數(shù)學(xué)課

米蘭

疫情封控期間， 當(dāng)我對外部世界的向往之心近乎萎滅之時(shí)， 又一次看到了那一頭炸裂開來的鬈發(fā)和那個(gè)廣為人知的質(zhì)能等價(jià)公式：E=mc2。作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，我更傾向于將其視為一個(gè)數(shù)學(xué)方程， 而不是物理公式。沒錯(cuò)，一切物質(zhì)都潛藏著質(zhì)量乘以光速平方的能量。某個(gè)風(fēng)雨如晦的春夜，我從書柜中找出鄉(xiāng)賢劉徽的《九章算術(shù)注》，打算重新研讀一遍，借以消除竟日瑟縮于一窗之內(nèi)的惶恐。就在去年，本地新建高中征集校名，我以“劉徽中學(xué)”投了票。后來聽說，也有諸如“伏生中學(xué)”“范公中學(xué)”“廣田中學(xué)”之類提名。遺憾的是，“終評委”們并不了解這些歷史名人的功績， 他們最終以“××二中”一錘定音。就這樣，劉徽以《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》兩個(gè)精湛的數(shù)學(xué)成果獲得“古典數(shù)學(xué)理論奠基者”的美譽(yù)， 連同人們因?yàn)榱私鈹?shù)學(xué)在生活中的重要性而產(chǎn)生的對他的敬仰和推崇， 也終于被時(shí)間銷蝕。

“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而本干者，知發(fā)其一端而已?！痹凇毒耪滤阈g(shù)注·序》中，我們的數(shù)學(xué)家充分表達(dá)了他對事物所含哲學(xué)內(nèi)蘊(yùn)的深刻認(rèn)識， 因而時(shí)間中的“失去”對他來說，其實(shí)算不了什么，我或許也不必為之叫屈。

2002 年8 月20 日（我還記得這個(gè)日子），我特意請了半天假，一早來到郵政大廳門口排隊(duì)。國家郵政局發(fā)行“中國古代科學(xué)家”紀(jì)念郵票一套四枚，其中劉徽郵票首發(fā)式在我所居住的小城舉行。彼時(shí)，我已經(jīng)有了七年的集郵史，對我來說，這枚面值八十分的郵票意義非凡。這位票面人物，在時(shí)間上與我相隔了一千七百多年的距離，但在物理空間上，我與他既為同鄉(xiāng)，那么這種“同源”性必然帶來心理和情感上的親近。（時(shí)間似流水，在人與人之間形成空間和距離；桑梓如堤岸， 將空間和距離連綴在一起，形成麻花狀雙螺旋結(jié)構(gòu)。）

那天，我如愿買到了全套四枚郵票，還拿出更多錢購買了同日發(fā)行的劉徽郵票首日封、紀(jì)念封和明信片。從郵政大廳穿過喧嚷的人群回到大街上時(shí)， 熾烈的陽光像火一樣炙烤著排隊(duì)的人。我躲在樹蔭下，仔細(xì)查看購買的東西，唯恐有所遺漏。（寫到這里，我停下筆，翻箱倒柜找出了那些物品，它們完好如初地待在一個(gè)集郵冊里；那枚郵票上，劉徽的雕刻畫像清晰如昨，兩道劍眉和額頭上長短不一的三道皺紋， 勾勒出一位深具辯證思維的數(shù)學(xué)家的古老風(fēng)貌。）然后，帶著滿心歡喜回家。

“數(shù)學(xué)包含大量的前提?！彼谝粡埣埳袭嬒乱恍﹣y七八糟的幾何體， 用一些奇怪的符號把它們連接起來， 嘴里咕咕噥噥說著什么， 又在另一張紙上寫下一連串公式和方程，“自變量是一個(gè)與他量有關(guān)聯(lián)的變量， 這一量中的任何一值都能在他量中找到對應(yīng)的固定值?！蔽艺驹诖扒埃粗ピ豪锎蔚谑㈤_的花朵， 無心理會(huì)這個(gè)沉浸于演算中的男人?！氨热缯f，只要具備足夠的已知條件，應(yīng)該可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，據(jù)此制定出一套適用于上海、北京或其他任何地方的更加科學(xué)的防疫方案……”他俯身于我們的餐桌，像電影《美麗心靈》中的約翰·納什那樣，堅(jiān)信自己與眾不同。（霍金在《大設(shè)計(jì)》中提出依賴模型的實(shí)在論，認(rèn)為實(shí)在不過是一套自洽的和觀測對應(yīng)的圖景、模型或者理論；霍金企圖找到宇宙的唯一起源， 最終發(fā)現(xiàn)關(guān)于宇宙的起源有多種模型，于是他放棄對唯一性的追求，認(rèn)為只要這些模型是自洽的， 與之對應(yīng)的宇宙起源理論便是成立的。）

