D 型Fock 空間與量子對稱對

EHRIG Michael，甘凱軒

（北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 北京 102488）

本文研究的是LANINI 等[1]定義的組合Fock 空間在 so2N(C) 的情況.它與標量擴張下的 so2N(C)的有限維表示范疇的Grothendieck 群同構(gòu).本文將組合Fock 空間嵌入到由某些序列定義的空間中，這些序列來自經(jīng)典的charge 0 Fock 空間.在這個空間上可以定義一個仿射量子對稱對作用，仿射量子對稱對的定義來自于KOLB[2].本文證明了這個作用與單位根處的量子群的鄰接原理是相容的，并且用與研究A型Fock 空間上的量子對稱對作用相似的方法描述了D 型Weyl 模的張量積分解.

1 預(yù)備知識

為了避免Dynkin 圖太小的特殊情況，固定一個整數(shù)

1.1 李代數(shù)

令g=so2N(C) 是 C 上 的DN型 李 代 數(shù).假 定N> 3，

根據(jù)文獻[1]的1.1 節(jié)，D 型的組合Fock 空間F(DN)是一個 Q(v) 向量空間，它有一個基 λ|λ ∈X+.因為X+可以分解為X1,+∪X1/2,+，所以 F(DN)有分解

1.2 量子群

這一部分的定義來自于LUSZTIG[3].令

式中x,y為 Q(v)上不交換的變量，然后對1≤i,j≤N，令aij=(αj,αi)∈Z.

量子包絡(luò)代數(shù)Uv(g) 是由 {Ei,Fi,|1 ≤i≤N}生成的 Q(v)上的結(jié)合代數(shù)，它的生成元滿足如下生成關(guān)系(1≤i,j≤N)：

用Uv(g) - mod 表示有限維1 型Uv(g)模的范疇，然后 用[Uv(g) -mod]表 示Uv(g)-mod 的Grothendieck 群，其上的標量從 Z 擴張到 Q(v).

與LUSZTIG[4]類似，用UA(g) 表示Uv(g)的A 形式，用Uq=UA(g)?AC 表示v特殊化為q∈C的情形.將Uq簡單地稱為一個單位根處的量子群.令Uq-mod 是有權(quán)空間分解的有限維Uq模的范疇，見TANISAKI[5]的第七章，用[Uq-mod]表示它的Grothendieck 群，其上的標量擴張到 Q(v).

根據(jù)TANISAKI[5]的第七章，對λ∈X+，定義UA(g)模DA(λ)是Uv(g) 的不可約最高權(quán)模Dv(λ)的A 形式.將v特殊化為q給出了Weyl模的定義：Dq(λ)=DA(λ)?AC.由ANDERSEN 等[6]的命題1.22，這三個模有相同的特征標，即

下面是張量積分解的重要結(jié)果.

命題1設(shè)λ,μ∈X+.如果在Uv(g)-mod 有

證明考慮張量積DA(λ)?ADA(μ).由特征標的相等得到下面的等式

而Weyl 模的等價類構(gòu)成了[Uq-mod]的一組基.因此，根據(jù)特征標相等，結(jié)論成立.證畢.

特別地，下面的張量積分解對于以后的內(nèi)容很重要，見HONG 等[7]的命題8.6.3.

這樣的話，sα,k是以下仿射超平面的反射

并且所有這樣的反射生成了仿射Weyl 群Waff.

對于兩個權(quán) λ,μ∈X+，如果存在w∈Waff使得

λ=w·μ，那么稱它們是相連接的.需要注意的是，這里不是仿射外爾群的“點”作用，因為有ρ-平移.由文獻[8]的定理4.3，如果Dq(λ)和Dq(μ)在同一個塊，那么λ和μ是相連接的.

下面由LANINI 等[1]給出的同構(gòu)將 F(DN)和[Uqmod]聯(lián)系起來.

命題3F(DN) 和[Uq-mod]之間有一個 Q(v)向量空間同構(gòu)，通過把基向量 λ 映射到 [Dq(λ)].

