整體把握的華麗轉(zhuǎn)身

王繼卿

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以情境為媒介、以自主自悟?yàn)檫^程、以梯度與層次為習(xí)題編制重點(diǎn)把握整體. 文章通過教師前后一年的教學(xué)變化，指出教學(xué)中創(chuàng)新不可或缺，知識(shí)上的前后勾連與整體把握不可或缺. 通過同課異構(gòu)，發(fā)現(xiàn)新的教學(xué)方向、新的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和新的教學(xué)路線圖，意義重大.

［關(guān)鍵詞］ 整體把握；情境創(chuàng)設(shè)；自主自悟；螺旋遞進(jìn)

引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓知識(shí)體系由單薄斷層到豐厚連續(xù)，由無序的點(diǎn)到有聯(lián)系的線，由瑣碎掌握到整體把握，關(guān)系到學(xué)生“知識(shí)樹”的構(gòu)建，以及學(xué)生素養(yǎng)的提升，不僅必要而且重要. 盡管部分知識(shí)之間、單元之間具有相對(duì)的獨(dú)立性，但也具有緊密聯(lián)系性. 葉瀾教授曾經(jīng)提出要在“聯(lián)系中教學(xué)”，既包括知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，也包括生命活動(dòng)諸方面的內(nèi)在聯(lián)系，這里的“聯(lián)系”其實(shí)就是整體把握. 數(shù)學(xué)教師，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生通過起承轉(zhuǎn)合，完成由“三維目標(biāo)”到“核心素養(yǎng)”的轉(zhuǎn)變；應(yīng)通過前后統(tǒng)整，完成由知識(shí)到能力的跨越；應(yīng)通過單元梳理，完成知識(shí)內(nèi)在機(jī)理上的結(jié)構(gòu)性把握；應(yīng)通過整體漸進(jìn)的方式，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最大化. 教師一定要基于學(xué)生的負(fù)荷力與效能感，架構(gòu)整體把握的課堂，既助力于難點(diǎn)突破，也助力于能力提高，更助力于素養(yǎng)提升，引領(lǐng)學(xué)生完成整體把握的華麗轉(zhuǎn)身.

從分?jǐn)?shù)到分式，其中的“變”與“不變”意蘊(yùn)十足，其承上啟下的意義，值得初中生深刻領(lǐng)會(huì). 作為整式的一種補(bǔ)充，與此相關(guān)的諸多問題必須通過整體把握的方式涵泳：從數(shù)到整數(shù)，從簡(jiǎn)單明了的固定范圍到具有多種可能的不確定范圍，分式在什么情況下有意義，如何將分式變形，作為分母的值為什么不能為零，約分與通分的依據(jù)是什么，深刻理解“分式及其基本性質(zhì)”，對(duì)于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程和反比例函數(shù)究竟有什么幫助……弄懂諸如此類的問題，厘清其中的內(nèi)在機(jī)理，對(duì)內(nèi)生性提升學(xué)生的思維水平意義重大.

職業(yè)使然，一年前，筆者聽過市級(jí)骨干教師李慶智執(zhí)教的“分式及其基本性質(zhì)”（華師大版）一課，其中的一些講授細(xì)節(jié)到今天仍然記憶猶新. 時(shí)隔一年，近日筆者再次聽他執(zhí)教的這一課. 同樣的內(nèi)容，同樣的執(zhí)教者，但課堂架構(gòu)、教學(xué)走向、學(xué)生反應(yīng)、教學(xué)源頭和教學(xué)理念等，都有所改變，其中的一些創(chuàng)新值得深思與借鑒. 如何大膽地“增”、如何勇敢地“刪”、如何巧妙地“補(bǔ)”、如何進(jìn)行結(jié)構(gòu)性把握、如何進(jìn)行整體性架構(gòu)，這一次，李慶智老師為大家提供了新的教學(xué)方向、新的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和新的教學(xué)路線圖.

