非球面磨削拋光機(jī)床插補(bǔ)原理解析與速度尋優(yōu)算法研究

胡月，秦芳，王紅

(河北民族師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，河北承德 067000)

0 前言

光學(xué)非球面元件相比于球面元件具有無法比擬的優(yōu)越性，使得其在光學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。但是，光學(xué)非球面元件在加工成形時(shí)，由于其結(jié)構(gòu)特征導(dǎo)致非球面輪廓曲線各點(diǎn)曲率均不相同，無論采用當(dāng)前何種加工成形方法，都會在其表面殘留不同頻率的環(huán)帶波紋誤差，從而制約了光學(xué)非球面元件的快速發(fā)展。

光學(xué)非球面元件表面殘留的環(huán)帶波紋誤差是影響其應(yīng)用性能的主要因素，也是當(dāng)前非球面加工制造領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題。針對當(dāng)前光學(xué)非球面元件成形過程中殘留的環(huán)帶波紋問題[1-3]，課題組提出了全新的非球面切線回轉(zhuǎn)成形原理[4-6]，可以有效解決光學(xué)非球面元件加工成形的環(huán)帶波紋殘留問題。

1 切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理

如圖1所示，圖中磨輪m為端面平直的平行磨輪，曲線L為被加工非球面面型曲線，設(shè)想非球面成形過程中，磨輪磨削點(diǎn)Pi沿非球面面型曲線做橫、縱向運(yùn)動的同時(shí)也進(jìn)行回轉(zhuǎn)擺動，則可以保證磨輪始終相切于被加工面型曲線，從而使相鄰節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡近似為理想的連續(xù)光滑曲線，可實(shí)現(xiàn)切線回轉(zhuǎn)成形非球面，且能夠得到準(zhǔn)確、連續(xù)、光滑、沒有理論波紋誤差的非球面面型曲線。

圖1 切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理

2 速度插補(bǔ)數(shù)學(xué)解析

為驗(yàn)證切線回轉(zhuǎn)成形非球面原理的先進(jìn)性，實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的原理樣機(jī)“非球面磨削拋光機(jī)床”(Aspherical Grinding Polish Machine，AGPM)三維結(jié)構(gòu)示意如圖2所示，實(shí)物如圖3所示。

圖2 三維結(jié)構(gòu)示意

圖3 AGPM實(shí)物

AGPM采用速度插補(bǔ)形式成形非球面[7-8]，即：對加工曲線Y方向進(jìn)行節(jié)點(diǎn)等分，應(yīng)用非球面曲線公式求解節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及相對量，利用速度、位移及加速度數(shù)學(xué)關(guān)系求解X、Y兩運(yùn)動方向運(yùn)控參量，使速度保持單調(diào)，實(shí)現(xiàn)精密擬合。

2.1 問題論證

以實(shí)際光學(xué)非球面元被加工樣件為例，具體參數(shù)如表1所示。面型曲線方程如式(1)所示。

表1 加工樣件參數(shù)

(1)

假設(shè)設(shè)置20分段數(shù)，求解運(yùn)控參數(shù)如表2所示。

表2 運(yùn)控參數(shù)

利用上述參數(shù)對給定曲線進(jìn)行擬合，可得X、Y方向進(jìn)給速度曲線如圖4所示。分析知：X方向速度不具備單調(diào)特性，Y方向起始點(diǎn)與后續(xù)運(yùn)行速度也不具備單調(diào)性，所以，X、Y軸實(shí)際運(yùn)行速度不單調(diào)，與切線回轉(zhuǎn)成形的速度插補(bǔ)方式產(chǎn)生矛盾。

圖4 調(diào)整前、后X、Y方向進(jìn)給速度曲線

非單調(diào)運(yùn)行X、Y方向聯(lián)動擬合曲線如圖5所示，可知：回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)G0擬合軌跡呈波浪形式，而非連續(xù)光滑，從而使磨輪磨削點(diǎn)也以波浪形式運(yùn)行。因此，當(dāng)前求解的運(yùn)控參數(shù)無法匹配連續(xù)光滑的切線回轉(zhuǎn)成形。

圖5 調(diào)整前、后點(diǎn)G0與磨削點(diǎn)的軌跡對比

2.2 問題解析

由于在AGPM結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，選擇伸長距離為166 mm的磨輪主軸，使得機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0與實(shí)際加工中心有較大距離偏差，從而導(dǎo)致分割段內(nèi)X方向的位移量Δxi呈線性變化，如表2所示。

