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    梳理命題內(nèi)涵,掌握證明術(shù)語

    2023-08-18 13:27:01徐菊萍
    初中生世界·七年級 2023年8期
    關(guān)鍵詞:逆命題內(nèi)錯角外角

    徐菊萍

    蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德說過:“證明之于數(shù)學(xué),猶如拼寫之于詩歌。如同詩歌由字符組成一樣,數(shù)學(xué)工作是由證明組成的?!睌?shù)學(xué)在定義、公理基礎(chǔ)上,通過推理、證明得到一系列定理,從而組成邏輯體系。證明常常會涉及“定理”“公理”“推理”等名詞,有的同學(xué)往往因為不能辨析這些名詞,影響了下一步的學(xué)習(xí)。下面,讓我們一起來梳理這些名詞的內(nèi)涵和關(guān)系。

    一、命題的概念

    判斷一件事情的句子叫作命題。我們從現(xiàn)代漢語語法角度來理解,命題通常是一個陳述句,不是短語。疑問句、祈使句、感嘆句等句子也都不是命題。

    例1 下面的句子中,是命題的有__________。

    (1)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù);(2)教室里的學(xué)生;(3)你吃飯了嗎?(4)內(nèi)錯角相等;(5)延長線段AB;(6)今天的天氣真好?。。?)若[a]>[b],則a>b;(8)對頂角相等;(9)兩直線平行,同位角相等;(10)同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線。

    【解析】(2)是短語;(3)是疑問句;(5)是祈使句;(6)是感嘆句。它們都不是命題。而(1)(4)(7)(8)(9)(10)都在做判斷,是命題。故答案為:(1)(4)(7)(8)(9)(10)。

    判斷一個語句是不是命題,不要與判斷結(jié)果的對錯混淆。(1)(4)(7)都是判斷錯誤的語句,它們是假命題,也是命題。

    二、命題的組成

    命題由條件(題設(shè))和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項,結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題??梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?。其中,“如果”之后的部分是條件,“那么”之后的部分是結(jié)論。

    我們同樣可以利用現(xiàn)代漢語語法,來幫助我們改寫命題的形式。首先,找到句子中的主語,再確定其條件和結(jié)論。其中,條件和結(jié)論的主語是一致的。

    如例1(1)中,“小數(shù)”說明主語是“數(shù)”,“小”是定語,用來修飾“數(shù)”。而后面的“化成分?jǐn)?shù)”是“謂語+賓語”結(jié)構(gòu),是判斷的結(jié)論。因此,該命題可以改寫為:如果一個數(shù)是小數(shù),那么這個數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)。

    (4)中,主語是“角”,“內(nèi)錯”是定語,“相等”是謂語。表明主語怎么樣,是判斷的結(jié)論。因此,該命題可以改寫為:如果兩個角是內(nèi)錯角,那么這兩個角相等。

    例1中還有3個命題,請大家嘗試模仿上述方法來改寫。

    三、命題的真假

    既然命題是可以判斷的,就必然會產(chǎn)生“對和錯”兩種結(jié)果。根據(jù)判斷的結(jié)果對錯,命題又分為真命題和假命題。真命題是正確的命題,即如果命題的題設(shè)成立,那么結(jié)論成立。常見的真命題有哪些呢?

    1.定義。定義是揭示一個事物區(qū)別于其他事物特征的句子,如例1中的(10)。定義的結(jié)構(gòu)常常為“A叫作B”,其中B是名詞。

    2.公理。公理是人們在長期實踐中總結(jié)出來的正確的命題。公理的正確性是在實踐中得以證實的,被大家公認(rèn)的,不再需要證明,并且它可以作為證明其他真命題的依據(jù)。蘇科版教材也稱公理為基本事實,比如例1中的(9)。

    3.定理。經(jīng)過證明的真命題稱為定理。比如,由例1中的(9),可以證明得到定理“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”。