2 Fock 空間和量子對稱對

由于 Z 通過加法作用于 H，考慮剩余類集合H/?Z.對 于p∈H （或p∈Z ），用pˉ 表 示 它 在 H/?Z（或Z/?Z ）中的軌道.考慮下面序列的集合

令 F1是基為 SZ的 Q(v) 向量空間，F(xiàn)1/2是基為SH的 Q(v) 向量空間.將 F1和 F1/2簡稱為Fock 空間.對于F1或 F1/2中的一個元素只有有限多個i≥ 0 使得≠0，只有有限多個i< 0使得=0.因此定義a的charge 為

由charge 為N的序列張成的子空間用和表示，它們被叫做chargeN的Fock 空間.

命 題4映 射 λbλ定 義 了 從 F1/2(DN) 到F1/2,+⊕F1/2,?和從 F1(DN) 到 F1,+⊕F1,?的嵌入.

2.1 基本算子和計數(shù)符號

下面的線性算子將在局部改變序列，這是整個構(gòu)造的基礎(chǔ)部分.

定義c為c(i+1/2)?c(i?1/2)=1 并且c(j)=a(j)，j≠i±1/2.然后定義

除了這些算子，為了便于書寫，定義以下計數(shù)符號.

為了簡化書寫，令

對于a∈SZ，pˉ ∈H/?Z （或者a∈SH，pˉ ∈Z/?Z），定義

以及

讀者可以嘗試將ARIKI[9]定義的“楊表”上的作用改寫為序列上的作用.這是一個簡單的練習(xí)，只需要注意有唯一一個序列a?可以由a?(i)>a?(j)推出i

2.2 仿射量子對稱對

定義4Z/?Z （或 H/?Z ）中的一個元素被稱為

下面的定義來自于KOLB[2].

備注1需要注意的是，Bv(I,Θ)是一個比量子仿射代數(shù)復(fù)雜得多的對象.有關(guān)它的表示論和組合理論遠不如量子仿射代數(shù)那么好理解.

2.3 仿射量子群

為了確定移動算子與鄰接原理之間的關(guān)系，需要介紹一些關(guān)于Waff的細節(jié).固定H ={Hβ,m|β ∈Φ+,m∈Z}是所有仿射反射超平面的集合，對于H∈H用sH表示它對應(yīng)的仿射反射.令表示 H中的所有仿射超平面的補集，的一個連通分支被稱為一個開壁室，一個開壁室在中的閉包稱作一個壁室.

這樣Waff可以作用于壁室.開壁室中的點有平凡的穩(wěn)定子，而開壁室邊界上的點有非平凡的穩(wěn)定子.每個仿射超平面H∈H定義了兩個閉的半空間.對于一個固定的壁室A，用表示包含A的半空間.對于兩個壁室A和A′，如果，稱超平面H∈H在A和A′之間.這樣可以定義兩個壁室A和A′之間的距離為

下面是關(guān)于仿射Coxeter 群的一個標準結(jié)論.

引理1設(shè)H∈H 是壁室A和A′之間的一個超平面，那么有d(A,A′) >d(sHA,A′)和d(A,A′) >d(A,sHA′).

對于一個壁室A，與A相交維數(shù)最大的仿射超平面的集合 HA被稱為A的墻的集合.那么SA={sH|H∈HA}作為一個Coxeter 群，它是Waff的一個生成集.可以發(fā)現(xiàn)，對于壁室A和H∈HA，超平面H是A和sHA之間唯一一個超平面.這就引出了下面（最?。┩ǖ赖母拍?

定義6如果存在某個H∈HA使得A′ =sHA，那么這兩個壁室A和A′被稱為是相鄰的.定義一個從A0到Ar的（壁室）通道是一個壁室序列Γ= (A0,A1,A2,···,Ar)，其中Ai和Ai+1是相鄰的.如果一個通道Γ= (A0,A1,A2,···,Ar)使得r=d(A0,Ar)，那么它被叫做是一個最小通道.注意到如果Γ是一個最小通道，那么墻的集合{Hi|Hi在Ai-1和Ai之間}就是A0和Ar之間 的超平面的集合.這些超平面被通道Γ穿過.

由于權(quán)可以包含在一個超平面中，因此需要更嚴格的兩個壁室之間的超平面的概念.

定義7對于 λ ∈，用Aλ表示包含λ的一個壁室.對于 λ,μ∈以及包含它們的壁室Aλ和Aμ，如果一個超平面H∈H在Aλ和Aμ之間且H∩{λ,μ} = ?，那么稱它嚴格的在Aλ和Aμ之間.

