作業(yè)欄目“數(shù)學(xué)思考”設(shè)計(jì)研究

周寧　余小萍

2021年7月，《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（以下簡稱“意見”）中指出：提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能，系統(tǒng)設(shè)計(jì)符合年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律、體現(xiàn)素質(zhì)教育導(dǎo)向的基礎(chǔ)性作業(yè)，鼓勵(lì)布置分層、彈性和個(gè)性化作業(yè).［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）中指出，學(xué)業(yè)質(zhì)量考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；命題時(shí)，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理.［2］為積極貫徹落實(shí)《意見》和《課標(biāo)》要求，數(shù)學(xué)科作業(yè)布置應(yīng)落實(shí)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的“四翼”考查要求.本文研究在校本作業(yè)中設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)思考”欄目，以期提升作業(yè)設(shè)計(jì)和實(shí)施質(zhì)量，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)目的

2019人教A版高中數(shù)學(xué)教科書（以下簡稱教材）在課后習(xí)題中設(shè)計(jì)三個(gè)欄目“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合應(yīng)用”以及“拓廣探索”，其中“拓廣探索”中的習(xí)題具有較強(qiáng)的拓展性、探究性和綜合性，但類型和呈現(xiàn)方式較為單一.筆者思考能不能在讓作業(yè)內(nèi)容的形式更多樣，讓學(xué)生能不能多思考一點(diǎn)，多一點(diǎn)文字表達(dá)，而不僅僅是純粹的解題.因此在作業(yè)中設(shè)計(jì)欄目“數(shù)學(xué)思考”，通過該欄目習(xí)題的作答，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生明白“思考什么”以及“如何思考”.

“數(shù)學(xué)思考”欄目應(yīng)達(dá)成以下目標(biāo)：

1.能夠理解數(shù)學(xué)問題，能夠提出數(shù)學(xué)研究的新對象和新內(nèi)容，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力；

2.能夠理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠有邏輯地表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)與觀點(diǎn)，提升語言表達(dá)能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力；

3.學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

二、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)原則

“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)需遵循以下三個(gè)原則：

1.思想性：思想性體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解，體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)思想方法的深刻認(rèn)識(shí)，思想性的考查應(yīng)聚焦問題解決的思維過程.題目的設(shè)計(jì)應(yīng)基于對知識(shí)本質(zhì)理解的轉(zhuǎn)化解決問題，培養(yǎng)抽象、推理、模型等思維特征，促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性等品質(zhì)的發(fā)展，發(fā)展關(guān)鍵能力，提升核心素養(yǎng).

2.發(fā)展性：發(fā)展性體現(xiàn)在題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法具有普適性，培養(yǎng)學(xué)生通過遷移數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并解決新問題的能力，發(fā)展自我學(xué)習(xí)的能力.題目考查的知識(shí)方法應(yīng)立足于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本思想，既符合現(xiàn)階段學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平，又能在問題解決的過程中突破現(xiàn)有數(shù)學(xué)思維水平的限制，發(fā)展高階思維.

3.創(chuàng)新性：創(chuàng)新性體現(xiàn)在題目的開放性，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，培育學(xué)生的創(chuàng)新精神.欄目設(shè)計(jì)拓廣探索性試題，給學(xué)生很大的思考空間和選擇權(quán)力，可以根據(jù)自己的特點(diǎn)選擇、設(shè)計(jì)問題，選擇解題方向和方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力和批判性思維品質(zhì)，對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更有效.

三、“數(shù)學(xué)思考”欄目的設(shè)計(jì)策略

1.設(shè)計(jì)整理類問題，讓數(shù)學(xué)思考更有系統(tǒng)性

整理類問題是指設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)內(nèi)容、思想方法進(jìn)行反思，將知識(shí)方法條理化、邏輯化，提高抽象概括和解決問題的能力.通過對知識(shí)內(nèi)容的整理，促進(jìn)學(xué)生厘清知識(shí)聯(lián)系，把握知識(shí)脈絡(luò)；通過對解題策略的梳理，促使學(xué)生提高從個(gè)例到類型的抽象，歸納問題解決的通性通法，體悟數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)研究的品質(zhì).

案例1 （1）思考教材（選擇性必修一）P108例3以及P126練習(xí)1.你能否在下面習(xí)題背景中用斜率將圓錐曲線統(tǒng)一起來？證明你的結(jié)論.

習(xí)題背景：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0，－a，0，a，直線AM，BM相交于點(diǎn)M.