封控到了第三十七天， 他從一開始的愜意到漸生焦慮，從焦慮到煩悶，再從煩悶到沉默，這個(gè)一向把“順其自然”掛在嘴邊的人， 竟然想憑一己之力替決策者和一眾醫(yī)學(xué)家、科學(xué)家解決偌大難題，這讓我油然而生憐憫之心。難道他不明白，有些事不是數(shù)學(xué)題，而是秘密，就像但丁在《神曲》中講述的那些關(guān)于天堂、地獄和人間的秘密。

小女兒的花和蘑菇、被口罩緊捂的兩年

——多少回憶像暴雨落下

窗臺上放著一本詩集。不經(jīng)意間，受他影響，我也在腦海中運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，將那些詩句意指的生活， 想象為一個(gè)坐標(biāo)——原點(diǎn)：個(gè)體命運(yùn)；兩條數(shù)軸：地上站立的人和樹林、地下平躺的人和蜿蜒的根莖。接下來，一個(gè)包括人類與花朵、飛鳥與流言、病菌與炮彈在內(nèi)的適用于萬物的相對極坐標(biāo)，在我腦海深處慢慢成形。在這個(gè)相對極坐標(biāo)中，任何個(gè)體命運(yùn)，都無法繞開時(shí)代的叢林，他們將最終一起擁抱著走向神靈……

樹上新綠初綻， 一寸寸光陰貼著葉面飛馳。我發(fā)現(xiàn)， 有些秘密是寫在樹葉背面的。那些海綿組織、那些蟲卵、那凸起的葉脈隱藏著怎樣的故事？還有，石榴種子的排列方式是六邊形， 向日葵花盤有兩組方向相反的螺旋線， 雛菊花冠上的小花互以137°30′的夾角排列，一棵樹每年的分枝數(shù)都是斐波那契數(shù)……大自然這本書以文學(xué)形式敘寫，真相往往更加迷離，能夠客觀反映其內(nèi)部關(guān)系的數(shù)學(xué)， 反倒是最真實(shí)的表達(dá)。

在《九章算術(shù)注》卷四，劉徽寫道：“言不盡意，解此要當(dāng)以棋，乃得明耳?！焙芏嗍掠袩o數(shù)的起點(diǎn)和無數(shù)個(gè)理由， 人們所希求的，不過是遵循自然規(guī)律和道德良知，能夠自由地對此進(jìn)行考證和辯論，僅此而已。

我相信數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著美妙的共鳴。

在文學(xué)上，文字排列不同，句子會(huì)有不同的含義，而含義排列不同，則會(huì)產(chǎn)生不同的表達(dá)效果。這就涉及我們所學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念：排列組合。短篇小說《立體幾何》是我為數(shù)不多的閱讀次數(shù)達(dá)二十遍以上的文學(xué)作品。（“我”憑借曾祖父日記里記錄的數(shù)學(xué)奇思和性愛理論， 不動(dòng)聲色地實(shí)施的殺妻計(jì)劃，被作者寫得如此平靜而驚悚。）如果沒有豐富的數(shù)學(xué)知識，我認(rèn)為伊恩·麥克尤恩很難把那些字詞句和段落、開頭與結(jié)尾，設(shè)計(jì)得如此巧妙。

