非球面檢測中最佳入射球面波和最佳參考球面波的確定

莫衛(wèi)東 ，范 琦，賈晉超，張海防，馮明德，楊百遇，李均盛

(空軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710051)

1 引 言

光學(xué)干涉及全息計算法是非球面光學(xué)元件面型檢測的重要技術(shù)手段［1-6］。對非球面進(jìn)行干涉檢測時，需解決好兩個關(guān)鍵問題: 其一，采用怎樣的入射光波，使之與被測非球面反射后形成的波面函數(shù)更簡單或更接近于被測非球面的面型函數(shù);其二，采用怎樣的參考光波，使之與被測非球面反射波干涉后形成的干涉條紋密度適中，以便準(zhǔn)確記錄干涉條紋。

非球面檢測入射光波有兩種，一種是平行光波，另一種是點光源形成的球面光波。由于采用平行光波入射時，該光波被非球面反射后不可能是球面波或接近于被測非球面的面型函數(shù)的反射波，因此，在非球面干涉檢測系統(tǒng)中通常采用由點光源形成的球面波作為入射光波。特別是當(dāng)點光源位于非球面的焦點時，反射波將可能是球面波或平面波。該反射球面波或平面波干涉與參考球面波或平面波干涉都可用于非球面面型的檢測。但由于非球面的焦點位置通常不在檢測光路的范圍之內(nèi)，使得非球面的檢測變得比較困難。由于入射該球面波的點光源不能位于被測非球面的某個焦點上，根據(jù)其對稱性，非球面檢測入射球面波點光源的最佳位置只能位于非球面對稱軸線上。若該點光源在某個位置上，能使被待測非球面反射后的反射波波面函數(shù)更接近于被測非球面面型函數(shù)，可把由該點光源發(fā)出的球面波稱為非球面干涉檢測的“最佳入射球面波”。

對于現(xiàn)代數(shù)字化干涉技術(shù)，CCD 是否能準(zhǔn)確地記錄干涉圖像是實現(xiàn)非球面面型高精度檢測的技術(shù)核心。為此，在非球面的干涉檢測中，多選用球面波作為干涉參考光波來減小干涉條紋密度，并使之與被測非球面的反射波干涉條紋密度最小。這里把該參考球面波稱為“最佳參考球面波”或“最佳干涉參考球面”。最佳參考球面波取決于發(fā)出該球面波的點光源相對于記錄干涉條紋CCD 平面的位置，且滿足與被測非球面反射波干涉的條紋密度最小的條件。只有確定了最佳參考球面波，方可明確CCD 的選型、光學(xué)器件與光路參數(shù)的選擇以及深化干涉圖的分析計算和對非球面檢測系統(tǒng)的精度評價等。

為實現(xiàn)對非球面光學(xué)元件面型的高精度干涉檢測，本文提出了新的確定最佳入射球面波波源和最佳參考球面波波源的方法。采用提出的研究理論和計算方法可全面分析任意非球面與考球面波干涉后的條紋密度分布以及非球面干涉檢測調(diào)試中涉及的一些問題。

2 最佳入射球面波波源位置的確定

非球面干涉檢測的入射球面波應(yīng)位于被測非球面的中心軸線上，如圖1 所示，其位于軸線上的位置，取決于從該位置發(fā)出的球面波經(jīng)被測非球面反射后的波面函數(shù)是否最接近于被測非球面的面型函數(shù)。本研究的核心是如何判斷點光源的某個位置是否滿足上述條件，為此采用了不同以往的方法來確定“最佳入射球面波”，并獲得了滿足最佳入射球面波條件的被測非球面反射波最接近于被測非球面的面型函數(shù)。

圖1 數(shù)字全息檢測非球面原理圖Fig.1 Principle diagram of inspecting aspheric surface in digital holography