（2）你還可以用其他量將圓錐曲線統(tǒng)一起來嗎？證明你的結(jié)論.［3］

參考解答：（1）當(dāng)kAM·kBM=－1時(shí)，則M的軌跡方程為x2+y2=a2y≠0；當(dāng)kAM·kBM=－b2/a2時(shí)，則M的軌跡方程為y2/a2+x2/b2=1y≠0；當(dāng)kAM·kBM=b2/a2時(shí)，則M的軌跡方程為y2/a2－x2/b2=1y≠0；當(dāng)kAM 2-kBM 2 = 1時(shí)，則M的軌跡方程為x2=4ayy≠0.

（2）可以用距離統(tǒng)一圓錐曲線.設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線l（Fl）的距離之比為e，則當(dāng)01時(shí)，M的軌跡為雙曲線.證明略.

設(shè)計(jì)意圖：教材習(xí)題對圓錐曲線的第二、第三定義有呈現(xiàn)，但較為分散.本案例讓學(xué)生對相關(guān)習(xí)題進(jìn)行梳理，通過統(tǒng)一定義整體認(rèn)識(shí)圓錐曲線的本質(zhì)特征，理解圓錐曲線存在的條件以及所包含的幾何性質(zhì).

2.設(shè)計(jì)改錯(cuò)類問題，讓數(shù)學(xué)思考更有嚴(yán)謹(jǐn)性

改錯(cuò)類問題是將一些經(jīng)典問題的錯(cuò)誤解答作為素材，讓學(xué)生進(jìn)行辨析，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因并糾正.這類問題通常是由于學(xué)生對問題整體理解不正確或某個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)沒有認(rèn)識(shí)到位，導(dǎo)致易錯(cuò)、反復(fù)錯(cuò).當(dāng)學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)時(shí)，會(huì)促使其反省，對錯(cuò)解進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)思考，在問題解決的過程中培養(yǎng)思維批判性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

案例2 有同學(xué)給出下列問題的解答過程.請判斷解答是否正確.如果不正確，請?jiān)阱e(cuò)誤的地方畫橫線，給出正確的解答并簡要說明錯(cuò)誤的原因以及對問題的認(rèn)識(shí).

問題 已知2≤x+y≤3，－2≤x－y≤－1，求3x+y的最值，并說明此時(shí)x，y的取值.

解答過程：由已知得0≤x+y+x－y≤2，即0≤x≤1，

3≤x+y－x－y≤5，即3/2≤y≤5/2，所以0≤3x≤3，3/2≤3x+y≤11/2，即3x+y的取值范圍為3/2，11/2.當(dāng)x=0，y=3/2時(shí)，3x+y有最小值3/2；當(dāng)x=1，y=5/2時(shí)，3x+y有最大值11/2.

上述解答錯(cuò)誤在“3/2≤3x+y≤11/2”及之后.這是因?yàn)閤與y沒法同時(shí)取得最?。ù螅┲?，使得3x+y取得最小（大），如“當(dāng)x=0，y=3/2時(shí)，3x+y有最小值3/2”，此時(shí)x=0，y=3/2不滿足“2≤x+y≤3”.

正確解答：由已知得4≤2x+y≤6，所以3x+y=2x+y+x－y∈2，5，即2x+y的取值范圍為2，5，當(dāng)2x+y=4，

x－y=－2. 即x=0，y=2 時(shí)，2x+y有最小值2，當(dāng)2x+y=6，x－y=－1 即x=1，y=2 時(shí)，3x+y有最小值5.

對錯(cuò)解的認(rèn)識(shí)：由已知不等式可知x與y是相關(guān)的，不是孤立的，因此不能分別求出x，y的范圍再對問題求解，需利用整體的思想將已知條件x+y，x－y視為兩個(gè)變量，將2x+y用這兩個(gè)變量表示，就可以避免上述的錯(cuò)誤.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在應(yīng)用不等式性質(zhì)求解一些代數(shù)表達(dá)式范圍時(shí)，經(jīng)常會(huì)忽視應(yīng)用性質(zhì)的前提是變量之間不相關(guān)，所以會(huì)出現(xiàn)經(jīng)典的錯(cuò)誤：分別求各變量范圍再應(yīng)用不等式性質(zhì)求范圍.該錯(cuò)解會(huì)擴(kuò)大所求范圍，由于該內(nèi)容是必修一第二章的內(nèi)容，而且沒有線性規(guī)劃相關(guān)知識(shí)的支撐，所以設(shè)計(jì)問題“求3x+y的最值，并說明此時(shí)x，y的取值”，意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)x和y是互相制約的兩個(gè)變量，x取最?。ù螅┲禃r(shí)，y未必能同時(shí)取到最小（大）值，從而喚醒學(xué)生整體的意識(shí)解決問題.

