數(shù)學(xué)課堂中“鏈＋”設(shè)例的實(shí)踐與思考

摘 要：“鏈+”設(shè)例是指設(shè)置問題情境關(guān)聯(lián)、思路探索延續(xù)、解答過程兼容、難度差異明顯的分層例題?！版?”設(shè)例在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)用的一般步驟包括：確定例題教學(xué)的分層知識(shí)鏈，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇母題，基于母題“鏈+”設(shè)例，運(yùn)用“設(shè)例”展開教學(xué)?！版?”設(shè)例需要注意：不可偏離課時(shí)核心知識(shí)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)例題的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，應(yīng)該重視教學(xué)過程的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；例題設(shè)計(jì)；解題教學(xué)；“鏈+”設(shè)例；圓周角

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)‘鏈+課堂的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2021JY14-L398）、江蘇省教育家型教師創(chuàng)新培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目“‘雙減背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效的實(shí)踐研究”的階段性研究成果。

數(shù)學(xué)課堂中，分層設(shè)計(jì)例題為學(xué)生拾級(jí)而上地學(xué)習(xí)和為不同能級(jí)的學(xué)生追求個(gè)性化發(fā)展提供了可能。關(guān)于分層設(shè)例及其教學(xué)應(yīng)用，筆者曾多次撰文介紹。［1-3］本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，介紹一種有效的分層設(shè)例策略——“鏈+”設(shè)例，供大家參考。

一、 “鏈+”設(shè)例的含義

“鏈+”是筆者提出的概念，用來表示這樣一種教學(xué)理念（主張）：基于內(nèi)容關(guān)聯(lián)，從一個(gè)基本點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行延伸與變化，從而構(gòu)建結(jié)構(gòu)化、序列性的教學(xué)資源（學(xué)習(xí)材料）。［4］“鏈+”設(shè)例是指設(shè)置問題情境關(guān)聯(lián)、思路探索延續(xù)、解答過程兼容、難度差異明顯的分層例題?！版?”設(shè)例是分層設(shè)例的一種，呈現(xiàn)的也是分層例題。但是，相較于只關(guān)注難度差異的分層設(shè)例，“鏈+”設(shè)例更加注重例題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，注重情境的統(tǒng)一、思維的延續(xù)、過程的兼容等。筆者主要從知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、情境“包裝”的復(fù)雜程度、思考“破解”的角度以及認(rèn)知能力的要求等方面形成例題的層級(jí)差異。

例如，筆者為人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊“21.2.1 配方法”第2課時(shí)設(shè)計(jì)的三道用配方法解一元二次方程的例題如下：（A） x2-4x＝7；（B） x2-4x-7＝0；（C） 12x2＝2x+72。這三道例題的求解過程大致可用圖1所示的流程圖表示。

這三道例題的主要特征如下：

問題情境關(guān)聯(lián)。三道例題均直接以方程的形式呈現(xiàn)，外形上略有差異：A級(jí)例題是可以直接配方的一元二次方程；B級(jí)例題是一元二次方程的一般形式，是將A級(jí)例題的常數(shù)項(xiàng)移到方程的左邊得到的；C級(jí)例題是將B級(jí)例題的一次項(xiàng)移和常數(shù)項(xiàng)都移到方程的右邊，同時(shí)兩邊除以2得到的。顯然，一旦理清了這些方程外形上的異同，其情境上的關(guān)聯(lián)便一目了然了：目標(biāo)為解方程時(shí)，都可通過適當(dāng)變形統(tǒng)一為A級(jí)例題的形式。

思路探索延續(xù)。運(yùn)用配方法解這三個(gè)方程，其核心步驟都是“配方→‘定型→求解→檢驗(yàn)”。無論選擇解答哪道例題，學(xué)生都會(huì)按照這樣的思路進(jìn)行探索。其中，解答B(yǎng)級(jí)例題需要在上述核心步驟上“鏈+”移項(xiàng)，而解答C級(jí)例題則需要進(jìn)一步“鏈+”整理（化二次項(xiàng)系數(shù)為1）。學(xué)生沿著A級(jí)例題的解題思路逐步展開探索，將會(huì)通過“鏈+”最終可以解答C級(jí)例題。