通過分析在被測非球面中心對稱軸線上不同位置的點光源發(fā)出的球面波與最接近非球面面型函數(shù)的反射波( 分析計算時直接采用被測非球面的面型函數(shù)作為該反射波波面函數(shù)) 產(chǎn)生干涉的條紋密度，便可獲得滿足最佳入射球面波條件的點光源的位置。該干涉條紋的密度取決于球面波與被測非球面反射波之間的夾角，相當(dāng)于文獻(xiàn)［7］所提出的斜率非球面度。由于是球面波與非球面波的干涉，所以干涉條紋的密度是不均勻的。因此，不同位置的點光源發(fā)出的球面波與非球面反射波干涉的最大干涉條紋密度也不一樣。當(dāng)兩者形成的干涉條紋的最大密度最小時，表明該球面波最接近于被測非球面反射波，該球面波的法線與該非球面反射波法線的最大夾角最小，該球面波就是被測非球面反射波的最接近比較球面。由于所取的非球面反射波為被測非球面的面型函數(shù)，因此，該位置點光源發(fā)出的球面波便是非球面干涉檢測的最佳入射球面波。

確定最佳入射球面波波源位置rbest( 在對稱軸上距被測非球面頂點的距離) 的具體計算方法，參照下面的“最佳參考球面波”的確定方法，其思路與算法完全相同。

3 最佳參考球面波波源位置的確定

3．1 在CCD 上記錄干涉波的特點分析

如圖2 所示，檢測時需要記錄的干涉圖并不在非球面上，而是記錄在某個平面M( CCD) 上。顯然，在記錄平面M 上所記錄的干涉圖并不是在非球面附近某個參考球面波與非球面產(chǎn)生的干涉，而是不同半徑的參考球面波與被測非球面的反射波的干涉。在M( CCD) 上，被測非球面反射波與參考球面波的夾角隨著參考球面波半徑的改變，在非球面上的夾角也在不斷改變。即非球面上某點的斜率非球面度在干涉圖的記錄平面M( CCD) 上并不相同，也就是說，在記錄平面M( CCD) 上所記錄的干涉條紋密度實際上不同于定義在某個參考球面波上的斜率非球面度估算的干涉條紋的密度。

圖2 在M( CCD) 上的非球面和球面參考波Fig.2 Aspheric wave and reference spherical wave in M( CCD)

對于平面干涉儀來說，干涉圖像記錄平面M( CCD) 的位置不會影響干涉條紋的分布，而對于采用參考球面波的非球面干涉檢測系統(tǒng)，干涉圖記錄平面M( CCD) 的位置直接影響著參考球面波與被測非球面反射波的夾角─干涉條紋的密度?？梢?，用于非球面檢測目的的任何最接近比較球面，將不僅與非球面的面型函數(shù)以及口徑大小等參數(shù)有關(guān)，還與干涉圖的記錄平面位置直接相關(guān)。因此，采用斜率非球面度確定最佳參考球面波以及用斜率非球面度評價非球面檢測的難度可能有一定的局限性與偏差。

本研究試圖通過直接計算干涉圖記錄平面CCD 上的參考球面波與被測非球面反射波的干涉條紋密度來確定非球面檢測的最佳參考球面波。

3.2 干涉條紋密度計算的理論分析

如上所述，非球面反射波與非球面面型并非存在確定的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。不同的入射波經(jīng)非球面反射后的反射波會有很大的差異，有的反射波可能與面型具有相同或近似的描述函數(shù)，只是邊界條件或某個常量不同; 而有的反射波可能與非球面面型函數(shù)差別很大，即二者是完全不同的兩類函數(shù)。但對于非球面反射波波面與被測非球面面型，依據(jù)光路設(shè)計總能找到二者的對應(yīng)關(guān)系，從而能夠通過非球面的反射波反推得到被測非球面的面型信息。本研究選擇的入射波為上述的最佳入射球面波，因此，在被測非球面表面的反射波最接近其面型函數(shù)。該反射波傳播到CCD 時，可近似地按照CCD 的大小與被測非球面口徑的比例“縮小”。以被測非球面的面型為二次旋轉(zhuǎn)對稱曲面為例，其反射波函數(shù)同樣也為二次曲面:

式中:z為旋轉(zhuǎn)對稱軸，曲面的頂點位于坐標(biāo)原點O處;k為二次曲面系數(shù)，與被測非球面面型函數(shù)一致;r0為被測非球面反射波波面( 二次曲面)頂點的曲率半徑，但r0并不是被測非球面面型函數(shù)頂點的曲率半徑R0，通常r0需要事先根據(jù)檢測光路結(jié)構(gòu)參數(shù)以及被測非球面面型函數(shù)與反射波波面函數(shù)的關(guān)系計算得到。按照圖1 的非球面檢測方案，反射波頂點的曲率半徑r0近似地按照反射波的口徑φ( CCD 的尺寸) 與被測非球面的口徑Φ 的比例縮小為:從式( 1) 中解出z:

取不同的k值代表不同的二次非球面。偏離二次曲面的非球面稱為高次非球面，通常表示為:

式中，A4，A6，……，A2n為高次非球面多項式系數(shù)。

考慮到非球面旋轉(zhuǎn)對稱性，以下非球面用x=0平面與非球面的交線─二次曲線或高次非圓曲線表示。式(3) 為:

記錄干涉圖的平面M( CCD) 可位于非球面反射波頂點前后任意位置，具體位置由兩個因素決定:一是干涉圖記錄平面的有效面積( 如CCD的尺寸) ; 二是非球面光學(xué)鏡片的有效口徑。如圖3 所示，假設(shè)記錄干涉圖平面M( CCD) 位于被測非球面反射波頂點的右側(cè)，距原點的距離為b;S為參考球面波的波源位置，距原點的距離為a。

從S發(fā)出的球面波在記錄平面M( CCD) 上各點的球面波半徑并不相同。也就是說，在M( CCD) 上與非球面反射波干涉的球面波并不是相同的球面波波陣面，相對于半徑為a的波面具有一定的位相差?？梢姡贑CD 上記錄的是不同的參考球面波與非球面反射波的干涉結(jié)果，M( CCD) 上某點干涉波的強(qiáng)弱取決于非球面反射波與參考球面波在此點的相位差。

圖3 非球面反射波與參考球面波的光程差Fig.3 Optical path difference between reflected aspheric wave and reference spherical wave

3.3 干涉條紋密度的計算方法

嚴(yán)格來說，非球面反射波與參考球面波在CCD 上的相位差等于二者從分束開始之后的光程差，由于二者行進(jìn)的光路不同，精確計算難度很大。為此，采取了回避計算非球面反射波與參考球面波初相位差的策略，以非球面反射波頂點到達(dá)CCD 開始計時，同時到達(dá)的參考球面波Rc0也由此開始計時，相當(dāng)于參考球面波與非球面反射波由此開始分束。這樣，非球面反射波其他各點到達(dá)CCD 的Ci(yci，b) 處落后的光程為:

同時到達(dá)CCD 上Ci(yci，b) 點的參考球面波與開始計時的參考球面波面Rc0的光程差為δ2i:

取CCD 短邊的萬分之一作為yci的取值間隔，約為CCD 信源尺寸的1/5。也就是說，數(shù)值計算可分辨的條紋寬度為CCD 信源的1/5。δ1i與δ2i之差便是所要求的非球面反射波與球面參考波在CCD 上的光程差δi=δ1i-δ2i。

但是，上述方法所計算的實際相位差缺少了二者之間的初相位差以及實際的光程差。對于非球面反射波與參考球面波干涉條紋來說，最大的誤差也就是一個條紋位置，并不影響對干涉條紋密度的分析，可以看成是一次合理的近似。最終的計算分析結(jié)果證明了上述假設(shè)與近似的合理性。

當(dāng)δi= ±jλ(j=1，2，3…) 時，非球面反射波與參考球面波干涉加強(qiáng)為亮條紋。按照一定的精度要求，檢驗每一個δi是否是波長的整數(shù)倍。那些是波長整數(shù)倍的點就是所求的干涉條紋的亮紋中心，相鄰兩亮紋中心的距離便是條紋寬度，由此可得到干涉圖的最大條紋密度及其位置。

連續(xù)改變參考球面波波源的位置S(a，0) ，使a從0．5r0變化到1．5r0，變化步長取r0/100。計算每一個位置的參考球面波與被測非球面反射波在CCD 上干涉的最大條紋密度，由此得到不同參考球面波波源位置a與最大條紋密度的關(guān)系曲線( 見圖4) 。在圖4 曲線中，最大條紋密度的最小極值點所對應(yīng)的參考球面波波源的位置a便是該非球面干涉檢測最佳參考球面波波源的位置abest，即對非球面面型進(jìn)行干涉檢測時，使得最大條紋密度最小( 干涉條紋最疏) 的參考球面波波源的位置。由該點發(fā)出的球面波就是所要求的最佳參考球面波。