3.設(shè)計(jì)疑難類問題，讓數(shù)學(xué)思考更有深刻性

疑難類問題是指在一些在教學(xué)過程不好處理的問題，或是因?yàn)閮?nèi)容較為復(fù)雜，或是內(nèi)容涉及超出高中教材.這些問題雖不宜作為課堂教學(xué)的內(nèi)容，但若設(shè)計(jì)作為課后思考，給予充足的背景資料，讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行深入思考，有助于深化教學(xué)內(nèi)容，提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí).

案例3 一般來說，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的情況下才有大小關(guān)系.為什么一般情況下復(fù)數(shù)不能比較大小？

數(shù)學(xué)研究的基本結(jié)構(gòu)有代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).數(shù)的大小關(guān)系是一種序，但是數(shù)系中序關(guān)系要成為大小關(guān)系，要求滿足下列條件：

①對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，a

②對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，如果a

③對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，如果a

④對數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，c>0，如果a

（1）有同學(xué)給出復(fù)數(shù)比大小的一種定義：

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，如果a>c，則a+bi>c+di；如果a=c，則若b>d，則a+bi>c+di.請問這種定義合理嗎？為什么？

（2）有同學(xué)說在復(fù)數(shù)系上無法定義滿足上述四種條件的復(fù)數(shù)比大小規(guī)則，請問這種說法正確嗎？為什么？

參考解答：（1）這種定義不合理.這種定義滿足①②③，但是不滿足④.因?yàn)閕=0+1×i，0=0+0×i，所以由該定義可得i>0，但由④可得，i×i>i×0，即－1>0，矛盾.

（2）由①可知，i與0的關(guān)系只能是i>0與i<0之一.

如果i>0，根據(jù)④可得i×i>i×0，即－1>0；根據(jù)③可得－1+1>1+0，即0>1，由④可得0×－1>1×－1，即0>－1，矛盾；如果i<0，根據(jù)③可得0+－i>i+－i，即－i>0；根據(jù)④可得0×－i>i×－i，即0>1；因?yàn)椋璱>0，根據(jù)④可得，0×－i>1×－i，即0>－i，矛盾.

所以無法定義滿足上述4個(gè)條件的復(fù)數(shù)比大小規(guī)則.

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)數(shù)教學(xué)中，教師沒法對復(fù)數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)說明，只能匆匆?guī)н^“復(fù)數(shù)只能相等或不相等，而不能比較大小，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的情況下才有大小關(guān)系”.這是由于涉及對數(shù)集結(jié)構(gòu)的高等認(rèn)識(shí)，無法在課堂教學(xué)展開.數(shù)學(xué)是講“理”的學(xué)科，任何規(guī)定都有其必然性和合理性，因此通過本問題讓學(xué)生深刻明白復(fù)數(shù)不能比大小的原因，并初步了解“序關(guān)系”“大小關(guān)系”等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，激起對數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.

4.設(shè)計(jì)拓廣類問題，讓數(shù)學(xué)思考更有主動(dòng)性

拓廣類問題是指通過典型例題的解決，能夠進(jìn)行類比聯(lián)想，將問題推廣得到一般性結(jié)論.通過這類問題的解決，讓學(xué)生感悟知識(shí)間的聯(lián)系性和思想方法的普適性，深層次啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力，被動(dòng)做題轉(zhuǎn)化為主動(dòng)思考，在知識(shí)方法的思辨、歸納、拓展、延伸的過程中，拓寬思維寬度，拓展思維的廣度，挖掘思維深度，提升思維高度.［3］

案例4 （1）求（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）的展開式中x4的系數(shù)；

（2）（ⅰ）下列各項(xiàng)是x+y+zn展開式中的項(xiàng)有（ ）.

A.C2nC3nCn－4nx2y3zn－4 B.C2nC3n－2x2y3zn－4

C.C2nC3nCn－5nx2y3zn－5 D.C2nC3n－2x2y3zn－5

（ⅱ）你能寫出x+y+zn展開式中的任意一項(xiàng)、x1+x2+…+xmn展開式中的任意一項(xiàng)嗎？

參考解答：（1）x4的系數(shù)為－1+－2+－3+－4+－5=－15.