同樣，一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，他的語言表述能力也一定是一流的，比如劉徽。

成書于漢代的《九章算術(shù)》，由二百四十六個(gè)應(yīng)用題和解答這些例題的方法組成，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。遺憾的是，該書中缺乏定義、推導(dǎo)和證明，分類也不盡合理。時(shí)至魏晉，我們的劉徽“是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注”。他一方面為《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)概念、具體方法和正確結(jié)論確立定義，進(jìn)行論述和證明，使其包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容更加嚴(yán)密和完善（由此奠定了中國古典數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)）；另一方面，他在為該書作注的同時(shí)，又提出新問題（在數(shù)學(xué)研究中，問題的提出本身，就是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)），創(chuàng)立新方法，開辟新領(lǐng)域（《九章算術(shù)注》中的《重差》一卷，即完全為劉徽獨(dú)創(chuàng)，唐代以單行本《海島算經(jīng)》發(fā)行）。正是憑借《九章算術(shù)注》， 中國古代數(shù)學(xué)向前發(fā)展了一大步。

數(shù)學(xué)史家李迪將劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)概括為六個(gè)方面：一、建立了“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”理論；二、推廣了分?jǐn)?shù)計(jì)算方式中的“齊同術(shù)”理論；三、運(yùn)用極限思想建立“割圓術(shù)”理論；四、創(chuàng)立了計(jì)算復(fù)雜立體體積的“劉徽定理”；五、改進(jìn)了線性方程組解法；六、完成“重差術(shù)”著作。

《九章算術(shù)注》中，類似以下的表述比比皆是：

徽以為今之史笈且略舉天地之物，考論厥數(shù)，載之地志，以闡世術(shù)之美。

凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著于近，則雖遠(yuǎn)可知也。

觸類而長之， 則雖幽遐詭伏，靡所不入。

至于以法相傳，亦猶規(guī)矩度量可得而共，非特難為也。

言雖異矣，所以成法實(shí)則同歸矣。

…………

言辭簡約，卻不乏駢文的富麗精工，又有散文的樸茂灑脫。劉徽寫的原本只是一本純數(shù)學(xué)之書，可誰又能說，它不像一部文學(xué)著作？

2015 年12 月， 當(dāng)代數(shù)學(xué)家丘成桐在北京外國語大學(xué)作題為《數(shù)學(xué)與文學(xué)的共鳴》的演講，他認(rèn)為，數(shù)理之與人文，實(shí)有錯(cuò)綜交流的共同點(diǎn)。他說，物理學(xué)需要實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)需要證明，文學(xué)卻不需要這么嚴(yán)格，但是離現(xiàn)象太遠(yuǎn)的文學(xué)， 終究不是上乘的文學(xué)。以《紅樓夢》為例，曹雪芹借自身經(jīng)歷描述一個(gè)家族的榮華富貴及其無可避免的腐敗和墮落，事則實(shí)事，然則有隱有見，有正有閏，有條有理的創(chuàng)造和敘述，猶如一個(gè)大型的數(shù)學(xué)創(chuàng)作……

彼時(shí)， 我試著以數(shù)學(xué)架構(gòu)仿寫了一首小詩《七只水鳥》：

昨夜，一陣小雨

像密集的鳥鳴落進(jìn)庭院。清晨的

一滴露珠迎著朝陽，

一只蜜蜂停在玫瑰花上，

一個(gè)男孩在醫(yī)院里降生，

一位蒼老的清潔工，在人行道上

歌唱愛情

當(dāng)我穿過人群來到河邊，七只水鳥

從蘆葦蕩里飛起

三只向東，三只向西

另外一只在我頭頂，歡鳴

而這正是

我一次次穿過人群

抵達(dá)一條河的原因

我原本更善于通過文學(xué)途徑獲知人生含義和人類豐富的道德寓意， 無奈生命歷程中遇到的問題越來越多， 更有一些神秘的存在施加影響，單靠文學(xué)，已經(jīng)無法實(shí)現(xiàn)對人類精神的正確理解。這種情況下，借助數(shù)學(xué)思維不失為明智之舉——需要特別說明的是， 只羅列數(shù)字而缺乏邏輯推理和理性分析的做法，并不能稱之為數(shù)學(xué)思維，比如對某些災(zāi)害的統(tǒng)計(jì)（降雨量、風(fēng)力、小麥倒伏面積、減產(chǎn)幅度、經(jīng)濟(jì)損失總量等）。數(shù)字本身含義是不明確的， 災(zāi)害發(fā)生時(shí)那些無法用數(shù)字計(jì)算的東西， 比如對人感情的戕害， 對人心靈的折磨， 對靈魂空間的擠壓，很難說不是更為嚴(yán)重的災(zāi)害。

