(gè)數(shù)變化，就會出現(xiàn)錯(cuò)位，過渡到小數(shù)，就會出現(xiàn)小數(shù)點(diǎn)位置點(diǎn)錯(cuò)的問題。可見，理解了整數(shù)除法的意義、算法、算理，轉(zhuǎn)化思想的滲透就自然而然達(dá)成了，循著轉(zhuǎn)化這一路徑，明算理，清算法，學(xué)生辨析錯(cuò)解變得容易，得出正確答案也變得容易。

以上環(huán)節(jié)用算理貫穿始終，在變中找不變，在“運(yùn)算一致性”中“多走了幾個(gè)來回”，使學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，增強(qiáng)推理意識?？梢姡闲?shù)除法單元，梳理知識脈絡(luò)，歸納知識體系，總結(jié)運(yùn)算一致性，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很有好處。教師應(yīng)該進(jìn)行系統(tǒng)化建構(gòu)，將單薄斷層變?yōu)樨S厚連續(xù)，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供支撐力，同時(shí)應(yīng)通過整體的起承轉(zhuǎn)合，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)與一致性。