（2）（?。〥；（ⅱ）x+y+zn展開式中的任意一項(xiàng)可以是CanCbn－axaybzc，其中a，b，c∈N，且a+b+c=n；x1+x2+…+xmn展開式中的任意一項(xiàng)可以是Ca1nCa2n-a1…Cam-1 n-a1 -a2 -…-am-2x1 a1 x2 a2 …xm am ，其中ai∈N，i=1，2，…，m，且∑m/i=1ai=n.

設(shè)計(jì)意圖：計(jì)數(shù)原理是最基本也是最重要的計(jì)數(shù)方法，雖近乎常識(shí)但應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到原理的重要性，要能夠用原理本身來分析問題和解決問題.二項(xiàng)式展開式的推導(dǎo)就是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典例.通過問題（1）讓學(xué)生回顧計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的基本思想，厘清展開式x4得到的過程，加深對原理的理解，為問題（2）的解決做好鋪墊.要解決問題（2），除了要理解計(jì)數(shù)原理還需要遷移對二項(xiàng)式定理展開式項(xiàng)的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，也可以通過一般到特殊的推理來發(fā)現(xiàn).問題（2）還考查學(xué)生的符號一般化能力，培養(yǎng)抽象概括能力.

5.設(shè)計(jì)探究類問題，讓數(shù)學(xué)思考更有創(chuàng)造性

探究性問題是指在問題中提供一定的數(shù)學(xué)事實(shí)，要求學(xué)生能夠通過觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題、規(guī)律或結(jié)論，并給出解釋或證明.它的主要特點(diǎn)是開放性，條件和結(jié)論有可能都是需要自己去發(fā)現(xiàn)的，有時(shí)還不是唯一的，因此學(xué)生可以廣泛參與問題的探究.探究性問題的求解更加富于思維創(chuàng)造性，有助于真正調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的主動(dòng)性與積極性，激發(fā)良好的自主求知欲和學(xué)習(xí)創(chuàng)新性.

案例5 （2022屆福州5月質(zhì)檢第17題）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①a2=2a1；②數(shù)列l(wèi)nan是等差數(shù)列；③數(shù)列Sn+a1是等比數(shù)列.

參考解答：①②③，①③②，②③①均成立.下面以①②③為例.

設(shè)數(shù)列l(wèi)nan的公差為d，則d=lna2－lna1=2，所以lnan－lnan－1=ln2，即an/an－1=2n>1，故數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，Sn=a11－2n/1－2=2n－1a1，所以Sn+an=a1·2n，故Sn+a1/Sn－1+a1=a12n/a12n－1=2n>1，所以Sn+a1是以S1+a1=2a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：本案例的條件和結(jié)論都是模糊的，需要學(xué)生判斷給出條件的復(fù)雜程度.一般思維的方向是由簡單到復(fù)雜.比較①②③可知，①給出的信息是最清晰，②考查等差數(shù)列的定義及對數(shù)運(yùn)算，③考查等比數(shù)列的定義及Sn與an的關(guān)系或Sn的公式等，因此合理的選擇①②③.在分析比較的過程中，學(xué)生需要作出合適的評估和選擇，對學(xué)生的意志力和隨機(jī)應(yīng)變能力提出了較高的要求，體現(xiàn)理性思維、數(shù)學(xué)探索的考查目標(biāo)，全方位考查學(xué)生的信息加工重構(gòu)能力、問題表征能力以及解題策略監(jiān)控與調(diào)整能力，凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向.［5］

四、結(jié)語

總之，“數(shù)學(xué)思考”欄目應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過習(xí)題的解答進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，思考知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，概括和強(qiáng)化數(shù)學(xué)基本思想，在“感知→熟悉→內(nèi)化”的過程中進(jìn)行深度思考，讓理性思維走向理性精神，提升思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)

［1］中共中央，國務(wù)院.關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見［EB/OL］（2021-7-24）.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］徐章韜.如何提高提出“問題—命題”的能力［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，7：23-26.

［4］馬喜君，趙琴學(xué).以探索性思維導(dǎo)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的有“度”思維——以高三數(shù)列二輪復(fù)習(xí)課為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）2022，4：35-3.

［5］李同吉，吳慶麟.論解決結(jié)構(gòu)不良問題的能力及其培養(yǎng)［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24（01）：63- 68.

本文是福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題《基于核心素養(yǎng)的農(nóng)村校高中數(shù)學(xué)校本作業(yè)設(shè)計(jì)研究》（編號：Fjjgzx21-327）的研究成果之一．