在定義7 中，當且僅當λ在Aλ的內(nèi)部時，包含λ的壁室Aλ是唯一的.下面的引理經(jīng)常被用來選擇一個“好的”通道，它是引理1 的一個推論.

引理2令 λ,μ∈使得λ∈Waffμ.那么可以選擇包含它們的壁室Aλ和Aμ，使得從Aλ到Aμ的最小通道只穿過嚴格的在Aλ和Aμ之間的超平面.

3 移動算子和鄰接原理

本節(jié)研究了移動算子和鄰接原理之間的關(guān)系.對于本節(jié)中接下來的所有內(nèi)容，固定λ∈X+.

用同樣的方法可以證明結(jié)論對f-算子也成立.證畢.

與ARIKI[9]中定義的作用不同的是，移動算子可以混合作用.下面引理的證明完全類似于引理3，應(yīng)用引理2 選擇長度為1 的最小通道即可.

接下來考慮r+1 =s的特殊情況，此時對λ ∈X1/2,+與 λ ∈X1,+的結(jié)論有所不同.

其他部分與引理5 的證明完全相同.證畢.

對于λ ∈X1/2,+的情況，還需要考慮翻轉(zhuǎn)算子.

同樣地，對fr版本的證明方法相同.證畢.

4 仿射量子對稱對作用

回想一下第2 節(jié)定義的移動算子和計數(shù)符號，定義如下的線性算子.

引理8令∈H/?Z （或者∈Z/?Z），那么下面的等式在 F1（或者 F1/2）中成立：

下面說明定義8 中的線性算子滿足仿射量子對稱對的生成關(guān)系.

證明這個結(jié)論來自KOLB[2].通過引理8 寫出這些算子的表達式，然后考慮KOLB[2]中一個標準量子對稱Kac-Moody 對的生成元即可.證畢.

5 結(jié) 論

本節(jié)將討論Bv(Z/?Z,Θ) （或者Bv(H/?Z,Θ)）作用與鄰接原理的相容性，以及[Uq-mod]中的張量積分解.

命題6令λ∈X?,+，考慮[Uq-mod] 中的張量積分解

其中νi∈X?,+.如果νi和νj是相連接的，那么存在唯一的pˉ ∈ Z/?Z 使 得bνi和bνj在 ︿B中具有非0 系數(shù)，其中

證明這個結(jié)論有兩部分.首先，如果[Dq(μ)]在分解式中出現(xiàn)，那么由命題2 可知，存在一個k使得μ=λ+σεk，其中σ∈{±}.除了兩種特殊情況，這說明

兩個特殊情況是k=N，λN= ±1/2 且λN= ?μN，此時有bμ=τbλ.因此，在張量積分解中出現(xiàn)的每個μ都可視作上述算子的和，其中一定有一個算子的系數(shù)不為0.根據(jù)引理3～5 和7，通過構(gòu)造，相連接的權(quán)可以以相同的算子為加法項構(gòu)成.

證明利用命題6，對于分解式中出現(xiàn)的每一個[?q(μ)]，bμ作為bλ在移動算子或翻轉(zhuǎn)算子下的像只出現(xiàn)一次，它的系數(shù)是v的某個冪次.因此，令v= 1，這就給出了[Uq-mod]中的一個分解.F1/2(DN)在除了f0之外的移動算子和翻轉(zhuǎn)算子下的像都是穩(wěn)定的.令f0作用于bλ，如果aλ(1/2)=1，結(jié)果為0，或者對于a(?1/2)=0 結(jié) 果 會 出 現(xiàn) (a,0) 或 (0,a) ，因 此f0bλ∈C1/2.證畢.

命題7令λ ∈X1,+，考慮[Uq-mod]中的張量積分解

式中νi∈X1,+.如果νi和νj是相連接的，那么存在唯一的∈H/?Z使得

①如果λN> 0，則和在中具有非0系數(shù)；

②如果λN< 0，則和在中具有非0系數(shù)；

③如果λN= 0，則和在中具有非0系數(shù)；

定理3令λ ∈X1,+.對于 μ∈X1,+，存在滿足條件

的Laurent 多項式dλ,μ，使得