解答過程兼容。A級(jí)例題的求解過程是后面兩道例題求解過程的一部分；B級(jí)例題的求解過程囊括了A級(jí)例題的求解過程，同時(shí)又是C級(jí)例題求解過程的一部分……

難度差異明顯。三道例題中，A級(jí)例題最容易；B級(jí)例題的解答需要“跳一跳”，方可“摘到桃”；C級(jí)例題的難度最大，需要“站在板凳上”再“跳一跳”，才能“摘到桃”。B級(jí)、C級(jí)例題的難度主要體現(xiàn)在向A級(jí)例題的轉(zhuǎn)化上。

教學(xué)時(shí)，筆者鼓勵(lì)學(xué)生挑選能力所及的例題解答與交流，能選C級(jí)例題的不選A級(jí)、B級(jí)例題，希冀以此達(dá)成兩方面的目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；二是激發(fā)學(xué)生的探索欲望，形成能力上的突破，獲得最大化的發(fā)展。

二、 “鏈+”設(shè)例在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

下面以人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊“24.1.4 圓周角”第1課時(shí)為例，談?wù)劇版?”設(shè)例在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)用的一般步驟。

（一） 確定例題教學(xué)的分層知識(shí)鏈

我們應(yīng)該基于課標(biāo)、教材和學(xué)情來確定例題教學(xué)的分層知識(shí)鏈，確保“鏈+”設(shè)例的“正方向”。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》給出的與圓周角相關(guān)的內(nèi)容要求，“24.1.4 圓周角”第1課時(shí)的核心知識(shí)主要有“同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等”，“直徑所對(duì)的圓周角是直角”等。筆者對(duì)上述核心知識(shí)做了適度“鏈+”，形成例題教學(xué)的分層知識(shí)鏈，具體見表1。

（二） 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇母題

所謂“母題”，是指包含學(xué)生所要鞏固的學(xué)習(xí)內(nèi)容、具有可塑性的題目。母題是“鏈+”設(shè)例的起點(diǎn)，一道好的母題可以改編形成多道難度不一的題目。母題可以是教材中的例題、練習(xí)，也可以是中考題或段考題，還可以是原創(chuàng)題。選擇母題既要考慮與學(xué)生所學(xué)內(nèi)容相關(guān)，還要考慮題目的可變性。

為了幫助學(xué)生鞏固核心知識(shí)，筆者選擇教材中的例4作為母題進(jìn)行“鏈+”設(shè)計(jì)。為了便于下面的陳述，這里先呈現(xiàn)該題并做簡要分析。

如圖2，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC、AD、BD的長。

解答本題需要用到圓周角定理的推論、勾股定理、等腰直角三角形等知識(shí)。由于題中給出了很多條件，可以生成許多結(jié)論。比如，由AB是直徑，可以推出∠ACB＝∠ADB＝90°，在得到Rt△ACB和Rt△ADB的同時(shí)，還可進(jìn)一步得到∠CAD+∠CBD＝180°，這實(shí)際上就是后面要學(xué)習(xí)的“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”；由∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，可以得到∠ACD＝∠BCD，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角都是45°，再結(jié)合“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，可以得出∠ABD＝∠BAD＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD，AD＝BD，即△ADB是等腰直角三角形；如果再用上題中的線段長，就可以求出圖中所有線段的長。

（三） 基于母題“鏈+”設(shè)例

1. 降低解題要求，形成A級(jí)例題

“鏈+”設(shè)例，要保證課時(shí)核心知識(shí)全覆蓋。就算是難度最低的A級(jí)例題，也不能出現(xiàn)課時(shí)核心知識(shí)的疏漏。在保證上述要求的情況下，可以通過降低解題要求的方式來實(shí)現(xiàn)母題難度的降級(jí)，形成A級(jí)例題。

在對(duì)上述母題進(jìn)行“鏈+”設(shè)計(jì)時(shí)，為了保證覆蓋“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一核心知識(shí)，筆者將題中的“求BC、AD、BD的長”變?yōu)椤扒驜C的長”；為了避免原題中核心知識(shí)的遺漏和“條件無用”，筆者增加了“求∠ABD的度數(shù)”。如此編排，通過兩個(gè)難度不大的求解目標(biāo)形成A級(jí)例題，讓那些學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)、基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生能夠順利解答并展開交流。