圖4 最大條紋密度與參考球面波源位置的關(guān)系Fig.4 Relation between maximum fringe density and position of reference spherical wave source

3.4 計算結(jié)果及位置預(yù)判

表1 為按照上述理論分析和計算方法，針對圖1所示的數(shù)字全息檢測系統(tǒng)，對文獻(xiàn)［7-10］中選用的二次非球面進(jìn)行檢測時所要求的最佳參考球面波波源位置以及最佳入射球面波位置的預(yù)判結(jié)果。

表1 不同非球面檢測時的最佳入射球面波和最佳參考球面波的波源位置Tab．1 The best positions of incident spherical wave source and reference spherical wave source at testing of different aspheric surfaces

根據(jù)上述理論及方法可做進(jìn)一步的應(yīng)用研究。首先，當(dāng)對某個非球面檢測時，根據(jù)圖4 參考球面波波源位置a與最大條紋密度的關(guān)系曲線，可知不同參考球面波在CCD 上與被測非球面反射波干涉條紋的最大密度，該干涉條紋最大密度便是選擇CCD 分辨率的臨界條件。即數(shù)字化干涉檢測系統(tǒng)對非球面進(jìn)行面型檢測時，其CCD 的分辨率必須大于相應(yīng)參考球面波與被測非球面反射波干涉的最大干涉條紋密度，否則，將不能滿足干涉條紋采樣精度要求。進(jìn)而，根據(jù)所選擇的CCD 最大尺寸，可確定檢測光路中參考球面鏡的參數(shù)等。

另外，從圖4 曲線可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參考球面波源的位置偏離abest約5%，干涉條紋密度將急劇增加10 倍，這足以說明在非球面檢測前確定參考球面波波源位置的重要性。不過，進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn)，在目前所采用的CCD 分辨率條件下，參考球面波波源的位置冗余較大。以本研究所采用的CCD為例，其分辨率約為109 pixel/mm，根據(jù)圖4 曲線可知，只要參考球面波源的位置不小于abest的20%(4 mm) 或大于abest的40%( 7.5 mm) ，均可做到非欠采樣記錄全息圖。由圖4 還可看到，當(dāng)參考球面波源的位置a＜abest時，條紋密度變化梯度相對于a＞abest時要大。也就是說，調(diào)試時，從a＜abest端開始調(diào)試更有利于找到最佳參考球面波波源的位置。

此外，本文還進(jìn)一步做了一些與非球面干涉檢測調(diào)試相關(guān)的分析研究。如: 在被測非球面口徑一定的情況下，連續(xù)改變二次曲面系數(shù)k，分別預(yù)判了大、中、小口徑的非球面的最佳球面參考波的位置與二次曲面系數(shù)k的關(guān)系以及與非球面反射波頂點曲率半徑的關(guān)系等。研究發(fā)現(xiàn): 當(dāng)二次曲面系數(shù)的絕對值很小(＜2) 的情況下，無論口徑大小如何，最佳球面參考波的位置都與非球面反射波頂點曲率中心很接近，相差均不到1%，可以近似等于非球面反射波頂點曲率半徑，即abest≈r0。而當(dāng)二次曲面系數(shù)k不斷增大時，最佳球面參考波的位置將遠(yuǎn)離非球面反射波頂點曲率中心(a＞r0或a＜r0) ，且最大條紋密度也將不斷變大。同樣，在二次曲面系數(shù)k很小的情況下，最佳入射球面波波源的位置將位于被測非球面面型函數(shù)頂點曲率中心R0附近。

4 結(jié) 論

本文從非球面干涉檢測出發(fā)，提出了一種新的確定最佳入射球面波波源和最佳參考球面波波源位置的思路及方法。該方案采用直接計算干涉條紋密度的方法，分析球面波與非球面之間的相互關(guān)系，確定非球面檢測時入射球面波波源的最佳位置和參考球面波波源的最佳位置。采用本研究提出的理論和計算方法，不需要任何解析計算便可全面分析任意非球面( 包括高次非球面) 與參考球面波干涉后的條紋密度分布，并可用于分析非球面干涉檢測調(diào)試中可能遇到的諸多問題，為非球面的檢測調(diào)試過程提供理論指導(dǎo)。因此，本研究對于實現(xiàn)非球面的數(shù)字化高精度快速檢測具有重要的應(yīng)用價值。

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