用位移、時(shí)間、速度、加速度公式解析，針對曲線第一分割段，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0運(yùn)行速度與X方向位移量為

(2)

針對曲線第二分割段，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0運(yùn)行速度與X方向位移量為

(3)

由表2知Δx1≈Δx2，聯(lián)立式(2)(3)，可得a2與a1存在如下關(guān)系：

(4)

由給定運(yùn)行參數(shù)和求解控制參數(shù)知U0=0，Δt2>Δt1>0，則可得出：

(5)

所以a2與a1符號相反，即在Δx1、Δx2內(nèi)，點(diǎn)G0在X方向運(yùn)動一定是加速、減速兩種形式，因此在Δx1和Δx2內(nèi)運(yùn)行速度非單調(diào)。

針對曲線第三分割段，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0運(yùn)行速度與X方向位移量為

(6)

由表2知Δx2≈Δx3，則聯(lián)立算式(2)(3)(6)，可得a3與a2存在如下算式關(guān)系：

a3=

(7)

2Δt1·Δt3+2Δt2·Δt3)]>0

(8)

所以a3與a2的符號相反，即在Δx2、Δx3內(nèi)，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0運(yùn)動為先減速、后加速，所以在相鄰第二、第三分割段內(nèi)，運(yùn)行速度非單調(diào)。

同理，可證a4、…、ai、…、an大小為：a4<0，a5>0，…，a2i<0，a2i+1>0，…，a2n<0，所以得證，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0在相鄰第Δx2i、第Δx2i+1分割段內(nèi)運(yùn)行速度均非單調(diào)，該分析即為圖5回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)G0擬合軌跡呈波浪曲線的根本原因。

2.3 解決方案

對點(diǎn)G0進(jìn)給加速度進(jìn)行分析，將式(5)進(jìn)行變換得：

(9)

U0·Δt1-(U0-a1·Δt1)(2Δt2-Δt1)>0

(10)

分析式(10)，由表1知Δt2>Δt1，所以得到：

2Δt2-Δt1>Δt1

(11)

聯(lián)立算式(10)(11)可以推出如下算式：

|U0-a1·Δt1|

(12)

U0>a1·Δt1/2

(13)

分析式(13)，設(shè)置X方向運(yùn)行初速度U0≠0，且U0>a1·Δt1/2，可使a2>0，即：設(shè)置一個(gè)滿足不等式關(guān)系的初速度U0，可實(shí)現(xiàn)在相鄰第一、第二分割段內(nèi)，運(yùn)行速度單調(diào)。

(14)

同理，分析ai，針對相鄰第i-1、第i分割段內(nèi)，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0運(yùn)行速度與X方向位移量可構(gòu)建式(15)、(16)：

(15)

(16)

由表2知Δxi-1≈Δxi，綜合式(15)(16)，聯(lián)立運(yùn)算可得ai與U0存在如下算式關(guān)系：

(17)

因此知，通過設(shè)置最優(yōu)初速度U0，使a2、a3、a4、…、ai、…、an均大于0，即：設(shè)置一個(gè)滿足不等式算式關(guān)系的初速度U0，可實(shí)現(xiàn)在全運(yùn)動過程中運(yùn)行速度單調(diào)。

因此，依據(jù)不等式(18)，通過合理設(shè)置運(yùn)控參數(shù)ai、ti、Δxi極限值，基于遺傳學(xué)智能尋優(yōu)算法，可實(shí)現(xiàn)最適初速度U0的優(yōu)選。

3 基于遺傳學(xué)的尋優(yōu)算法

基于遺傳學(xué)理論的尋優(yōu)算法主要包括3個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：(1)適應(yīng)度計(jì)算；(2)算法邊界設(shè)定；(3)算法運(yùn)行參數(shù)[7-8]。

3.1 適應(yīng)度值計(jì)算

通過已知曲線方程，可求解AGPM運(yùn)控參數(shù)。假設(shè)存在某個(gè)U′0值，使成形過程中X運(yùn)動方向速度保持單調(diào)，即任意分割段內(nèi)加速度均大于0。a′1、a′2、…、a′n和U′1、U′2、…、U′n分別為對應(yīng)U′0值的加速度與速度，則應(yīng)存在如下算式關(guān)系：

a′i=

(19)