2. 減少中間臺(tái)階，形成B級(jí)例題

B級(jí)例題難度中等。如果母題難度中等的話，可把母題直接作為B級(jí)例題。除了考慮難度之外，B級(jí)例題的確定還要考慮其是否為A級(jí)例題的進(jìn)一步發(fā)展，其求解過程能否兼容A級(jí)例題的求解過程。

上述母題中，求BC的長難度不大，求AD的長與求BD的長方法一樣，基礎(chǔ)都是得到△ADB是等腰直角三角形（相當(dāng)于A級(jí)例題中求得∠ABD＝45°）。因此，在設(shè)計(jì)B級(jí)例題時(shí)，筆者抽掉“求BC、AD的長”，將解題目標(biāo)確定為“求BD的長”。其解答過程與上述母題相同，不僅涵蓋了A級(jí)例題的求解過程，而且比上述母題提升了不少難度。

3. 重設(shè)解題目標(biāo)，設(shè)計(jì)C級(jí)例題

為了保證對(duì)A、B、C三級(jí)例題的解答，學(xué)生在小組、班級(jí)交流時(shí)有共同的話題，在確保知識(shí)點(diǎn)全覆蓋的情況下，“鏈+”設(shè)例還要盡可能做到為三級(jí)例題的交流創(chuàng)設(shè)共同的語境，在情境和問題兩者中保持一個(gè)穩(wěn)定。比如，可創(chuàng)設(shè)一致的情境，即不改動(dòng)題干，通過重設(shè)解題目標(biāo)，來形成難度最大的C級(jí)例題。一般情況下，C級(jí)例題可以由B級(jí)例題解題目標(biāo)進(jìn)一步發(fā)展得到。

根據(jù)上述母題設(shè)計(jì)C級(jí)例題時(shí)，筆者保持題干不變，將解題目標(biāo)定為：求CD的長。此題頗有難度：容易發(fā)現(xiàn)，要求的CD在三角形△ACD和△BCD中，△ACD和△BCD中除了CD之外的邊和角（或其某個(gè)三角函數(shù)）都是已知（可求）的，但是學(xué)生缺少三角函數(shù)和解三角形的知識(shí)（沒有學(xué)過三角恒等變換和正弦定理、余弦定理），在這兩個(gè)三角形中解不出CD的長。因此，需要構(gòu)造新的以CD為一條邊的三角形，具體可以由△ADB是等腰直角三角形，想到AD和BD之間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，考慮將△ACD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（或?qū)ⅰ鰾CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°），到四邊形ADBC外面。也就是，作DE⊥CD，交CB的延長線于E（或作DF⊥CD，交CA的延長線于F），如圖3。由此易得∠CAD+∠CBD＝∠CBD+∠DBE＝180°，所以∠DBE＝∠CAD；又∠BDE＝∠ADC，BD＝AD，可得△BDE≌△ADC，則BE＝AC＝6，DE=CD；在Rt△ACB中用勾股定理求出BC＝8后，就可以在等腰直角三角形CDE中用勾股定理求出CD=72了。顯然，這里求CD的過程把A、B兩級(jí)例題的求解過程都囊括進(jìn)來了。

（四） 運(yùn)用設(shè)例展開教學(xué)

課堂教學(xué)中，教師出示“鏈+”例題后，一般要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷自主探索、小組交流、全班交流的過程。在這個(gè)過程中，“鏈+”例題能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)自然分層（適合自己）、相互關(guān)聯(lián)（獲得發(fā)展），讓每一名學(xué)生都竭盡全力開動(dòng)腦筋，使出渾身解數(shù)，努力向別人展示自己最便捷的探索過程和最完美的解題過程。

教學(xué)“24.1.4 圓周角”第1課時(shí)，學(xué)生學(xué)完圓周角定理及其推論之后，筆者投影展示“鏈+”例題：“如圖2，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D。（A） 求BC的長和∠ABD的度數(shù)；（B） 求BD的長；（C） 求CD的長?！弊寣W(xué)生自主選擇能夠解答的最難例題，讀題標(biāo)注，探索思路，并嘗試給出解題過程。學(xué)生自主審題，預(yù)估難度，選擇最適合自己的例題；再綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，努力給出所選例題的求解過程。