2013 年6 月22 日（我也記得這個(gè)日子），“紀(jì)念劉徽注《九章算術(shù)》一千七百五十周年國際學(xué)術(shù)研討會(huì)”在我們這里舉行（在這之前，我在一本文獻(xiàn)匯編上看到過中科院研究員郭書春撰寫的《劉徽籍貫考》，他將“山東鄒平”作為劉徽的籍貫確定下來，其考證、推理、邏輯、行文，令我印象深刻）。這天正好是星期六，我很高興我能以一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者的身份參與研討會(huì)的旁聽。不想，天有不測風(fēng)云，好巧不巧的是，麥?zhǔn)罩皯?yīng)該發(fā)放給受災(zāi)農(nóng)戶的小麥保險(xiǎn)金，因資金不到位遲遲無法落實(shí)，偏偏星期五，也就是研討會(huì)前一天，這部分資金突然到賬，單位要求全員加班，不允許請假。

小麥保險(xiǎn)賠付明細(xì)表中，張三九十元，李四一百四十二元， 趙五五十五元……我發(fā)現(xiàn)核損數(shù)字的大小，賠付金額的多少，在此時(shí)的老百姓眼里，已經(jīng)變得不再重要，盡管之前他們找村委、找鎮(zhèn)上、找市里、找保險(xiǎn)公司，來來回回如此這般地?fù)?jù)理力爭過；但此刻他們心中所愿， 只是種好下一茬莊稼，是秋玉米豐產(chǎn)豐收，是風(fēng)調(diào)雨順。

地方文史專家王紅先生， 幫我搜集了幾份研討會(huì)的發(fā)言稿， 其中包括紐約市立大學(xué)教授道本周的論文， 他為與會(huì)者詳細(xì)梳理了世界范圍內(nèi)對劉徽注《九章算術(shù)》的研究成果。論文最后寫道：劉徽卓越的數(shù)學(xué)成就的取得， 正是他立異標(biāo)新的科學(xué)思想和卓越的哲學(xué)思想共同指導(dǎo)的結(jié)果。

學(xué)生時(shí)代的我從未思考過數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也就是數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性問題。多少年后的一個(gè)春天，被封控于陋室，無所事事之時(shí)重讀《九章算術(shù)注》，我的腦洞緩緩打開，迎面而來的一絲光亮，似乎彌平了我與數(shù)學(xué)之間的明溝暗渠。劉徽認(rèn)為，天地之間一切客觀事物， 皆可用數(shù)量關(guān)系去效法和把握；現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究者進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)世界中許多問題不僅可以建立數(shù)學(xué)模型， 還可將模型歸結(jié)為某個(gè)非線性偏微分方程，其往往有多個(gè)解甚至無窮個(gè)解……

數(shù)學(xué)的研究對象是由論證組成的，數(shù)學(xué)更重要的是邏輯和推理， 數(shù)學(xué)需要敏銳的洞察力。很顯然，這些能力我并不具備。也就是說，篳路藍(lán)縷開啟山林的過程，讓劉徽們獲得尋找真理的樂趣，而我所擁有的，只是被埋在題海中的苦惱。

每個(gè)人都有一段決定性的成長經(jīng)歷。“徽幼習(xí)《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源，探賾之暇，遂悟其意?！保ā毒耪滤阈g(shù)注·序》）劉徽是天生的數(shù)學(xué)家，還是在成長過程中受到啟發(fā)和指引而走上的數(shù)學(xué)研究道路？

關(guān)于劉徽的成長細(xì)節(jié)，我在史書、地方志、地方人物故事中，在嚴(yán)敦杰、郭書春、李迪、梅榮照等一應(yīng)數(shù)學(xué)史家的論著中，都沒有找到更多線索。退而求其次，我只能從他生活的時(shí)代尋找答案。