若要求解最優(yōu)U′0值，該速度尋優(yōu)算法的入口函數(shù)應(yīng)設(shè)置為式(19)。

3.2 邊界設(shè)定

由式(13)知，若使a′2>0，則此時(shí)U′0應(yīng)存在如下算式關(guān)系：

(20)

同理，由式(20)知，若使a′i>0，則此時(shí)U′0應(yīng)存在如下算式關(guān)系：

(21)

聯(lián)立式(20)(21)，整理得：

(22)

在式(22)中，U′0值的不等式算式關(guān)系，即為最優(yōu)U′0極限值的邊界條件。

3.3 運(yùn)行參數(shù)

根據(jù)速度尋優(yōu)算法解析要求，設(shè)定算法運(yùn)行參數(shù)如表3所示。

表3 算法運(yùn)行參數(shù)

3.4 運(yùn)算流程

圖6所示為算法運(yùn)算流程，應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)解析工具進(jìn)行算法性能解析。

圖6 運(yùn)算流程

4 應(yīng)用性能分析及實(shí)驗(yàn)論證

以前文應(yīng)用的非球光學(xué)面元件為例，分別以分段數(shù)20、100、500、2 000，回轉(zhuǎn)速度ω=0.3 rad/s，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，算法解析的U′0和a′i數(shù)值如表4所示。

表4 解算得到最適初速度U′0值

以分段數(shù)20為例，用擬合曲線對比分析算法應(yīng)用效果，如圖4所示。對比U′0與U0分析，當(dāng)U′0=0.867 1 mm/s時(shí)，X方向運(yùn)行速度單調(diào)遞增、連續(xù)光滑；Y方向運(yùn)行速度，需使vy(0)=vy(1)，可實(shí)現(xiàn)Y方向運(yùn)行速度單調(diào)，從而使整個(gè)加工過程速度保持單調(diào)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法實(shí)用效果，擬合加工軌跡如圖5所示，機(jī)床回轉(zhuǎn)中心G0和磨削點(diǎn)均為連續(xù)光滑曲線，因此，可以得證當(dāng)前運(yùn)控參數(shù)可以使進(jìn)給速度單調(diào)，且匹配連續(xù)光滑的切線回轉(zhuǎn)成形。

圖7所示為應(yīng)用AGPM在無誤差補(bǔ)償情況下加工得到非球面光學(xué)元件，經(jīng)檢測得到圖8所示檢測數(shù)據(jù)：(1)面型精度為14.130 0 μm；(2)表面粗糙度為3.330 2 μm。

圖7 無誤差補(bǔ)償?shù)募庸ち慵?/p>

圖8 非球面元件檢測數(shù)據(jù)

通過檢測數(shù)據(jù)可以得證：切線回轉(zhuǎn)成形非球面軌跡精度達(dá)到了機(jī)械加工微米級別，對于普通數(shù)控機(jī)床來說是一種質(zhì)的提升，進(jìn)一步印證研究內(nèi)容的有效性。

5 結(jié)論

(1)用數(shù)學(xué)方法解析了非球面磨削拋光機(jī)床應(yīng)用速度插補(bǔ)原理存在的關(guān)鍵問題“進(jìn)給速度非單調(diào)”，用實(shí)驗(yàn)運(yùn)控參量闡述了問題產(chǎn)生的根本原因是“初速度不匹配致使相鄰分段加速度符號相反”。

(2)基于遺傳學(xué)理論提出了解決“進(jìn)給速度非單調(diào)”的具體方案，細(xì)化了速度尋優(yōu)算法的運(yùn)算流程和實(shí)施步驟，主要包括：適應(yīng)度值計(jì)算公式、算法邊界設(shè)計(jì)和算法運(yùn)行參數(shù)設(shè)置。

(3)用實(shí)證數(shù)據(jù)及擬合仿真曲線進(jìn)行論證，證明了速度尋優(yōu)算法解決“進(jìn)給速度非單調(diào)”問題的有效性，并可以快速匹配任意分段的最優(yōu)初速度，且使加工進(jìn)程中進(jìn)給速度始終保持單調(diào)，保證了非球面磨削拋光機(jī)床的加工精度。