8分鐘后，自主探索結(jié)束，筆者讓學(xué)生在小組中交流，分享自己探索思路的過程、解題的過程和結(jié)果以及關(guān)注的解題要點(diǎn)。三級(jí)例題的共性部分自然會(huì)出現(xiàn)在學(xué)生的對(duì)話中。

3分鐘后，小組交流結(jié)束，筆者組織全班交流。首先，一名解答A級(jí)例題的學(xué)生與大家交流了自己的求解過程。接著，一名解答B(yǎng)級(jí)例題的學(xué)生在上述過程的基礎(chǔ)上，就“如何求BD的長”與大家展開進(jìn)一步交流，呈現(xiàn)求得BD＝52的詳細(xì)過程。在解答C級(jí)題的學(xué)生與大家交流時(shí)，筆者安排解答A級(jí)例題的學(xué)生和未能完成B級(jí)例題的學(xué)生繼續(xù)探索B級(jí)例題或自主訂正B級(jí)例題。通過師生互動(dòng)交流，解答C級(jí)例題的學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造具有公共頂點(diǎn)的“手拉手”雙全等三角形（如圖3所示，△BDE≌△ADC，△ADF≌△BDC），是求得CD＝72的有效方法。筆者進(jìn)一步追問：解決C級(jí)例題用到了哪些知識(shí)？是如何形成這一解題思路的？進(jìn)而，把全等三角形中的基本圖形和新學(xué)的知識(shí)鏈接在一起，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。隨即，解答B(yǎng)級(jí)例題的學(xué)生和未能完成C級(jí)例題的學(xué)生繼續(xù)探索C級(jí)例題或自主訂正C級(jí)例題。在整個(gè)交流的過程中，學(xué)生的活動(dòng)因?yàn)榻獯鸬那闆r出現(xiàn)了差異：有人在講，有人在聽；有人在再探索，有人在訂正。

4分鐘后，筆者再次帶領(lǐng)全班梳理解答本題用到的課時(shí)核心知識(shí)，進(jìn)行全課小結(jié)。

三、 關(guān)于“鏈+”設(shè)例的幾點(diǎn)注意

（一） “鏈+”設(shè)例不可偏離課時(shí)核心知識(shí)

“鏈+”設(shè)例之所以能進(jìn)入課堂，主要在于調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性、提升學(xué)生獲得發(fā)展的可能性等方面。而這些歸根到底源自每節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中獲得了不少新的知識(shí)與技能，自然希望在應(yīng)用中大展身手。所以，“鏈+”設(shè)例絕不可偏離課時(shí)目標(biāo)，而應(yīng)該圍繞課時(shí)核心知識(shí)定向“鏈+”。要特別留意的是，設(shè)計(jì)的A、B、C三級(jí)例題是否因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)的增刪，導(dǎo)致探索主題與課時(shí)目標(biāo)產(chǎn)生偏差、教學(xué)重心發(fā)生偏移、在無關(guān)知識(shí)的應(yīng)用上耗費(fèi)太多的時(shí)間，而將課時(shí)核心知識(shí)弱化。上述案例中的A、B、C三級(jí)例題無論是解答還是交流，始終圍繞圓周角定理及其推論展開，這正是本節(jié)課的核心內(nèi)容。A、B、C三級(jí)例題的自主探索和不同形式的交流，對(duì)學(xué)生理清本節(jié)課的核心知識(shí)是十分有利的。所以，無論是什么樣的課，無論是什么內(nèi)容的教學(xué)，一旦目標(biāo)確定，我們就應(yīng)沿著目標(biāo)指引的方向設(shè)計(jì)層級(jí)清晰的“鏈+”例題，以此帶領(lǐng)學(xué)生每課進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)。

（二）“ 鏈+”設(shè)例應(yīng)該強(qiáng)調(diào)例題的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