以情境為媒介把握整體

整體把握的方法很多，最常見的莫過于理論歸納與情境滲透. 初中生的形象思維發(fā)達(dá)，具象記憶牢固，通過情境滲透更能達(dá)到事半功倍的效果. “入境始于親”，適宜的情境直指學(xué)生的情緒層，能引發(fā)學(xué)生積極的學(xué)習(xí)反應(yīng)，促使學(xué)生高效把握整體. 當(dāng)學(xué)生沉浸在情境中時(shí)，植入感顯得自然而然，學(xué)習(xí)效能感更加明顯.

毋庸置疑，對(duì)于“數(shù)與式”之間、“分?jǐn)?shù)與分式”之間的區(qū)別，對(duì)于兩者的指向范圍，對(duì)于兩者的基本性質(zhì)，相當(dāng)一部分學(xué)生還是比較清楚的. 當(dāng)然，兩者的獨(dú)立性與關(guān)聯(lián)性，“同”與“不同”的細(xì)微差別，分母不等零在分?jǐn)?shù)與分式中的不同重視情況，等等，還有待進(jìn)一步理解與鞏固. 如何較為細(xì)微地進(jìn)入到一種由此及彼的知識(shí)勾連的情境中，如何在具體的情境中把握整體，這些考驗(yàn)著教師的教學(xué)水平. 畢竟，由舊知到新知，內(nèi)在關(guān)聯(lián)上的明晰是大有必要的.

且看李慶智老師前后一年課的不同設(shè)計(jì)及環(huán)節(jié)：

【一年前】回想一下，小學(xué)階段我們學(xué)過的分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì). 回顧一下，初一時(shí)我們學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，其中有整式這個(gè)概念，它能夠表示一定的數(shù)量關(guān)系. 但是，僅僅用整式表示數(shù)量關(guān)系，有時(shí)在現(xiàn)實(shí)中是不夠的. 大家都知道分母中出現(xiàn)字母的就不是整式，既然不能稱作是整式，那么應(yīng)該稱作什么呢？應(yīng)該稱作分式. 今天，我們就來學(xué)習(xí)有關(guān)分式的基本知識(shí).

【一年后】設(shè)計(jì)游戲，有六張卡片分別寫有“3，5，a，b， t+c，w-6”，請(qǐng)你任選兩張卡片，運(yùn)用“+，－，×，÷”四種運(yùn)算符號(hào)，組合成幾個(gè)新的式子，然后用你的火眼金睛分辨：哪些是我們?cè)?jīng)熟悉的“老面孔”，哪些是我們未曾見過的“新面孔”. 這些“新面孔”究竟有什么新的特點(diǎn)？

不難看出，一年前的新課以理論開路，從舊知復(fù)習(xí)到新知引入，采取的是開門見山的方式，而且主要發(fā)揮的是教師的主導(dǎo)作用. 這種方式比較常見，而且也比較傳統(tǒng)、比較平淡. 由此，學(xué)生的興趣缺乏、注意力渙散以及課堂效果低下，也就不足為怪.

一年后的新課則有意識(shí)地打破了平淡、傳統(tǒng)、常見的植入方式. 筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)，李慶智老師以情境為媒介把握整體，一方面較快地激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另一方面以新的架構(gòu)方式改變了新知的引入過程，使之變得自然而然，變得生動(dòng)有趣. 僅僅從理論灌輸?shù)接螒蚧?dòng)的過渡，新式子的紛紛“出籠”變得自然而然.

長(zhǎng)期以來，數(shù)學(xué)教師有意無意忽略了情境的力量，包括李慶智老師一年前的教學(xué)，總是以理論的直接灌輸為特征，而缺乏鮮活情境的支撐. 而這一次，李慶智老師超越自我，打破了原有秩序，通過情境促使學(xué)生思維開闊與伸展. 可見，從鮮活的情境中把握整體，給學(xué)生新奇感和代入感，使學(xué)習(xí)效果事半功倍.