    4.推論。由一個定理直接推出的正確結(jié)論,叫作這個定理的推論。比如,由三角形內(nèi)角和定理,推出的推論為“多邊形的外角和為360°”。

    例1中,(8)(9)(10)都是真命題。其中,公理和定義不需要證明,也不能證明,而定理、推論和其他的真命題則需要證明。假命題是錯誤的命題,即如果一個命題的題設(shè)成立,不能保證結(jié)論一定成立。

    四、命題的互逆

    如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論與條件,那么這兩個命題稱為互逆命題。其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。由于每個命題都由條件和結(jié)論組成,只要把一個命題的條件和結(jié)論互換,就得到它的逆命題,因此每個命題都有逆命題。

    比如,例1中(9)的逆命題是“同位角相等,兩直線平行”。

    那么(4)的逆命題是什么呢?對于這樣的不能明顯看出條件和結(jié)論的命題,我們可以先將命題改寫成“如果A,那么B”的形式,先找到條件和結(jié)論,然后把A和B對調(diào)。比如(4)改寫為:如果兩個角是內(nèi)錯角(A),那么這兩個角相等(B)。交換A和B的位置,可得逆命題:如果兩個角相等(B),那么這兩個角是內(nèi)錯角(A)。

    值得注意的是,原命題的真假與逆命題的真假無關(guān),比如,(9)是真命題,但其逆命題是假命題。

    五、命題的證明

    根據(jù)已知的真命題,確定某個命題真實性的過程叫作證明。真假命題的證明方法不一樣。

    假命題的證明方法:舉反例,即舉出一個符合命題的條件,但命題結(jié)論不成立的例子來說明命題是假命題。

    比如,例1中(1)的條件是“一個數(shù)是小數(shù)”,結(jié)論是“這個數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)”,要證明這個命題是假的,我們只要找到一個不能化成分?jǐn)?shù)的小數(shù)即可。因此,我們可以找任何一個無限不循環(huán)小數(shù)。它符合條件,是小數(shù);但不符合結(jié)論,它是無理數(shù),不能化成分?jǐn)?shù)。這就是舉反例。

    真命題的證明方法:我們學(xué)習(xí)的主要是符號命題的證明,直接推理即可。與圖形有關(guān)的文字命題的證明是同學(xué)們的薄弱之處,我們可以通過數(shù)學(xué)三種語言的“翻譯”,轉(zhuǎn)化來理解(如圖1)。

    例2 證明命題“三角形不共頂點的三個外角的和等于360°”是真命題。

    【解析】首先,我們要分析命題的條件和結(jié)論,將其分別“翻譯”成包含“已知”和“求證”的符號語言,并畫出圖形。本題的條件是“有三個角是三角形不共頂點的外角”,結(jié)論是“這三個角的和等于360°”。由于本題涉及一個三角形及其三個不共頂點的外角,故我們可畫出圖2,結(jié)合圖形,將條件翻譯成“已知”,將結(jié)論翻譯成“求證”,然后完成推理過程。

    已知:如圖2,∠1、∠2、∠3分別是△ABC的三個外角。求證:∠1+∠2+∠3=360°。

    本題證明方法有多種,我們選擇一種證明如下。

    證明:∵∠1+∠BAC=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠ACB=180°(平角定義),

    且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理),

    ∴∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°(等式性質(zhì)),

    即∠1+∠2+∠3=360°。

    答:命題“三角形不共頂點的三個外角的和等于360°”是真命題。

    推理能力主要指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。其中,利用直覺、聯(lián)想、觀察、實驗、歸納、類比等方法進行的推理是合情推理,可以幫助我們得出猜想或結(jié)論,而例2屬于演繹推理,是對猜想和結(jié)論進行的邏輯推理。

    幾何知識的抽象性比較強,作為初中階段的我們,要梳理圖形和相關(guān)概念的關(guān)系,養(yǎng)成推理意識,借用其他學(xué)科的知識,學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龇椒ê屯评矸椒?,形成推理能力?/p>

    (作者單位:江蘇省蘇州市吳中區(qū)獨墅湖中學(xué))

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