劉徽生卒年月不詳。據(jù)《晉書·律歷志》和《隋書·律歷志》記載：“魏陳留王景元四年，劉徽注《九章》?！蔽宏惲敉蹙霸哪?，為公元263 年，次年魏亡，再次年即是西晉泰始元年。也就是說，《九章算術(shù)注》成書于魏晉時(shí)期。眾所周知，魏晉時(shí)期是一個(gè)社會(huì)從戰(zhàn)亂走向統(tǒng)一、思想從解放走向爭鳴、科學(xué)從恢復(fù)走向發(fā)展的時(shí)代——何晏注《論語》，王弼注《老子》和《周易》，向季、郭象注《莊子》，葛洪著《抱樸子》，賈思勰著《齊民要術(shù)》，馬鈞發(fā)明龍骨水車，蒲元發(fā)明“木?！保?竹林名士嵇康主張“非湯武而薄周孔”，提出“越名教而任自然”……學(xué)術(shù)界釋古而創(chuàng)新的思潮，辨析明理、注重邏輯的風(fēng)氣，對劉徽的影響是不言而喻的。

就在那個(gè)風(fēng)雨如晦的春夜，盯著π 后面那幾位數(shù)字， 我仿佛看到這位遠(yuǎn)古時(shí)代的鄉(xiāng)賢， 在一個(gè)圓形圖案內(nèi)接割出一個(gè)正六邊形，又將每段弧分割為二，得到接正十六邊形，“割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，直至接正一百九十二邊形， 得出圓周率為3.14 的數(shù)值。（那幽秘的、抽象的、無邊界的思考，挑戰(zhàn)著他的智力和體力。）這時(shí)，他想要的答案好像近在咫尺又好像遠(yuǎn)在天邊。割之又割。及至割到三千零七十二邊形， 他得到了令自己滿意的數(shù)值：3.1416。

——一百多年后， 祖沖之在此基礎(chǔ)上， 將圓周率精算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即3.1415926＜π＜3.1415927。

世界上的大部分人，一直在發(fā)出疑問，一直在等待結(jié)論， 卻少有身體力行去求證或推動(dòng)結(jié)論者，因此，真相的意義，更多地存在于孜孜以求之中。

躺在草地上仰望星空， 那崇高曠遠(yuǎn)的秩序使我感知到， 這個(gè)世界是圓的。人之初，也是圓的。后來，人的形狀慢慢衍變?yōu)樾男巍⒄叫?、三角形、六邊形、梯形、菱形……他們是：母親、父親、學(xué)生、戰(zhàn)士、詩人、科學(xué)家……

有生以來第一次遇到這種情形——以幾何體思考人類的基本問題。實(shí)際上，這種思考已經(jīng)超出我的能力范圍， 成為難解的問題。身為晦暗不明之境的親歷者，我只想把人類的基本問題具象為生與死的問題，從而使我眼里的圓，不僅不代表萬事皆空，而且可以作為一個(gè)完滿瞬間， 將人的一生簡單地固定下來。至于其他形狀，三角形也好，六邊形也好，不妨像省略掉小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字一樣，忽略不計(jì)。

現(xiàn)在封控解除了， 我與他陡然燃起的對數(shù)學(xué)的熱情迅速降溫。他想建立的數(shù)學(xué)模型是否有了些眉目，他沒說，我也沒問。在我這里， 對劉徽的重新閱讀給予我的最大啟發(fā)， 更多地體現(xiàn)在哲學(xué)而不是數(shù)學(xué)方面。而事實(shí)上，科學(xué)的變革，無不以深刻的哲學(xué)思想為背景，從笛卡兒、伽利略，到牛頓、萊布尼茲，莫不如此。劉徽在數(shù)學(xué)研究中所運(yùn)用的析理思想、推類思想、簡約思想、重驗(yàn)思想、求新思想，以及關(guān)于言意的思想，亦時(shí)時(shí)折射著來自《周易》《老子》《莊子》《墨子》《論語》《荀子》《周禮》《管子》《淮南子》《論衡》的諸多先秦、兩漢哲學(xué)思想的輝光?！毒耪滤阈g(shù)注》，是劉徽的數(shù)學(xué)成就，也是他的哲學(xué)成就。

草地上的這個(gè)夜晚， 那些繁密的星群在我眼里，不僅凸顯著空間的多維，也凸顯著時(shí)間的多維性——?jiǎng)⒒疹^頂?shù)拿恳活w星辰， 此刻也正閃耀在我的眼前——時(shí)間永遠(yuǎn)分叉，通向無數(shù)的未來。就是這樣，一個(gè)平常的夜晚，風(fēng)從遠(yuǎn)方吹來，我聽懂了緊隨著它的那些激蕩的聲音。