以自主自悟?yàn)檫^程把握整體

整體把握的能力是靠教師一次次強(qiáng)調(diào)去提升，還是靠學(xué)生一點(diǎn)一滴自主自悟提升呢？顯然，后者才是更值得稱道的. 無疑，當(dāng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行思維上的爬坡，自覺進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)勾連，自愿進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容的機(jī)構(gòu)性把握，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“只見樹木不見森林”的現(xiàn)象將不復(fù)存在. 相反，知識(shí)之間的系統(tǒng)組合、學(xué)習(xí)上的舉一反三、效果上的事半功倍必將成為常態(tài).

關(guān)于分式的基本性質(zhì)，給學(xué)生直接出示公式是一種方式，給學(xué)生順溜的口訣也是一種方式. 比如，一年前的李慶智老師引出分式概念后，直接在大屏幕上出示口訣：“分式形式像分?jǐn)?shù)，分母為零無意義……”口訣前后押韻，朗朗上口，學(xué)生很容易記住. 但是，對(duì)于“為什么分母為零無意義”等問題，學(xué)生缺乏一個(gè)必要的、合理的、由此及彼的推理過程，缺乏對(duì)其內(nèi)在規(guī)律質(zhì)疑、交流而達(dá)成共識(shí)豐富的過程. 事實(shí)上，這個(gè)過程或這個(gè)順序不可或缺——做精做活思維爬坡的過程，對(duì)于學(xué)生思維能力的提升、質(zhì)疑精神的萌芽、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累是有好處的.

對(duì)此，一年后的李慶智老師不再急于給學(xué)生呈現(xiàn)公式及口訣，而是不疾不徐，先從學(xué)生的自主探索開始，慢慢引出相關(guān)概念，再把字母引入到分母的游戲中，李慶智老師并沒有直接歸納分式的定義，而是拋出一些針對(duì)性較強(qiáng)的問題讓學(xué)生自主探究：“這些陌生的‘新面孔與我們?cè)?jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)有相同點(diǎn)嗎？有不同點(diǎn)嗎？其異同在哪里？你能試著用自己的語言，抓住其不同點(diǎn)總結(jié)其本質(zhì)嗎？”“如果讓你給分式或其基本性質(zhì)下一個(gè)定義，你認(rèn)為要注意的核心是什么？”

李慶智老師的這一探究環(huán)節(jié)，讓聽課的老師不免擔(dān)憂：這樣行嗎？學(xué)生能用自己的語言總結(jié)分式的本質(zhì)嗎？如果學(xué)生對(duì)“分式”的基本定義模棱兩可，其總結(jié)的分式的本質(zhì)會(huì)不會(huì)偏離核心概念的范圍？相較于個(gè)別老師的擔(dān)心，事實(shí)上，了解李慶智老師的部分聽課老師一直很篤定，因?yàn)樗麄冎览顟c智老師的教學(xué)追求與風(fēng)格：沒有一定的把握，李慶智老師不會(huì)在公開課中直接“實(shí)驗(yàn)”，不論什么樣的教學(xué)設(shè)計(jì)或細(xì)微環(huán)節(jié)，都彰顯著李慶智老師對(duì)學(xué)生的信任，彰顯著李慶智老師對(duì)教學(xué)課堂的正確架構(gòu)，彰顯著李慶智老師建立在自信基礎(chǔ)上的教學(xué)創(chuàng)新.

事實(shí)證明，李慶智老師放權(quán)并非沒有道理，學(xué)生的歸納盡管不精練、不全面，但已經(jīng)很不錯(cuò)了，尤其當(dāng)李慶智老師引導(dǎo)學(xué)生比較分?jǐn)?shù)與分式時(shí)，學(xué)生隨后的回答已經(jīng)無限接近正確答案了：“因?yàn)榉帜概c除數(shù)一樣，不能為零. ”“對(duì)，分母不等于零這一點(diǎn)太重要了. ”“從整體上看，分式與分?jǐn)?shù)的形式是一樣的，只不過，字母意味著多種可能，取值范圍更廣，因而分式更具一般性與廣泛性.”“既然分式與分?jǐn)?shù)有雷同點(diǎn)，那么分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以運(yùn)用到分式上.”……諸如此類的回答中，聽課老師發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能用已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)解決新問題，初步具備了舉一反三的意識(shí)與能力. 而這，既得益于教師放權(quán)，又源于教師恰到好處的引領(lǐng). 通過類比思想將相關(guān)知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)在一起的方法一直滲透其中，師生共同實(shí)現(xiàn)了整體把握的華麗轉(zhuǎn)身.