一般情況下，“鏈+”設(shè)例呈現(xiàn)的三級(jí)例題在題干或問題上存在密切的聯(lián)系，而這些內(nèi)在的聯(lián)系點(diǎn)恰恰是教學(xué)過程中探索與交流的主要話題。試想一下，如果“一題一世界”，一節(jié)課能不能容下三道例題的探索與交流真的很難說。所以，“鏈+”設(shè)例時(shí)，筆者常在題干或問題兩者中固定一個(gè)，變動(dòng)另一個(gè)，使得例題在變化中有著不變，形成“同情境，異目標(biāo)”或“異情境，同目標(biāo)”的分級(jí)例題，為交流提供“同一方向”。本文所舉的例題屬于“同情境，異目標(biāo)”類例題，題組在同一個(gè)題干下生長出多個(gè)不同層級(jí)的解題目標(biāo)，而這些目標(biāo)之間又有著明顯的包含關(guān)系，如C級(jí)例題解答過程包含B級(jí)例題解答過程，B級(jí)例題解答過程包含A級(jí)例題解答過程，如圖4。當(dāng)然，有時(shí)也可以形成如圖5所示的設(shè)例關(guān)系。要注意的是，無論是哪一種形式的改編，其解答過程中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)（圖4、圖5中的陰影部分）都將是課時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)，也是交流對(duì)話要關(guān)注的重點(diǎn)。因此，我們應(yīng)該留意，關(guān)聯(lián)點(diǎn)的設(shè)計(jì)是“鏈+”設(shè)例的核心所在。

（三） “鏈+”設(shè)例應(yīng)該重視教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

“鏈+”設(shè)例不僅要重視例題的設(shè)計(jì)，而且要重視例題教學(xué)過程的設(shè)計(jì)。要充分體現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中角色的準(zhǔn)確定位?！坝行У慕虒W(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。”［5］例題是用來解的，不是用來看的，更不是用來“炫富”（展示教師和優(yōu)生的思路與過程）的。沒有學(xué)生自主經(jīng)歷的例題解答與交流歷程是虛假無效的。這也不是我們所追求的“人人平等”的公平教學(xué)?！版?”設(shè)例所追求的是既讓學(xué)生體會(huì)到解題不語的“痛苦”，又讓學(xué)生享受到順利得解的愉悅。自主解答需要解題不語，而交流分享需要過程體驗(yàn)。只有在豐富的過程歷練后，學(xué)生才能發(fā)表自己的見解，分享自己的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。教材例題一般只有一個(gè)層次的題目，根據(jù)課時(shí)安排即可。而“鏈+”設(shè)例所呈現(xiàn)的是三級(jí)例題，在不同的教學(xué)時(shí)點(diǎn)上，給學(xué)生的難度估判是不一樣的。放在今天做恰到好處的題組，放到明天說不定連C級(jí)例題都不難了。所以在“鏈+”設(shè)例中，應(yīng)該同時(shí)考慮到“學(xué)生什么時(shí)候解答”“什么時(shí)候，在什么范圍內(nèi)交流”“交流什么”“怎樣交流”“教師在學(xué)生解答與交流的過程中起到什么作用”“如何發(fā)揮這些作用”等問題，摒棄例題解答和交流的“三替代”（教師替代、優(yōu)生替代、軟件替代），努力創(chuàng)設(shè)讓每一名學(xué)生都真正解起來、說起來、動(dòng)起來的教學(xué)過程，讓人人能參與且有收獲。

總之，“鏈+”設(shè)例基于分層的知識(shí)鏈，以分層例題為抓手，用分層解答與分享交流推動(dòng)學(xué)生分層發(fā)展，在幫助學(xué)生獲取“四基”、發(fā)展“四能”的同時(shí)，助力學(xué)生形成正確的情感態(tài)度和價(jià)值觀，獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展。設(shè)計(jì)幾道例題不難，但要像本文所示的“鏈+”設(shè)例那樣，使呈現(xiàn)的例題有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，從外形到內(nèi)核、從探索到交流都有邏輯關(guān)聯(lián)，那就著實(shí)不易了。為此，作為有效的嘗試，“鏈+”設(shè)例一直在路上。筆者一直孜孜以求，期待各位同行專家的指點(diǎn)。

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