以梯度與層次為習(xí)題編制重點(diǎn)

把握整體

概念明晰后，通過一定分量的練習(xí)鞏固是數(shù)學(xué)教學(xué)中的常態(tài). 一年前，李慶智老師出示了相當(dāng)分量的習(xí)題，以便鞏固學(xué)生所學(xué). 其中的一些習(xí)題綜合囊括了本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)及基本目標(biāo)，包括不改變分式的值，使分式的最高次項(xiàng)系數(shù)都為正數(shù)、都不含“-”號(hào)、都為整數(shù)等. 事后證明，預(yù)料中的順暢與精彩并沒有如期而來，學(xué)生解答上的含糊與思維上的障礙是必然存在的. 通過認(rèn)真反思，李慶智老師意識(shí)到，習(xí)題編寫過程中未能注重梯度與層次是主因，未能依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)編制習(xí)題是次因.

一年后，李慶智老師避免了上述問題，不再像以前那樣無順序、無梯度、無層次編制習(xí)題，而是從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，由易到難，螺旋上升，整體訓(xùn)練.

問題1：如何理解分式的變號(hào)法則中的“同時(shí)改變”和“只改變其中一個(gè)”之含義？

問題2：化簡(jiǎn).

上述題型，既有概念理解，也有方法反思；既有達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，亦有變式訓(xùn)練. “問題1”強(qiáng)調(diào)分式的變號(hào)法則的不可動(dòng)搖性，可以避免變形與運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤. “問題2”的化簡(jiǎn)呈現(xiàn)出了如下梯度與層次：從沒有系數(shù)到系數(shù)的出現(xiàn)再到系數(shù)符號(hào)的變化，從分子、分母是一個(gè)多項(xiàng)式到兩個(gè)都是多項(xiàng)式. 這樣的題型具有較強(qiáng)的邏輯性、遞進(jìn)感與內(nèi)在聯(lián)系性，學(xué)生由此充分經(jīng)歷了循序漸進(jìn)的過程. “問題3”有一定的難度，既是對(duì)分式有意義的綜合印證，亦是對(duì)分式的值為零這個(gè)條件的綜合運(yùn)用，更為后期檢驗(yàn)分式方程是否有增根奠定了基礎(chǔ). 這樣的題型銜接舊知與新知，不失為一次整體性回籠，也是有意義的結(jié)構(gòu)性把握. 如此的“由根生干，由干生枝，由枝生葉”，既是數(shù)學(xué)有序?qū)W習(xí)的需要，亦是學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性思維提升的需要.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識(shí)的銜接點(diǎn)、內(nèi)容的生成點(diǎn)、方法的拓展點(diǎn)需要教師把握整體. 關(guān)鍵在于，這樣的整體把握是否基于學(xué)生學(xué)習(xí)的效能感與可塑性，是否幫助學(xué)生經(jīng)歷了完整的螺旋上升過程，是否真正提升了學(xué)生思維的廣度、寬度與深度. 教師應(yīng)該綜合運(yùn)用“連線串珠”的方法，變“零散割裂”為“起承轉(zhuǎn)合”，為高效課堂賦能，為學(xué)生思維提升助力.

結(jié)束語

實(shí)踐證明，整體把握能夠?qū)崿F(xiàn)零散知識(shí)之間的本質(zhì)勾連，有利于學(xué)生整體觀、大局觀、長(zhǎng)遠(yuǎn)觀的形成，有利于學(xué)生思維的開闊與素養(yǎng)的提升. 一年前和一年后，不僅是教學(xué)資源、教學(xué)框架和教學(xué)路線圖的變化，更是教學(xué)哲學(xué)的重建，是“以生為本”理念的適中落地和整體把握的華麗轉(zhuǎn)身.